Modèles de Leontieff Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction L’économiste américain d’origine russe Wassily Leontieff a reçu, en 1973, le prix Nobel de sciences économiques pour ses travaux de modélisation mathématique des échanges interindustriels. Il s’intéresse en particulier à la question suivante : dans une économie constituée de n industries interreliées, quelle doit être la production de celles-ci pour répondre exactement à la demande? Nous allons présenter sa démarche de modélisation de ce type de problème à l’aide d’un exemple simple.

Mise en situation Une entreprise compte trois secteurs spécialisés dans la production d’une forme d’énergie : le mazout (M), le gaz naturel (G) et l’électricité (E). Les échanges entre les secteurs d’activité permettent de satisfaire aux besoins énergétiques de chacun. Pour produire une unité de mazout, il faut 0,2 unité de gaz naturel et 0,2 unité d’électricité; pour produire une unité de gaz naturel, 0,2 unité de mazout, 0,1 unité de gaz naturel et 0,3 unité d’électricité; pour produire une unité d’électricité, 0,1 unité de mazout, 0,2 unité de gaz naturel et 0,1 unité d’électricité. Production d’une unité Pour faciliter l’analyse de la situation, l’information est représentée sous forme matricielle. M G E M 0,2 0,1 Besoins G 0,2 0,1 0,2 E 0,2 0,3 0,1

Matrice de consommation interne La matrice obtenue est la matrice de la consommation interne que nous noterons Q = (qij). L’élément qij représente le nombre d’unités du secteur i nécessaires pour produire une unité du secteur j. Ainsi, la première colonne indique que, pour produire une unité de mazout, il faut consommer 0,2 unité de gaz naturel et 0,2 unité d’électricité. Production d’une unité Besoins M G E 0,2 0,1 0,3 Quelle information est véhiculée par la deuxième colonne ? 0,2 0,1 0,3 Q = Par la troisième colonne ?

Calcul des besoins Le carnet de commandes de l’entreprise (demande externe) pour le mois de juin est de 450 unités de mazout, 400 unités de gaz naturel et 430 unités d’électricité. Déterminer la production permettant de répondre aux besoins de la production et à la demande externe. REMARQUE : On dit que le système économique est en équilibre si la production est égale à la somme de la demande interne et de la demande externe, soit : P = Q • P + D Le système est donc en équilibre lorsque la matrice de production P satisfait à la condition : (I – Q) • P = D C’est cette équation qu’il faut résoudre pour trouver la matrice de production. 1 0,2 0,1 0,3 1 –0,2 –0,1 0,9 –0,3 (I – Q) = – = p1 p2 p3 où pj est le nombre d’unités total qu’il faut produire dans chaque secteur : mazout, gaz et électricité. 1 –0,2 –0,1 0,9 –0,3 p1 p2 p3 450 400 430 La matrice de production est : P = On a donc : • = Pour répondre à la demande externe tout en satisfaisant à ses propres besoins, l’entreprise doit s’assurer que la condition suivante est satisfaite : En résolvant, on obtient : 1 –0,2 –0,1 0,9 –0,3 450 400 430 1 700 800 900 P = Q • P + D, production = demande interne + demande externe; ≈ P – Q • P = D, par les propriétés des opérations; I • P – Q • P = D, puisque I est la matrice identité; Il faut donc produire 700 unités de mazout, 800 unités de gaz naturel et 900 unités d’électricité. (I – Q) • P = D, par les propriétés des opérations. S S

Modèle de Leontieff S Définition Modèle de Leontieff Un modèle de Leontieff est un modèle économique constitué de n industries interdépendantes, chacune produisant pour : répondre à ses besoins et aux besoins des (n – 1) autres industries, ce qui constitue la demande interne; répondre aux besoins des clients, ce qui constitue la demande externe. On se sert du modèle de Leontieff pour analyser l’économie d’une région, d’un secteur d’activité ou d’une entreprise qui a différents secteurs qui s’échangent des biens ou des services. Il est souvent utile de pouvoir chiffrer ces échanges en dollars. On peut construire un modèle économique de Leontieff en remplaçant les unités de biens échangés par leur valeur en dollars. S

Représentation matricielle Représentation matricielle du modèle de Leontieff Dans un modèle de Leontieff, les échanges entre les industries sont décrits dans une matrice Q appelée matrice de consommation. On désigne par : P la matrice de production et par D la matrice de la demande externe; pj la production de l’industrie j; qij le nombre d’unités de la production de l’industrie i nécessaires pour produire 1 unité de la production de l’industrie j; qij pj la quantité de la production de l’industrie i consommée par l’industrie j; di la demande externe adressée à l’industrie i : c’est la portion de la production qui excède la demande interne.

Modèle de Leontieff Procédure pour résoudre une problème satisfaisant à un modèle de Leontieff 1. Structurer l’information sous forme matricielle si cela n’est pas déjà fait dans l’énoncé. 2. Décrire la condition à satisfaire par une équation matricielle (I – Q)•P = D. 3. Résoudre l’équation matricielle. 4. Interpréter les résultat selon le contexte.

Exemple ≈ S Production d’une unité Besoins U1 U2 U3 0,1 0,2 0,3 Une entreprise gère trois usines. La matrice de consommation des échanges interusines est : 1 0,1 0,2 0,3 0,9 –0,2 –0,3 0,7 –0,1 1 (I – Q) = – = Dans cette matrice, l’entrée qij indique la valeur en dollars des produits de l’usine Ui nécessaires pour fabriquer chaque dollar de produits de l’usine Uj. 0,9 –0,2 –0,3 0,7 –0,1 1 p1 p2 p3 25 31 92 On a donc : • = En résolvant, on obtient : 0,9 –0,2 –0,3 0,7 –0,1 1 25 31 92 1 90 100 120 25 31 92 D = La demande externe D en millions de dollars est : ≈ Déterminer la valeur, en millions de dollars, de la production de chaque usine pour répondre à la demande externe. La production de l’usine U1 doit être de 90 M$, celle de U2 de 100 M$ et celle de U3 de 120 M$. S

Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. section 2.3, p. 50 à 52. Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines. Section 2.4, # 18 à 20.