Mécanique des milieux continus Chapitre 3 Mécanique des milieux continus En arrière-plan: sur la poutre d’égale résistance. Galilée, Discorsi e dimostrazioni matematiche…, 1638.

Contenu du chapitre 3 (1) 1. Introduction 2. Déformation 3. Contrainte La mécanique des milieux continus (MMC) Secteurs de la MMC 2. Déformation Le tenseur de la déformation Types de déformations simples Les déformations principales 3. Contrainte La contrainte comme effort interne Le tenseur de la contrainte Les contraintes principales 4. Les équations de bilan A la recherche d’équations générales Conservation de la masse Conservation de la quantité de mouvement… …et de son moment

Contenu du chapitre 3 (2) 5. Comportement des matériaux 6. Élasticité Nécessité d’équations supplémentaires Relation contrainte-déformation Homogénéité et isotropie Types de matériaux solides 6. Élasticité La loi de Hooke généralisée L’énergie de déformation Élasticité anisotrope et isotrope Les équations de Lamé Les critères de résistance La fatigue 7. Bibliographie En librairie… … et sur Internet

Chapitre 3 1. Introduction La mécanique des milieux continus (MMC) Secteurs de la MMC En arrière-plan: sur les dimensions des structures biologiques. Galilée, Discorsi e dimostrazioni matematiche…, 1638.

La mécanique des milieux continus (MMC) (1) Si la mécanique classique générale s’occupe, traditionnellement, des corps rigides, la mécanique des milieux continus (MMC) s’occupe du comportement des corps continus déformables. On a déjà vu, au chapitre 2 (pages 14-16) les caractéristiques essentielles du modèle de corps continu. Maintenant, il ne faut que souligner la propriété essentielle de ceux qu’on appelle milieux continus, la déformabilité: sous l’action de certaines causes (forces appliquées, variations de température etc.) un milieux continu se déforme, à savoir il change, en générale, de volume et de forme.

La mécanique des milieux continus (MMC) (2) L’objet de la MMC est justement de donner les lois physiques qui décrivent les transformations des corps déformables, en prenant donc en compte les déformations et en considérant les différents types de comportement d’un milieux continu. La différence par rapport à la mécanique des corps rigides est surtout dans une difficulté accrue de la matière, surtout d’un point de vue mathématique, nécessaire à prendre en compte la description de la déformabilité. Ceci comporte l’introduction de nouveaux concepts mécaniques et des instruments mathématiques capables de les décrire: les tenseurs (de la déformation, de la contrainte, de l’élasticité etc.).

La mécanique des milieux continus (MMC) (3) Fixons d’abord un schéma général, auquel on reviendra plusieurs fois, et qui va nous servir, maintenant, pour introduire toutes les quantités qui peuvent apparaître en MMC. Le corps continu: on l’indiquera avec W, qui est aussi la région de l’espace euclidien qu’il occupe à un instant donné; sa frontière, qu’on indiquera avec W: c’est l’enveloppe de W; W est formé de points matériels p, dont les déplacements sont indiqués par u; la masse volumique r: elle est, en général, fonction de la position p et du temps t: r= r(p,t); les forces volumiques b: ce sont les forces distribuées sur les points de W par unité de volume (p. ex. la pesanteur); Wu Wt W W p u les forces surfaciques t: ce sont les forces de contact par unité de surface (p. ex. la pression), appliquées sur une partie Wt de W; les déplacements de la frontière: sur une partie Wu de W on peut avoir des déplacements donnés (souvent nuls, p. ex. aux appuis). r= r(p,t) b

Secteurs de la MMC La MMC se divise en plusieurs secteurs: étude de la déformation; étude de la contrainte; lois de bilan; rhéologie: étude du comportement des matériaux; mécanique des solides; mécanique des fluides. La mécanique des fluides sera introduite au chapitre 4; dans ce chapitre on abordera les autres parties; pour ce qui concerne la mécanique des solides, on se bornera à une introduction à la théorie de l’élasticité. Dans tout ce qui suit, on n’introduira que des grandeurs mécaniques; en particulier, on ne s’occupera pas des phénomènes liés aux changements de température.

Chapitre 3 2. Déformation Le tenseur de la déformation Types de déformations simples Les déformations principales En arrière-plan: sur la résistance des poutres. Galilée, Discorsi e dimostrazioni matematiche…, 1638.

Le tenseur de la déformation (1) Le problème qui se pose lorsqu’on souhaite étudier les transformations d’un milieux continu est: comment mesurer les déformations? Ce n’est pas une question simple, car les déformations concernent aussi bien les changements de volume (donc des dimensions) que de forme. Ensuite, il faut une mesure efficace, capable de représenter des quantités qui ont une signification géométrique et physique précise et si possible simple. Une observation peut être faite dores et déjà: comme les déformations peuvent changer avec l’endroit, la mesure de la déformation doit être une mesure locale, ponctuelle. Plusieurs mesures de la déformations sont possibles (la déformation n’est pas une grandeur physique objective, absolue, comme p. ex. la masse ou la longueur; elle est conventionnelle). A l’aide d’un exemple simple nous allons voir la définition la plus classique de la déformation.

Le tenseur de la déformation (2) Considérons donc une barrette de matériau déformable, soumise à une traction. La barrette se déforme et on peut mesurer sa déformation par le rapport entre la variation de sa longueur et sa longueur initiale: Cette quantité est adimensionnelle. Elle donne une mesure de l’effet de déformation de la force appliquée. Si la déformation est une dilatation, e > 0, si elle est une contraction, e < 0. Cette mesure de la déformation est seulement une des mesures possibles; elle est la plus utilisée si les déformations en jeu sont petites (hypothèse des petites perturbations, HPP).

Le tenseur de la déformation (3) L’HPP est une hypothèse adoptée en MMC classique. Ceci est justifié par le fait que la plupart des matériaux qu’on étudie sont tellement rigides que les déformations qu’ils permettent sont, normalement, très petites. Or, la définition vue ci-dessus ne peut pas compléter l’analyse de la déformation. En fait elle est macroscopique (la mesure est faite sur la pièce entière, non localement) et unidirectionnelle (on fait implicitement l’hypothèse que la seule déformation en jeu est la dilatation le long de l’axe de la barrette). Pour étudier la déformation d’un milieu continu quelconque, il faut généraliser cette définition.

Le tenseur de la déformation (4) Cette généralisation doit pouvoir décrire localement et complètement la déformation. En fait, un corps continu peut subir une déformation qui change avec la position et la déformation ne concerne pas que les variations de longueur, mais aussi les autres caractéristiques géométriques, comme par exemple les angles, les volumes etc. La généralisation de la mesure de la déformation se fait par une grandeur mathématique complexe, le tenseur de la déformation, qu’on indiquera classiquement par e. Voyons comment on calcule e et quelle est la signification géométrique de ses composantes.

Le tenseur de la déformation (5) En général, lors d’une déformation, due p. ex. à l’application de forces, les points d’un corps W se déplacent: chaque point p va occuper une nouvelle position, p’ (très proche à p, par l’HPP), en effectuant un déplacement u=u(p). Considérons deux vecteurs matériels infiniment petits, v et w, appliqués en p, qui forment l’angle q. A la suite de la déformation, eux aussi résulteront déformés: en particulier, ils se seront transformés en deux autres vecteurs infiniment petits, v’ et w’, qui forment un angle q’. L’analyse de la déformation doit permettre de calculer les variations de longueur des deux segments, la variation d’angle et toutes les autres variations géométriques, en particulier celle du volume. W W v w q W’ W’ p u(p) p’ v’ w’ q’ o x3 x2 x1

Le tenseur de la déformation (6) Mathématiquement, on définit e comme la partie symétrique du gradient de déplacement: La quantité ui,j est la dérivée de la composante ui de u faite par rapport à la coordonnée xj. e est donc représenté par une matrice symétrique: 6 composantes de e sont nécessaires pour connaître, localement, la déformation! Voyons à présent la façon dont e est lié au calcul de la déformation.

Le tenseur de la déformation (7) Calcul de la déformation linéaire: le taux de variation de longueur d’un vecteur v en p est donnée par Calcul de la variation angulaire: la variation d’angle formé par deux vecteurs v et w est Calcul de la variation de volume: le taux de variation de volume est donné par: Un déformation est donc isochore (sans changement de volume) si le champ de déplacement est solénoïdal (à divergence nulle).

Le tenseur de la déformation (8) Voyons maintenant la signification des composantes eij de e. D’abord, si dans la formule on prends comme vecteur v un des trois vecteurs des axes, ei, on a: Les composantes sur la diagonale de e donnent donc le taux de variation de longueur des axes. Ensuite, si dans la formule on prends pour v et w deux vecteurs des axes, on a: Les composantes hors diagonale de e donnent donc la variation angulaire des angles formés par les axes. q ej ei ei’ ej’ q’ eij

Types de déformations simples (1) Extension (de valeur a en direction e1): c’est quand Tel est le cas de la barrette en traction vue auparavant. Le déplacement varie avec x1 mais la déformation est constante. Dilatation (de valeur l): c’est quand: C’est le cas, p.ex., d’un ballon qu’on gonfle ou de la déformation due à une pression extérieure (dans ce cas l<0). u(p) e1 o u(p) o

Types de déformations simples (2) Glissement (de valeur g par rapport aux directions e1 et e2): c’est quand On peut démontrer, entre autres, que chaque déformation peut être décomposée en une dilatation et une combinaison isochore de trois extensions plus trois glissements. Donc, ces trois simples déformations sont intéressantes aussi comme «briques» fondamentales de toute autre déformation possible. Toutefois, il y a une autre, très intéressante, représentation particulière de la déformation, que nous allons voir. x2 u(p) o x1

Les déformations principales En fait, la matrice qui représente e varie avec le repère choisi. Or, on peut démontrer qu’il existe toujours un repère particulier, le repère principale de la déformation, dans lequel e est diagonal. Ceci signifie que dans ce repère les axes ne subissent pas des transformations angulaires: ils restent parallèles à eux-mêmes et orthogonaux entre eux. Dans le repère principal, les composantes diagonales de e donnent les dilatations de trois axes principaux: ce sont les déformations principales. On peut démontrer que parmi ces déformations il y a la dilatation locale la plus grande et la plus petite.

Chapitre 3 3. Contrainte La contrainte comme effort interne Le tenseur de la contrainte Les contraintes principales En arrière-plan: sur la résistance à la traction. Galilée, Discorsi e dimostrazioni matematiche…, 1638.

La contrainte comme effort interne (1) Les force qui sont appliquées à un milieux continus le déforment, on l’a déjà dit, et cette déformation intéresse, en règle générale, tout le corps: elle est locale, c’est-à-dire variable avec la position. Mais alors, comment peut se déformer localement un corps, sinon par le fait qu’il y a des forces internes aux corps même, qui produisent localement la déformation? En effet, les différentes parties d’un milieu continu s’échangent entre elles de forces, par le simple fait qu’elles sont en contact. Ces forces, par unité de surface, prennent le nom de contraintes internes, ou de contraintes de Cauchy, du nom du scientifique qui les a étudiées, ou plus simplement de contraintes.

La contrainte comme effort interne (2) Voyons comment Cauchy a interprété le concept de contrainte interne: considérons un corps continu W et un point pW; imaginons de sectionner W en deux parties, W1 et W2, à travers un plan p qui passe par p; soit n le vecteur unitaire par p, orthogonal à p et extérieur à W1; à travers la section p, la partie W2 transmet une force de contact t à W1: c’est la contrainte en p sur p; par le Principe d’action et réaction, W2 transmet à W1 la contrainte égale et contraire; p W p le vecteur t peut être décomposé en deux vecteurs: la contrainte normale, tn, selon la normale n, et la contrainte tangentielle tt, sur le plan p. tt tn t n

Le tenseur de la contrainte (1) Cauchy a aussi donné le théorème pour calculer la contrainte t, c’est son théorème en or: Donc, selon Cauchy, la contrainte ne dépend que de la normale n, c’est-à-dire de l’orientation du plan p, outre que de la position p. s(p) est le tenseur de la contrainte en p; en fait, en général, ce tenseur est local, car normalement l’état de contrainte change avec la position. s décrit complètement l’état de la contrainte en correspondance du point p: Voyons la signification physique des composantes sij de s.

Le tenseur de la contrainte (2) Pour cela, considérons un cube de matériau avec les arêtes parallèles aux axes. Alors, si l’on considère les trois normales e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) et e3=(0,0,1), on voit bien que: les composantes sur la diagonale représentent les contraintes normales sur les trois faces orthogonales aux axes; les composantes hors diagonale représentent les deux composantes tangentielles de la contrainte: le premier indice est celui de l’axe auquel la composante tangentielle est parallèle, le deuxième est celui de l’axe auquel la face est orthogonale; x3 s13 s33 s23 les trois composantes de s sur une même colonne sont les trois composantes du vecteur contrainte sur la face du cube orthogonale à l’axe qui a l’indice de la colonne (le 2ème des 2 indices des composantes). s12 s22 s32 s11 s21 s31 x2 x1

Les contraintes principales Comme pour la déformation, la matrice qui représente s varie avec le repère choisi. Encore comme pour e, on peut démontrer qu’il existe toujours un repère particulier, le repère principale de la contrainte, dans lequel s est diagonal. L’interprétation physique est analogue: selon ces trois directions, la matière est simplement soumise à effort normal, pas à effort tangentiel. Dans le repère principal, les composantes diagonales de s donnent les contraintes normales selon les trois directions principales: ce sont les contraintes principales. On peut démontrer que parmi ces contraintes il y a la contrainte normale la plus grande et la plus petite.

Chapitre 3 4. Les équations de bilan A la recherche d’équations générales Conservation de la masse Conservation de la quantité de mouvement… …et de son moment En arrière-plan: sur le levier. Galilée, Discorsi e dimostrazioni matematiche…, 1638.

A la recherche d’équations générales Comme pour les corps rigides, il faut trouver pour les milieux déformables des équations générales. Celles-ci doivent décrire les transformation qu’un corps continu subit dans le temps, une fois connues les causes de ces transformations (d’habitude, les forces appliquées). Or, il y a une technique mathématique standard, mais plutôt compliquée, qui nous permet de trouver ces équations; elle se base sur un bilan: le taux de variation est égal au débit des causes de variation. Pour cette raison, ce équations s’appellent équations de bilan ou de conservation. Il faut remarquer que le bilan est toujours écrit pour une partie matérielle du corps continu, c’est-à-dire pour une partie constituée, durant toute la transformation, par les mêmes particules matérielles. Les équations fondamentales de bilan sont 3: de la masse, de la quantité du mouvement et de son moment.

Conservation de la masse Ici, la quantité dont on fait le bilan est la masse volumique (ou densité) r. Cette équation établi que pour une partie matérielle la masse se conserve (car une partie matérielle est formée toujours par les mêmes particules). Si v indique la vitesse, cette équation est: Cette équation s’appelle aussi équation de continuité. Elle exprime la variation temporelle de la densité, variation qui est liée à la vitesse des particules du milieu. Pour un mouvement isochore, la densité est constante: Donc, une transformation isochore a non seulement le champ de déplacement solénoïdal (page 16), mais aussi celui de la vitesse.

Conservation de la quantité de mouvement… La quantité de mouvement est le produit de la masse par la vitesse. Le 2ème Principe de Newton stipule, pour les systèmes à masse constante comme les parties matérielles, la variation temporelle de la quantité de mouvement en fonction des causes, les forces appliquées. Pour un corps continu, l’équation de bilan de la quantité de mouvement donne: Cette équation est l’équivalent du 2ème Principe pour un corps déformable (par unité de volume): parmi les actions, à côté des forces de volume b il faut compter aussi la divergence de s (ce vecteur a pour composantes la divergence de chaque ligne de s). En cas d’équilibre, la vitesse et nulle et on obtient ainsi les équations d’équilibre pour un corps déformable:

…et de son moment La conservation du moment de la quantité de mouvement est l’équivalent, pour un corps déformable, de la deuxième équation du PFS. Cette équation de bilan a comme résultat que le tenseur de la contrainte est symétrique: Donc, pour connaître l’état de contrainte en un point, il faut connaître 6 quantités indépendantes au lieu de 9. Entre autres, c’est cette propriété de symétrie qui garantit l’existence des directions principales de la contrainte (et la même chose on peut la dire pour la déformation).

Chapitre 3 5. Comportement des matériaux Nécessité d’équations supplémentaires Relation contrainte-déformation Homogénéité et isotropie Types de matériaux solides En arrière-plan: sur la poutre console. Galilée, Discorsi e dimostrazioni matematiche…, 1638.

Nécessité d’équations supplémentaires Les équations de bilan sont au nombre de 4: une équation de continuité (conservation de la masse) et les trois composantes scalaires de l’équation de mouvement. Toutefois, les inconnues sont 10: la densité r, les 3 composantes vi du vecteur vitesse et les 6 composantes distinctes sij du tenseur de la contrainte. Donc, pour espérer de résoudre le problème, il faut 6 équations supplémentaires. Or, ces 6 équations ne peuvent pas correspondre à un principe général, car tout ce qu’on pouvait écrire de général on l’a déjà écrit. En fait, les équations qui manquent doivent introduire le comportement du milieux, spécifier le type de sa réponse aux actions. En effet, les équations générales ne font pas de distinction entre deux milieux différents, mais c’est évident qu’une pièce en caoutchouc répond de façon différente à une force appliquée que la même pièce en acier. Les nouvelles équations sont donc particulières à un matériau et décrivent sa réponse: ce sont les lois de comportement.

Relation contrainte-déformation Une loi de comportement (ou équation constitutive) spécifie le type de réponse d’un certain matériau vis-à-vis d’une action donnée (ici action est entendue en sens généralisé: force, contrainte, température etc.). Une loi de comportement doit respecter certains requis (comme le principe d’objectivité matérielle, qui stipule que le réponse ne dépend pas de l’observateur). Ce type de loi met en correspondance la contrainte avec la déformation (ou, comme en mécanique des fluides, avec la vitesse de déformation): c’est la relation contrainte-déformation: Cette relation donne les six équations manquantes, car elle exprime les six composantes de s en fonction des 6 composantes de e, lesquelles sont fonctions des composantes du vecteur déplacement: le problème peut donc être résolu.

Homogénéité et anisotropie (1) A part le type de comportement qui caractérise la réponse d’un matériau, il existe deux propriété générales d’un milieu continu: l’homogénéité et l’isotropie. L’homogénéité est la propriété pour laquelle la loi de comportement d’un milieu ne dépend pas de la position. Un corps qui a cette propriété est dit homogène, hétérogène dans le cas opposé. Des exemples de matériaux homogène sont les métaux, les plastiques, les céramiques, le verre, les fluides monophasiques, le chocolat sans noisettes etc. Exemples de matériaux hétérogènes sont le bois, le béton, les composites, les fluides bi-phasiques (le champagne!), le chocolat avec noisettes etc.

Homogénéité et anisotropie (2) Finalement, si un matériau est homogène, une seule loi de comportement suffit à le décrire, alors que s’il est hétérogène, il faut plusieurs lois ou plutôt une loi dont les paramètres sont fonctions de la position. L’isotropie est la propriété pour laquelle la réponse d’un matériau est insensible à la direction. Un matériau qui a cette propriété s’appelle isotrope, anisotrope en cas contraire. Exemples de matériaux isotropes sont les métaux, le béton, les céramiques, le verre, les fluides, les plastiques etc. Exemples de matériaux anisotropes sont le bois, les composites, certaines pierres sédimentaires etc.

Types de matériaux solides (1) Considérons, dans la suite de ce chapitre, seulement des matériaux solides homogènes et isotropes. D’un point de vue expérimental, la caractérisation d’un matériau se fait à l’aide d’un essai de laboratoire classique, le test de traction. Ce test est le plus simple qu’on puisse faire, et donne des indications précieuses. Le test se fait sur une échantillon (éprouvette) de matériau qui a une forme et des dimensions caractéristiques et réglementées (voir la figure).

Types de matériaux solides (2) La partie centrale de l’éprouvette est instrumentée avec des jauges électriques (capteurs de déformation) alors que des capteurs de force placés sur la machine de traction permettent la mesure de l’effort appliqué. Grâce au test de traction, on peut tracer le diagramme fondamental d’un matériau, la courbe contrainte-déformation. Cette courbe a en abscisses la déformation et en ordonnées la contrainte correspondante. Voyons un cas typique, celui d’un acier de construction.

