Quelques graphes particuliers. Cours de graphes Quelques graphes particuliers. 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Les grandes lignes du cours Définitions de base Connexité Les plus courts chemins Dijkstra et Bellmann-Ford Arbres, graphes particuliers Arbres de recouvrement minimaux Problèmes de flots Coloriage de graphes, graphes planaires Couplage Chemins d’Euler et de Hamilton Problèmes NP-complets 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

dénominations de machines Critères sur les graphes ----------------------------------------------------------------- Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles. Nous utiliserons des dénominations de machines parallèles ! 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Critères sur les graphes ----------------------------------------------------------------- Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles. Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories : Les ordinateurs à mémoire partagée ! PROC M E O I R R E S A U PROC PROC 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Critères sur les graphes ----------------------------------------------------------------- Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles. Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories : Les ordinateurs à mémoire partagée ! Les ordinateurs à mémoires distribuées ! R E S A U Ordinateurs mis en réseau ! MEMOIRE PROC MEMOIRE PROC 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Critères sur les graphes ----------------------------------------------------------------- Il y a plusieurs modes d’acheminement des données ! Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires ! Un premier saut . . . suivi d’un second ! PROC PROC PROC MEMOIRE MEMOIRE MEMOIRE Départ ! Arrivée ! 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Critères sur les graphes ----------------------------------------------------------------- Il y a plusieurs modes d’acheminement des données ! Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires ! Dans le mode « circuit switched » nous établissons un chemin direct par concaténation de liens individuels ! PROC PROC PROC MEMOIRE MEMOIRE MEMOIRE Départ ! Arrivée ! 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Un graphe de degré régulier 3 ! Critères sur les graphes ----------------------------------------------------------------- Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau d’interconnexion ! Des critères au niveau d’un nœud ! Le degré des nœuds – le nombre de voisins ! La régularité du degré – tout le monde a le même nombre de voisins ! Des critères physiques sur l’ensemble du réseau ! Des critères logiques sur l’ensemble du réseau ! Un graphe de degré régulier 3 ! 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Critères sur les graphes ----------------------------------------------------------------- Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau d’interconnexion ! Des critères au niveau d’un nœud ! Des critères physiques sur l’ensemble du réseau ! Le diamètre du graphe ! La valeur de bissection qui donne le plus petit nombre de liens qui relie une moitié des nœuds à l’autre ! Des critères logiques sur l’ensemble du réseau ! La bissection vaut 3 ici ! 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Critères sur les graphes ----------------------------------------------------------------- Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau d’interconnexion ! Des critères au niveau d’un nœud ! Des critères physiques sur l’ensemble du réseau ! Des critères logiques sur l’ensemble du réseau ! Est-ce que la structure du graphe est régulière ? Un anneau (cycle) est régulier ! Un graphe en « ligne » ne l’est pas à cause des extrémités ! 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Critères sur les graphes ----------------------------------------------------------------- Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau d’interconnexion ! Des critères au niveau d’un nœud ! Des critères physiques sur l’ensemble du réseau ! Des critères logiques sur l’ensemble du réseau ! Est-ce que nous pouvons plonger un anneau dans le graphe (cycle de Hamilton) ? Ce graphe contient un anneau 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Critères sur les graphes ----------------------------------------------------------------- Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau d’interconnexion ! Des critères au niveau d’un nœud ! Des critères physiques sur l’ensemble du réseau ! Des critères logiques sur l’ensemble du réseau ! Combien y a-t-il de plus courts chemins disjoints ? Ce graphe contient deux plus courts chemins : 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Critères sur les graphes ----------------------------------------------------------------- Le graphe idéal vérifie, entre autres : Le degré de chaque sommet est moyen ! Le graphe est de degré régulier ! Le diamètre est petit ! La bissection est grande ! La structure du graphe est régulière ! Il comporte l’anneau et d’autres graphes usuels comme sous-graphes ! Il offre plusieurs plus courts chemins arêtes-disjoints ! Ce graphe n'existe pas ! ! ! 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Numérotation des nœuds ----------------------------------------------------------------- Comment devons-nous numéroter les sommets pour que le « routage » puisse être déduit à partir des numéros des points de départ et d’arrivée ? On appelle « router » le fait de trouver un des plus courts chemins entre l’expéditeur et le destinataire. Les numéros de l ’expéditeur et du destinataire doivent permettre de déduire facilement la première arête du plus court chemin ! Ensuite, nous itérons le même algorithme à partir du second sommet, etc. 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Le graphe en ligne ----------------------------------------------------------------- L E G R A P H E E N L I G N E 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Le graphe en ligne ----------------------------------------------------------------- 1 n–2 n–1 . . . Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand. Caractéristiques du graphe : Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière ! Diamètre n–1 et bissection 1 pour n nœuds ! Nous ne pouvons pas plonger d’anneau, il n’y a pas de plus courts chemins alternatifs, . . . ! C’est très mauvais, mis à part le fait que le degré du graphe soit limité à 2 ! 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Le graphe en anneau ----------------------------------------------------------------- L E G R A P H E E N A N N E A U 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Le graphe en anneau ----------------------------------------------------------------- 1 n–2 n–1 . . . Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le plus court des chemins ( différence des modulos ). Caractéristiques du graphe : Graphe de degré régulier, de structure régulière ! Diamètre n/2 et bissection 2 pour n nœuds ! Nous pouvons y plonger un anneau, mais il n’y a pas de plus courts chemins alternatifs, . . . ! Cela reste assez mauvais, mis à part la régularité, le degré limité du graphe et l’utilité de la notion d’anneau ! 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Le produit de graphes ----------------------------------------------------------------- L E P R O D U I T D E G R A P H E S 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Le produit de graphes ----------------------------------------------------------------- Soient deux graphes G et G’ ! Nous appelons produit de ces deux graphes le graphe : qui est composé de sommets numérotés ( i , j ) avec i issu de la numérotation de G et j de celle de G’ , qui comporte une arête entre ( i , j ) et ( k , l ) ssi : i = k et ( j , l ) est une arête de G’ , j = l et ( i , k ) est une arête de G . 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Le produit de graphes ----------------------------------------------------------------- Le voilà ! . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet La grille 2 - D ----------------------------------------------------------------- L A G R I L L E 2 - D 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet La grille 2 - D ----------------------------------------------------------------- C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe : Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière ! Diamètre n+m et bissection min ( n , m ) pour n*m nœuds ! Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a deux plus courts chemins alternatifs, . . . ! 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet La grille 2 - D ----------------------------------------------------------------- C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement ! Routage : Les sommets sont indexés par un couple ( i , j ) ! Nous routons d’abord sur l’un des axes, ensuite l’autre. Cela s’appelle une « distance de Manhattan » ! Il y deux plus courts chemins arêtes-disjoints ! Ce n'est toujours pas terrible ! ! ! 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Le tore 2–D ----------------------------------------------------------------- L E T O R E 2 - D 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Le tore 2–D ----------------------------------------------------------------- C’est le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe : Graphe de degré régulier, de structure régulière ! Diamètre ( n+m ) / 2 et bissection 2 * min ( n , m ) pour n*m nœuds ! Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a deux plus courts chemins alternatifs, avec un routage comme pour la grille mais incluant les modulos ! C’est une grille avec les liens de rebouclage ! ! ! . . . . . . 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Le tore 2–D ----------------------------------------------------------------- C’est le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe : Graphe de degré régulier, de structure régulière ! Diamètre ( n+m ) / 2 et bissection min ( n , m ) / 2 pour n*m nœuds ! Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a deux plus courts chemins alternatifs, avec un routage comme pour la grille mais incluant les modulos ! C'est déjà plus raisonnable ! ! ! . . . . . . 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Le tore 2–D ----------------------------------------------------------------- C’est le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement ! Dans l’espace : C'est déjà plus raisonnable ! ! ! . . . . . . 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet La grille 3 - D ----------------------------------------------------------------- L A G R I L L E 3 - D 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet La grille 3 - D ----------------------------------------------------------------- C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m et l éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe : Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière ! Diamètre n+m+l et bissection n * min ( m , l ) si n = min ( n , m , l ) pour n*m*l nœuds ! Routage Manhattan en 3 D ! ! ! . . . . . . La bissection est un plan de section qui coupe le moins de liens. 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet La grille 3 - D ----------------------------------------------------------------- C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m et l éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe : Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière ! Diamètre n+m+l et bissection n * min ( m , l ) si n = min ( n , m , l ) pour n*m*l nœuds ! Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a trois plus courts chemins alternatifs, . . . ! Il manque les liens de rebouclage ! . . . . . . 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Le tore 3–D ----------------------------------------------------------------- L E T O R E 3 - D 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Le tore 3–D ----------------------------------------------------------------- C’est le produit de trois graphes en anneau de n , m et l éléments respectivement ! Caractéristiques du graphe : Graphe de degré régulier, de structure régulière ! Diamètre ( n+m+l ) / 2 et bissection 2 * n * min( m , l ) si n = min( n , m , l ) pour n*m*l nœuds ! Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a trois plus courts chemins alternatifs, avec un routage comme pour la grille mais incluant les modulos ! . . . C’est une grille avec les liens de rebouclage ! ! ! . . . 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Le tore 3–D ----------------------------------------------------------------- C’est le produit de trois graphes en anneau de n , m et l éléments respectivement ! Dans l’espace : C'est une structure très intéressante ! . . . . . . 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet L’hypercube ----------------------------------------------------------------- L E G R A P H E H Y P E R C U B E 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet L’hypercube ----------------------------------------------------------------- Nous pouvons construire des tores de toutes dimensions : ( k , k , . . . , k ) Nous obtenons un « hypercube » lorsque tous les anneaux comportent deux nœuds : ( 2 , 2 , . . . , 2 ) Deux nœuds « en ligne » et deux nœuds « en anneau » ont le même voisinage : 1 2 n Une ligne Un anneau 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet L’hypercube ----------------------------------------------------------------- Nous relions deux hypercubes de dimension 0 ! L’hypercube de dimension 0 ! ! ! L’hypercube de dimension 1 ! ! ! Nous relions deux hypercubes de dimension 1 ! L’hypercube de dimension 2 ! ! ! L’hypercube de dimension 3 ! ! ! 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet L’hypercube ----------------------------------------------------------------- Dimension 4 – le voilà ! 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet L’hypercube ----------------------------------------------------------------- L E S P R O P R I E T E S D E L ’ H Y P E R C U B E 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Il serait parfait si ce n'est pour le degré des noeuds . . . L’hypercube ----------------------------------------------------------------- Un hypercube de dimension n : comporte 2 nœuds, est régulier en structure et en degré qui vaut n , a un diamètre n et une bissection de 2 , permet d’y plonger un anneau, possède un routage simple et intuitif, possède n plus courts chemins arêtes-disjoints. n n–1 Il serait parfait si ce n'est pour le degré des noeuds . . . 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Une limitation sévère : Le nombre de noeuds doit L’hypercube ----------------------------------------------------------------- Une limitation sévère : Le nombre de noeuds doit être une puissance de 2 ! A ce moment, nous avons pour n nœuds : une dimension en log ( n ) , un degré en log ( n ) , un diamètre en log ( n ) , log ( n ) plus courts chemins arêtes-disjoints, une bissection de n / 2 ! 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet La numérotation dans l’hypercube ----------------------------------------------------------------- L A N U M E R O T A T I O N D A N S L ’ H Y P E R C U B E 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet La numérotation dans l’hypercube ----------------------------------------------------------------- La numérotation adéquate de l’hypercube est essentielle à son fonctionnement. Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2 . Pour construire un hypercube numéroté de dimension n : nous partons de deux hypercubes numérotés de dimension n–1 , pour l’un des cubes nous préfixons les nœuds d’un 0 , pour l’autre cube, nous préfixons les nœuds d’un 1 , nous relions les nœuds qui ne diffèrent que dans leur chiffre de poids fort ( dimension n ) ! 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet La numérotation dans l’hypercube ----------------------------------------------------------------- e 1 En décimal ! 2 3 1 0 1 1 Deux hypercubes et leur numérotation ! Nous préfixons d’un 0 ou d’un 1 ! Nous relions les nœuds qui diffèrent en dimension 1 seulement ! 0 0 0 1 1 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet La numérotation dans l’hypercube ----------------------------------------------------------------- 6 7 1 1 0 1 1 1 En décimal ! 4 5 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 Deux hypercubes et leur numérotation ! Nous préfixons d’un 0 ou d’un 1 ! Nous relions les nœuds qui diffèrent en dimension 1 seulement ! 2 3 0 0 0 0 0 1 1 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet La numérotation dans l’hypercube ----------------------------------------------------------------- Les liens de dimension 1 ! 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 dim 3 dim 2 0 0 0 0 0 1 dim 1 Leurs écritures décimales diffèrent de 1 . 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet L’anneau comme sous-graphe ----------------------------------------------------------------- L ’ A N N E A U C O M M E S O U S – G R A P H E 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet L’anneau comme sous-graphe ----------------------------------------------------------------- Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube. Les nœuds voisins dans l’hypercube ne diffèrent que dans une position binaire. Nous devons donc énumérer les nombres 0 à n–1 en changeant un seul bit à la fois. C’est le code de Gray : Le code de Gray de base est constitué de 0 suivi de 1 . Pour obtenir le code de Gray de longueur 2*n , il faut : le code de Gray de longueur n préfixé de 0 , le code de Gray de longueur n pris dans l’ordre inverse et préfixé de 1 . 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet L’anneau comme sous-graphe ----------------------------------------------------------------- 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Les chemins arêtes-disjoints ----------------------------------------------------------------- L E S C H E M I N S A R E T E S - D I S J O I N T S 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Les chemins arêtes-disjoints ----------------------------------------------------------------- Il y a n plus courts chemins arêtes-joints pour aller vers un autre nœud à distance n ! Distance 3 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet La diffusion dans l’hypercube ----------------------------------------------------------------- C O M M E N T D I F F U S E R E F F I C A C E M E N T ? ? 