Jeux combinatoires et théorie des groupes

Jeux: Activités intellectuelles ou gestuelles qui nont dautre fin que lamusement de la personne qui sy livre. Combinatoires : Qui étudient les différentes manières de combiner les éléments dun ensemble. Théorie : Ensemble organisé de principes, de règles, de lois scientifiques visant à décrire et à expliquer un ensemble de faits.

Groupe : Ensemble E (fini ou infini) dobjets muni dune loi notée ~ ~ vérifie: Evariste Galois, Fondateur de la théorie des groupes. e : élément neutre pour a,b, c des éléments de E : (a ~ b) ~ c = a ~ (b ~ c) associativité pour tout a de E, il existe un a tel que a ~ a = a ~ a =e a inverse (ou symétrique ou opposé) de a il existe un élément e dans E tel que pour tout a de E : a ~ e = e ~ a =a

Exemple : Ensemble Z des entiers relatifs {…, -3,-2,-1,0,1,2, 3,…} muni de laddition, loi notée + X=0: élément neutre pour a,b, c des éléments de Z (a+b)+c=a+(b+c) associativité pour tout n de Z, il existe un n=-n tel que n+(-n)=(-n)+n=0 -n: opposé de n pour tout n de Z, x+n=n+x=n

Autre Exemple : Ils font une course, imaginons Les ordres darrivée possibles.

Autre Exemple:

Autre Exemple:

Autre Exemple:

Autre Exemple:

Autre Exemple:

Autre Exemple:

Lapplication de lensemble E={1,2,3} dans lui- même définie par est une permutation. Lensemble des permutations de E est un groupe, appelé groupe symétrique S 3

est lélément neutre. La loi est la composition notée °. ° = =

Une partie de la recherche mathématique des deux derniers siècles a consisté à classer et étudier les groupes finis. …… Brauer Frobenius Burnside Schur Weyl Lie Étudier? calculer nombre déléments décrire ses représentations décrire ses sous-groupes

(2,2) Représentations irréductibles de S n sont indexées par des partitions de n. n=4 (4) (3,1) (2,1,1) (1,1,1,1) Partitions de n : suites décroissantes dentiers positifs dont la somme vaut n.

Diagramme de Young de forme la partition de 6: (3,2,1)

On remplit ce diagramme: tableau de Young < Tableau de Young de forme (3,2,1), de remplissage (3,0,1,2)

Appelons T lensemble des tableaux de forme une partition de n remplis sur par des nombres de 1 à n. Peut-on munir T dune loi? Si oui, quelles propriétés a-t-elle? Le tableau sans case est appelé le tableau vide et est noté

ABCD EFKG IJH MNOL Pour définir cette loi quon appelle la multiplication : Jeu de taquin

ABCD EFKG IJH MNOL Pour définir cette loi quon appelle la multiplication : Jeu de taquin

ABCD EFG IJKH MNOL Pour définir cette loi quon appelle la multiplication : Jeu de taquin

ABCD EFG IJKH MNOL Pour définir cette loi quon appelle la multiplication : Jeu de taquin

ABCD EFGH IJK MNOL Pour définir cette loi quon appelle la multiplication : Jeu de taquin

ABCD EFGH IJKL MNO Pour définir cette loi quon appelle la multiplication : Jeu de taquin

n=9

On applique un jeu de taquin (i.e pousser toutes les cases noires vers lextérieur) en utilisant les règles suivantes: abc de fgh abc de fgh si b, c, e sont vides, rien à faire sinon si b>e alors sinon abc dbe fgh Convention : Case vide= case remplie par

A quelle case appliquer le jeu de taquin? A des coins… Et quand il y a plusieurs coins? On en choisit un au hasard, le résultat sera toujours le même Cest un théorème dont la démonstration nest pas évidente…

On continue et on obtient

Lensemble T muni de est-il un groupe?

Groupe: Ensemble E (fini ou infini) dobjets muni dune loi notée ~ ~ vérifie: il existe un élément e dans E tel que pour tout a de E a ~ e=e ~ a =a e: élément neutre pour a,b, c des éléments de E (a ~ b) ~ c=a ~ (b ~ c) associativité pour tout a de E, il existe un a tel que a ~ a=a ~ a=e a: inverse de a

c ab c ab = = c ab

Tableau vide est élément neutre. est associative. Mais il ny a pas dinverse! Lensemble T muni de est un monoïde.

Peut-on faire des tableaux avec des cases doubles? Oui ! Ce sont des tableaux de dominos. <

On appelle D lensemble des tableaux de dominos. Quel rapport avec ce qui précède?????????? Il existe une bijection entre et D = (T 1, T 2), T1 dans T, T2 dans T

2 11, Forme du tableau de dominos = (4,4,3,3)=2(4,3) Mot associé au tableau de dominos:

2 11, Forme du tableau de dominos = ( 4,4,3,3) Mot associé au tableau de dominos:

Elle sert à démontrer le théorème suivant: Théorème: Soient n un entier, p=(p 1, …p q ) une partition de n, V p une représentation irréductible de S n V (p) * V (p) se décompose en somme de toutes les V éval(d) où d parcourt lensemble des tableaux de dominos de forme 2(2p 1,…2p q ) de mot de Yamanouchi et éval(d) est la partition dont la ième part est le nombre de i apparaissant dans le mot de d. Mot de Yamanouchi: tout segment initial contient un nombre de i supérieur ou égal au nombre de i+1 contenu dans le même sous mot. Exemple: 1121 oui éval(1121)=(3,1) 21 non.

V (1) * V (1) = « V 11 * V 2 1 »= V (2) +V (1,1)

Peut-on faire des tableaux avec des cases Oui ! Ce sont des tableaux de doubles dominos triples 3-rubans. Appelons R lensemble des tableaux de 3- rubans Existe-t-il une bijection entre R et qui permette de décomposer le produit de 3 représentations (i.e analogue du théorème précédent) ?? Question ouverte !!!!!