Types de matériaux solides (3) Le diagramme peut se diviser en plusieurs zones: zone élastique: le comportement est linéaire, jusqu’à la contrainte sél; si l’on décharge l’éprouvette, on repasse par la droite de chargement; s zone plastique: la déformation augmente à contrainte fixe; si l’on décharge, on suit une droite parallèle à la droite de chargement et à contrainte nulle on a une déformation résiduelle plastique: l’épro- uvette ne retrouve plus ses dimensions d’origine; zone d’écrouissage et rupture: la contrainte recommence à croître, mais pas de façon linéaire, jusqu’à la striction et rupture totale de l’éprouvette. srupt eres-rupt etot-rupt sél eél eres eplast e

Types de matériaux solides (4) Le test de traction permet de dire de quel type de matériau s’agit. L’acier de construction est un matériau élasto-plastique avec écrouissage. La première phase, élastique, est présente dans presque tous les matériaux, en mesure plus ou moins grande. La phase plastique, dans laquelle le matériau subit des grandes déformations sous une contrainte constante, n’est pas présente dans tous les matériaux; c’est une phase extrêmement importante pour les applications et caractérise les matériaux ductiles. Les métaux et bon nombre de plastiques sont des typiques matériaux ductiles. Les matériaux qui n’ont pas la phase plastique arrivent à rupture à la fin de la phase élastique, avec des déformations d’habitude très petites, presque nulles: ce sont les matériaux fragiles.

Types de matériaux solides (4) Le verre, les céramiques, certains composites, la terre cuite, la fonte sont des typiques matériaux fragiles. La fragilité constitue un problème pour l’emploi structural d’un matériau, car l’absence de phase plastique ne permet pas de constater s’il y a un danger: si la force augmente au delà du prévu, dans un matériau ductile la crise est annoncée par des déformations très importantes, alors qu’on est encore loin de la rupture, tandis que dans un matériau fragile, la rupture n’est pas précédée par des signes précurseurs, car on est toujours en phase élastique. Une autre particularité est celle des matériaux non résistant à la traction: ces matériaux ont d’habitude une excellente résistance à la compression, mais presque aucune résistance à la traction, à tel point qu’on peut la négliger complètement. L’exemple le plus typique est le béton (et en fait, pour l’utiliser comme on doit l’armer avec l’acier qui, lui, résiste très bien à la traction: c’est l’invention du béton armé!). On reviendra au chapitre 5 sur la statique de ces matériaux.

Chapitre 3 6. Élasticité La loi de Hooke généralisée L’énergie de déformation Élasticité anisotrope et isotrope Les équations de Lamé Les critères de résistance La fatigue En arrière-plan: sur l’équilibre des corps. Galilée, Discorsi e dimostrazioni matematiche…, 1638.

La loi de Hooke généralisée (1) L’élasticité est une propriété générale des matériaux solides. Cette propriété fut énoncée par Hooke en 1660: ut tensio sic vis: la déformation est proportionnelle à l’effort appliqué. Et c’est exactement ça l’élasticité: la proportionnalité qui existe entre l’effet (la déformation) et la cause (la contrainte). Cette proportionnalité comporte que l’effet disparaît si la cause cesse: physiquement, si on décharge, le corps reprend exactement sa forme et ses dimensions d’origine: l’élasticité n’a pas un effet de mémoire.

La loi de Hooke généralisée (2) L’autre propriété de la proportionnalité est la linéarité: le lien entre contrainte et déformation est linéaire. On parle plus précisément, dans ce cas, d’élasticité linéaire, car ils existent des matériaux pour lesquels le lien n’est pas linéaire. Le lien élastique linéaire le plus général est donc du type: C’est la loi de Hooke généralisée, qui caractérise les matériaux élastiques linéaires, au moins pour leur phase élastique, tels la plupart des métaux.

La loi de Hooke généralisée (3) L’opérateur C qui apparaît dans la loi de Hooke généralisée est le tenseur de l’élasticité. Il contient toutes les informations, sous forme de composantes, qui permettent de décrire quantitativement le comportement d’un matériau élastique linéaire. Or, C est un tenseur du 4ème ordre, c’est-à-dire que ses composantes ont 4 indices et les composantes sij sont données par: P. ex.:

La loi de Hooke généralisée (4) Ayant 4 indices, C a 81 composantes! Ceci serait une grande complications parce que, p. ex., un matériaux dont le comportement dépend de 81 paramètres distinctes aurait besoin de 81 mesures de laboratoires pour être caractérisé (vraiment trop compliqué!). Heureusement, le nombre de composantes distinctes de C est beaucoup plus petit, et cela pour plusieurs raisons. D’abord, les symétries de s et de e font en sorte que: Ces sont les symétries mineures, qui réduisent les composantes distinctes de 81 à 36.