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet La diffusion dans l’hypercube ----------------------------------------------------------------- La diffusion d’information est une opération fréquente lors de calculs parallèles. L’hypercube permet de faire des diffusions très efficaces. Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés ! Au début un seul nœud connaît la valeur v ! v 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet La diffusion dans l’hypercube ----------------------------------------------------------------- La diffusion d’information est une opération fréquente lors de calculs parallèles. L’hypercube permet de faire des diffusions très efficaces. Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés ! Après diffusion en dimension 1 ils sont 2 à connaître v ! v v 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet La diffusion dans l’hypercube ----------------------------------------------------------------- La diffusion d’information est une opération fréquente lors de calculs parallèles. L’hypercube permet de faire des diffusions très efficaces. Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés ! Après diffusion en dimension 2 ils sont 4 à connaître v ! v v v v 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet La diffusion dans l’hypercube ----------------------------------------------------------------- La diffusion d’information est une opération fréquente lors de calculs parallèles. L’hypercube permet de faire des diffusions très efficaces. Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés ! v v Pour n nœuds le temps est en log ( n ) . v v Après diffusion en dimension 3 tous connaissent la valeur v ! v v v v 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet La diffusion dans l’hypercube ----------------------------------------------------------------- De la même manière, nous pouvons calculer la somme de valeurs détenues par le différents nœuds de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme. Nous échangeons et sommons en parallèle le long des différentes dimensions ! 1 4 8 2 Au début chaque nœud possède une valeur ! 3 6 5 7 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet La diffusion dans l’hypercube ----------------------------------------------------------------- De la même manière, nous pouvons calculer la somme de valeurs détenues par le différents nœuds de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme. Nous échangeons et sommons en parallèle le long des différentes dimensions ! 5 5 10 10 Après échange et sommation en dimension 1 ! 9 9 12 12 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet La diffusion dans l’hypercube ----------------------------------------------------------------- De la même manière, nous pouvons calculer la somme de valeurs détenues par le différents nœuds de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme. Nous échangeons et sommons en parallèle le long des différentes dimensions ! 15 15 15 15 Après échange et sommation en dimension 2 ! 21 21 21 21 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet La diffusion dans l’hypercube ----------------------------------------------------------------- De la même manière, nous pouvons calculer la somme de valeurs détenues par le différents nœuds de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme. Nous échangeons et sommons en parallèle le long des différentes dimensions ! 36 36 36 36 Après échange et sommation en dimension 3 ! 36 36 36 36 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

le dédoublement récursif La diffusion dans l’hypercube ----------------------------------------------------------------- On appelle ce principe le dédoublement récursif et c'est un des points forts de l'hypercube ! 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Le graphe de De Bruijn ----------------------------------------------------------------- L E G R A P H E D E D E B R U I J N 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Le graphe de De Bruijn ----------------------------------------------------------------- Il a été proposé par De Bruijn et Good en 1946. Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits en base b . ( x , . . . , x ) avec x e { 0 , . . . , b–1 } Le graphe DB ( b , d ) a les caractéristiques suivantes : Il possède b nœuds. Son diamètre vaut d . Chaque sommet est de degré 2 * b avec b arcs entrants et b arcs sortants. 1 d i d 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Le graphe de De Bruijn ----------------------------------------------------------------- Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en conservant des degrés et diamètres raisonnables. Soit l’hypercube de dimension 12 qui possède 4096 nœuds de degré 12 ! Le graphe de De Bruijn ayant le même degré et le même diamètre est : DB ( 6 , 12 ) DB ( 4 , 10 ) est un graphe de degré 8 et de diamètre 10 ! Le nombre de nœuds est 4^10 = 2^20 = 1 048 576 Il possède 2 176 782 336 noeuds ! ! ! 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Le graphe de De Bruijn ----------------------------------------------------------------- Les b arcs sortants du nœud ( x , x , . . . , x ) vont vers les nœuds ( x , . . . , x , y ) avec y e { 0 , . . . , b–1 } Et donc, les b arcs entrants du nœud ( x , . . . , x , x ) proviennent des nœuds ( y , x , . . . , x ) avec y e { 0 , . . . , b–1 } 1 2 d 2 d 1 d–1 d 1 d–1 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Le graphe de De Bruijn ----------------------------------------------------------------- Q U E L Q U E S E X E M P L E S 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Cours de graphes 8 - Intranet Le graphe de De Bruijn ----------------------------------------------------------------- DB ( 2 , 1 ) DB ( 2 , 2 ) 01 1 00 11 10 DB ( 2 , 3 ) 001 011 000 010 101 111 100 110 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet

Les graphes de De Bruijn sont très bien , mais peu intuitifs ! Le graphe de De Bruijn ----------------------------------------------------------------- Les graphes de De Bruijn sont très bien , mais peu intuitifs ! DB ( 3 , 1 ) 1 2 21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet