Calcul mental des carrés Découverte Junior – Gérard Villemin Calcul mental des carrés Par Clément (9 ans) en vacances sur la Côte d’Azur Le 20 juillet 2011 Arithmétique Junior – Chapitre 5

Carré des nombres en 10 J’ai un truc pour calculer les carrés très simplement. Ici, je pose 1, puis deux fois l’unité, puis le carré de l’unité. C’est expliqué sur la figure. 1 3 9 Carré de l’unité 6 Deux fois l’unité x Carré de la dizaine 10² = 100 11² = 121 12² = 144 13² = 169 14² = 196 15² = 225 Je montre la méthode de calcul car il y a des retenues. 16² => 1 12 36 => 256 17² => 1 14 49 => 289 18² => 1 16 64 => 324 19² => 1 18 81 => 361

Carré des nombres en 20 Pour les vingtaines, au centre, je prends quatre fois l’unité. 2 3 9 Carré de l’unité Quatre fois l’unité 4 x Carré de la dizaine 1 5 20² = 400 21² = 4 4 1 = 441 22² = 4 8 4 = 484 23² = 4 12 9 = 529 24² = 4 16 16 = 576 25² = 4 20 25 = 625 26² = 4 24 36 = 676 27² = 4 28 49 = 729 28² = 4 32 64 = 784 29² = 4 36 81 = 841

Carré des nombres en 30 3 2 4 9 x 1 c’est le double des dizaines Carré de l’unité Six fois l’unité 9 x Carré de la dizaine 1 Pour les trentaines, au centre, je prends six fois l’unité. 30² = 900 31² = 9 6 1 = 961 32² = 9 12 4 = 1024 33² = 9 18 9 = 1089 34² = 9 24 16 = 1156 35² = 9 30 25 = 1225 36² = 9 36 36 = 1296 37² = 9 42 49 = 1369 38² = 9 48 64 = 1444 39² = 9 54 81 = 1521 Règle générale: Six fois l’unité: c’est le double des dizaines

Carré des nombres en 40 4 2 6 x 1 7 Carré de l’unité huit fois l’unité la dizaine 1 7 40² = 1600 41² = 16 8 4 = 1684 En fait, pour être complet, il faudrait écrire les nombres avec leurs 0: 41² = 1600 + 80 + 4 = 1684 42² => 16 16 4 => 1764 43² => 16 24 9 => 1849 44² => 16 32 16 => 1936 45² => 16 40 25 => 2025 46² => 16 48 36 => 2116 47² => 16 56 49 => 2209 48² => 16 64 64 => 2304 49² => 16 72 81 => 2401

Carré des nombres en 50 5 2 4 x 7 Carré de l’unité dix fois l’unité dix fois l’unité x Carré de la dizaine 7 50² = 2 500 51² = 25 10 1 = 2 601 52² = 2 704 53² = 25 30 9 = 2 809 54² = 25 40 16 = 2 916 55² = 25 50 25 = 3 025 56² = 25 60 36 = 3 136 57² = 25 70 49 = 3 249 58² = 25 80 64 = 3 364 59² = 25 90 81 = 3 481

Carré des nombres de 100 à 109 1 2 x 1 x 2 4 4 1 1 4 4 Je me souviens que dans 100, il a 10 dizaines 1 2 x 1 x 2 100² = 10 000 101² = 10 201 102² = 10 404 103² = 10 609 104² = 10 816 105² = 11 025 106² = 11 236 107² = 11 449 108² = 11 664 109² = 11 881 Double des dizaines fois l’unité Carré de la dizaine Carré de l’unité 4 4 1 La règle s’applique toujours, mais lorsque les dizaines sont à plusieurs chiffres, cela devient plus compliqué. 1 4 4

Pour calculer le carré suivant (1/2) Je connais le carré d’un nombre; comment calculer le carré du nombre suivant ? C’est magique, non? 144 + 12 + 13 = 169 Carré 12² + 12 + 13 = 13² 4² = 16 5² = 25 Différence: 25 – 16 = 9 C’est la somme de 4 et 5. Est-ce toujours vrai ? 6² = 36 Différence: 36 – 25 = 11 C’est la somme de 5 et 6. On peut montrer que cette relation est effectivement toujours vraie. Pour trouver le carré suivant, il suffit d’ajouter la somme des deux nombres: 12² = 144 et lui en ajoutant 12 + 13 = 25, je trouve 169 qui est le carré de 13. Exemples: Le carré de 40 est 1600; celui de 41 est 1600 + 40 + 41 = 1681 Le carré de 100 est 10 000; celui de 1011 est 10 000 + 100 + 101 = 10 201