L’énergie de déformation (1) L’autre réduction est due à l’existence de l’énergie de déformation élastique, mise en évidence par Green. L’énergie de déformation élastique par unité de volume est Elle généralise à un corps tridimensionnel l’énergie potentielle élastique introduite pour un ressort linéaire au chapitre 2 (page 56). En fait, par la loi de Hooke généralisée il est aussi

L’énergie de déformation (2) En fait, toutes les preuves de laboratoire faites sur tous les matériaux élastiques existant, même les cristaux à la structure la plus complexe, ont montré l’existence de cette énergie interne. Or, on peut démontré que l’existence de l’énergie interne comporte d’autres symétries sur les indices des composantes de C : Ce sont les symétries majeures, qui réduisent le nombre des composantes indépendantes de 36 à 21. La réduction est donc importante, mais en réalité on a d’autres réductions possibles.

Élasticité anisotrope et isotrope (1) En fait, les deux réductions vues ci-dessus sont totalement générales, concernent tous les matériaux. Mais on peut réduire encore le nombre de constantes indépendantes si l’on considère les éventuelles symétries matérielles du matériaux. Un matériau avec 21 constantes élastiques distinctes est dit totalement anisotrope. Or, on n’a jamais trouvé un tel type de matériau, car en Nature la matière s’organise normalement selon certaines symétries. L’exemple le plus classique ce sont les cristaux, qui ont une structure régulière basée sur certaines symétries matérielles, dépendant de la distribution des molécules sur le réticule cristallin.

Élasticité anisotrope et isotrope (2) La présence de ces symétries matérielles réduit ultérieurement le nombre de composantes indépendantes de C, mais cela dépend évidemment du matériau même: les réductions ultérieures ne sont pas générales, mais fonction du matériau. La catégorie la plus importante de symétrie matérielle est l’orthotropie: un matériau orthotrope est un matériau qui a trois plans orthogonaux de symétrie matérielle. Nombre de cristaux sont orthotropes, mais aussi les composites renforcées par des fibres orientées, qui créent artificiellement les symétries matérielles.

Élasticité anisotrope et isotrope (3) Un matériaux orthotrope a seulement 9 composantes élastiques indépendantes. Des symétries plus poussées existent encore. D’abord, l’isotropie transverse: c’est une orthotropie dans laquelle tous les axes qui sont orthogonaux à un des axes d’orthotropie sont de symétrie. C’est le cas du bois: les fibre sont distribuées de façon uniforme autour de l’axe central du tronc: toute direction orthogonale à l’axe du tronc est de symétrie. Un matériau transversalement isotrope est caractérisé par seulement 5 composantes indépendantes. Finalement, la dernière réduction est obtenue pour les matériaux isotropes.

Les équations de Lamé (1) On a déjà introduit l’isotropie comme indépendance de la réponse matérielle de la direction. On peut considérer, de façon totalement équivalente, l’isotropie comme la symétrie totale: un matériau isotrope est un matériau pour lequel toute direction est de symétrie matérielle. Ou encore: il n’y a pas de directions privilégiées, d’un point de vue mécanique: toute direction est mécaniquement équivalente. Or, on démontre que pour un matériau isotrope, le nombre de constantes élastiques indépendantes est seulement de 2! La réduction est énorme (de 81 à 2), et ces deux constantes peuvent être déterminées à l’aide d’un seul test de laboratoire: le test de traction qu’on a déjà vu.

