GPA750 – Ordonnancement des systèmes de production aéronautique Cours # 4

Problème avec plusieurs machines Machines en parallèles Complexité des problèmes avec plusieurs machines. Environnement et Organisation (Atelier mono-gamme vs Multigammes) Représentation réseau d’un calendrier

Machines Parallèles Min Fmoy n commandes m machines en parallèles Toutes les commandes sont disponibles au temps t=0 Algorithme pour minimiser le temps de passage moyen (Min Fmoy ) : Ordonner les commandes selon SPT; Prendre les commandes une à la fois et les assigner sur la machine ayant le plus petit temps total d’opération.

Exemple de SPT Exemple Séquence SPT : 6-10-3-7-9-1-8-2-5-4 Fmoy = 8.1 Cmax = 18

Machines Parallèles : Min Cmax et Temps de passage moyen (Fmoy ) Heuristique pour minimiser Cmax : Ordonner les commandes selon LPT; Prendre les commandes une à la fois et les assigner sur la machine ayant le plus petit temps total d’opération. Pour minimiser Cmax et Temps de passage moyen (Fmoy) Renverser les séquences sur les machines de sorte que l’on a une séquence SPT. Exemple… Ne garantit pas l’optimalité Qualité de la solution

Exemple : Min Cmax et temps de passage moyen Étape 1: LPT Cmax = 16 Étape 2: SPT Fmoy = 8.1

Machines Parallèles : Réduire T Heuristique 1: Min Tmax Ordonner les commandes selon EDD; Prendre les commandes une à la fois et les assigner sur la machine ayant le plus petit temps total d’opération. Heuristique 2 : Réduire T Ordonner les commandes selon SLACK (Marge); dj-pj Exemples Ne garantit pas l’optimalité

Exemple pour Réduire T Heuristique 1: EDD Tmoy = 0.6 Tmax = 4 3 commandes en retard Heuristique 2: SLACK Tmoy = 1.3, Tmax = 5, 6 commandes en retard

Machines Parallèles : Min le nombre de commandes en retard Etape 1: Appliquer l’algorithme EDD pour les machines parallèles. Étape 2: Pour chaque machine, appliquer l’algorithme de Moore pour minimiser le nombre de commandes en retard sur une machine. Exemple… Ne garantit pas l’optimalité

Sommaire

Complexité des problèmes Procédures simples qui donnent la solution optimale pour certains problèmes. Solutions approximatives pour d’autres… Peut-on trouver la solution optimale? Oui mais… Deux classes de Problèmes P vs NP ‘faciles’ vs ‘difficiles’ P: On peut trouver une solution dans un temps polynomial Exemple: règle de Johnson. NP: Algorithme avec temps de résolution exponentiel Exemple: énumération complète ou implicite. Note : P est un sous-ensemble de la classe NP Donc la plupart des problèmes avec plus de 3 machines font partie de la classe NP .

Complexité des algorithmes et des temps de résolution Une opération = 1 micro seconde

Complexité

Types d’environnements Atelier Mono-gamme Atelier Multi-gamme

Atelier Monogamme (Flowshop) Pour une mesure de performance régulière, il suffit de considérer les calendriers avec la même séquence sur les machines M1 et M2 Preuve: Faire k avant i sur m1 Ne change pas les temps de début sur m2 Il suffit de considérer les calendriers ayant les mêmes séquences sur les machines Mm-1 et Mm afin de minimiser Fmax Preuve: Faire i avant k sur Mm ne change pas Fmax Donc, en pratique, on considère des séquences de permutation seulement dans les ateliers monogammes.

Atelier Monogamme Avec encours Séquence de permutation J1, …, Jn Formules pour calcul des temps de finition Pij – temps d’opération de la commande j sur la machine i Temps de finition de la première commande sur la machine 1 Eq (1); Temps de finition de la kième commande sur la machine 1: Eq (2) Temps de finition de la kième commande sur la machine i Eq (3)

Représentation réseau Cmax = Plus long chemin dans le réseau Exemple

Atelier Monogamme Pas d’encours Pas d’encours entre les machines Blocage des machines Représentation réseau Ajouter les nœuds (0,Jk), k=1,...,n Les autres nœuds (i, Jk), i=1,…,m, k=1,…,n le nœud (i, Jk), représente le temps de départ de la commande k sur la machine i Le nœud (i, Jk) a deux arcs sortant: (i+1, Jk) avec comme valeur Pi+1,Jk (i-1, Jk+1) avec une valeur de Zero Note : Un problème avec encours limité peut être converti en un problème avec zéro encours. Ajouter le nombre de machines nécessaires avec des temps d’opération de zéro.

Atelier Monogamme Pas d’encours Soit Dij le temps où la commande j quitte la machine i Di,J1 = h=1i Ph,J1 Di,Jk = max(Di-1,Jk + Pi,Jk , Di+1,Jk-1 ) Dm,Jk = Dm-1,Jk + Pm,Jk

Exemple – Sans encours

Atelier Monogamme Pas d’encours Cas spécial 1: Deux machines sans encours Peut être converti en un cas spécial du problème de commis voyageur Cas Spécial 2: Pas de temps d’attente entre deux opérations de la même commande Solution… Plus tard

Atelier Multigamme J1 J2 J3 J4 Représentation d’une séquence réalisable: Fixer les arcs sur les machines de sorte qu’il n’y ait pas de cycle