Pour calculer le carré suivant (2/2) 12² = 144 13² = ? 12 + 13 = 25 25 + 144 = 169 13² = 169 Pour bien comprendre, je peux illustrer la méthode comme indiqué sur cette figure  Pour trouver le carré suivant, il suffit d’ajouter la somme des deux nombres: 25 + 5 + 6 = 36, 36 + 6 + 7 = 49 … Pour les experts: Différence entre les carrés de deux nombres successifs (n) et (n+1) = somme des deux nombres. (n+1)² – n² = 2n + 1 = (n+1) + n

Carré des nombres de 110 à 119 Pour m’amuser à calculer les carrés, j’utilise la méthode des différences Le carré de (n+1) est égal au carré de n et j’ajoute les deux nombres n et n+1 110² = 12 100 221 111² = 12 321 223 112² = 12 544 225 113² = 12 769 227 114² = 12 996 229 115² = 13 225 231 116² = 13 456 233 117² = 13 689 235 118² = 13 924 237 119² = 14 161 239 Ce nombre est la somme de 110 et 111. Je l’ajoute à 12 100 et j’obtiens le carré de 111. 12 100 + 110 + 111 = 12 321 Je remarque que le nombre dans la colonne de droite augmente de 2 à chaque fois.

Les carrés des nombres de 0 à 99 Nombre n Cette courbe s’appelle une parabole Son carré n²

Tables des carrés des nombres jusqu’à 129² Pour lire 23², je prends la dizaine sur la colonne de gauche (2-) et l’unité sur la ligne en haut (3) et, je trouve 23² = 529. En rouge, quelques nombres à noter. En particulier 1024 = 32 x 32 = 2 x 2 x … 10 fois le nombre 2 = 210 C’est le kilo des ordinateurs, comme dans kilooctets.

Pour trouver le nombre quand je connais le carré Si on me donne le carré 25, je connais immédiatement le nombre qui donne ce carré. C’est 5, car 5 x 5 = 25. 25 est le carré de 5, et 5 est la racine carrée de 25. Comment calculer la racine carrée d’un nombre? Méthode 1: je consulte la table de la diapositive précédente: 1024 est le carré de quel nombre? Je regarde la table: c’est 32. 1000 est le carré de quel nombre? C’est un nombre plus grand que 31 (31² = 961) et plus petit que 32 (32² = 1024). La racine carrée de 1000 est un nombre compris entre 31 et 32. Méthode 2: j’utilise une calculette et sa fonction racine carrée (√): Je tape 1000 et j’appuie sur √; la calculette me donne 31,622776. Méthode 3: je calcule par essais successifs: Je calcule 31,5² = 992,25, c’est pas assez. Je calcule 31,7² = 1004,89, c’est trop. Je calcule 31,6² = 998,56, c’est pas assez. Je calcule 31,65² = 1001,72, c’est trop. Etc.

Calcul mental des carrés: règle générale Pour les experts, je découvre un peu d’algèbre: Exemple 1: 5 (3 + 2) = 5 x 3 + 5 x 2 = 15 + 10 = 25 Je reproduis la même chose mais avec des lettres: a (b + c) = a x b + a x c = a.b + a .c On met un point pour la multiplication pour ne pas confondre le signe x avec la lettre x. Exemple 2: (5 + 4) (3 + 2) = 5 (3 + 2) + 4 (3 + 2) = 5 x 3 + 5 x 2 + 4 x 3 + 4 x 2 (a + b)(c + d) = a (c + d) + b (c+d) = a.c + a.d + b.c + b.d On passe enfin au carré avec le prochain exemple Exemple 3: (10 + 2)² = (10 + 2) (10 + 2) = 10 x 10 + 10 x 2 + 2 x 10 + 2 x 2 = 10 x 10 + 4 x 10 + 4 (10 + a)² = (10 + a) (10 + a) = 100 + 10a + 10a + a² = 100 + 20a + a² (10 + a)² = 100 + 20a + a²

Calcul mental des carrés: règle générale Découverte Junior – Gérard Villemin (10 + a)² = 100 + 20a + a² Ex: 17² = (10 + 7)² = 100 + 20 x 7 + 49 = 100 + 140 + 49 = 289 (20 + a)² = 400 + 40a + a² Ex: 27² = (20 + 7)² = 400 + 40 x 7 + 49 = 400 + 280 + 49 = 729 Et voici notre fameuse règle de calcul mental des carrés: Dizaines Unité Carré de la dizaine Double des dizaines Carré de l’unité FIN Découverte Junior – Gérard Villemin