Les équations de Lamé (2) Lamé a spécifié la loi de Hooke pour les matériaux élastiques linéaires isotropes: l et m ce sont les constantes de Lamé, qui décrivent complètement le comportement élastique d’un milieu isotrope. En notation indicielle, il est Le terme ekk indique évidemment la trace de e:

Les équations de Lamé (3) Souvent, au lieu d’utiliser directement les constantes l et m, on préfère les remplacer par deux autres constantes, fonctions de l et m, car de signification physique plus directe et de plus simple mesure: le module d’Young, E, et le coefficient de Poisson, n : Avec E et n, les équations de Lamé deviennent: Les équations de Lamé inverses s’obtiennent facilement:

Les équations de Lamé (4) Voyons la signification physique de E et n, et pour cela, comme déjà dit, considérons encore une fois le test de traction. Une fois la charge de traction appliquée, l’éprouvette s’allonge en direction longitudinale et se rétrécie en direction transversale (c’est l’effet Poisson). Dans la zone centrale de l’éprouvette, l’état de contrainte est uniforme: En inversant les équations de Lamé, on obtient: x3 x2 x1

Les équations de Lamé (5) La signification physique de E et n est donc évidente: E mesure le rapport entre la contrainte normale et la déformation qui lui correspond; c’est donc la rigidité (par unité de surface et de déformation) du matériau; n mesure le rapport entre les deux déformations, transversale et longitudinale; c’est donc une mesure de l’effet Poisson dans un matériau donné. Le calcul de E et n se fait d’après la mesure de la force appliquée f (grâce à des capteurs de force) et des déformations, longitudinale e33 et transversale, e11 ou e22, par le biais de jauges extensimétriques collées sur l’éprouvette. Comme l’état de contrainte est uniforme dans la partie centrale de l’éprouvette, et donc:

Les équations de Lamé (6) On démontre mathématiquement que E est une quantité positive, alors que A remarquer que si n<0 le matériau se dilate en direction transversale lorsqu’on le tire! C’est p. ex. le cas du Gore-tex® ou encore d’autres matériaux nouveaux, ainsi que de quelques composites dans certaines directions. Quelques valeurs pour des matériaux courants: Acier Allum. Bois Béton Verre Carbone E (GPa) 210 73 15 25 30 190  400 n 0.3 0.2  0.4 0.20.3

Les critères de résistance (1) La théorie de l’élasticité constitue peut-être le plus complet et rigoureux exemple de théorie mécanique. Elle permet de calculer l’état de contrainte et déformation dans de nombreux cas intéressants en pratique et donne aussi la démarche générale pour les calculer de façon numérique dans un cas quelconque. Elle s’appuie sur un certain nombre de théorèmes qu’on démontre mathématiquement, dans le cadre théorique présenté ci-dessus (les hypothèses fondamentales restent la HPP et la loi de Hooke généralisée). La théorie de l’élasticité a donc permis le développement de la mécanique des structures, car pour celle-ci la constatation fondamentale est que toute structure se comporte de façon élastique. Nous ne verrons pas d’autres sujets en théorie de l’élasticité, car elle est une théorie «dure» d’un point de vue mathématique.

Les critères de résistance (2) Toutefois, nous avons vu lors de l’étude du test de traction, que la zone élastique n’est pas infinie, mais elle termine, souvent, pour les matériaux ductiles, avec une zone plastique. Or, on à déjà dit que les structures se comportent de façon élastique. Ceci est très important dans les applications, car il comporte qu’une fois la structure utilisée, elle revient à sa forme et dimensions d’origine quand les actions cessent d’agir. En plus, l’élasticité linéaire signifie simplement qu’à effort double correspond déformation double etc. Or, en réalité, en considérant le diagramme contrainte-déformation, il faudrait plutôt dire qu’il faut faire en sorte qu’une structure se comporte de façon élastique. En fait, les concepteurs de structures doivent s’assurer que le matériau reste partout en zone élastique.

Les critères de résistance (3) En fait, en zone plastique, les déformations sont irréversibles, et la structure ne reprend plus sa forme et dimensions d’origine (imaginez la Tour Eiffel que sous l’action du vent va en régime plastique: une fois le vent cessé, elle resterait penchée…). Les concepteurs ont donc besoin de contrôler l’état de contrainte dans la structure pour s’assurer qu’on n’arrive jamais à la contrainte limite qui, pour les matériaux ductiles, est la contrainte limite d’élasticité, sél. Or, si le matériau est soumis à un état monoaxial, comme pour l’éprouvette en traction, c’est simple de faire ce contrôle, il suffit de comparer directement la contrainte avec sél. Mais, comme c’est le cas le plus souvent, normalement on a plusieurs composantes de contraintes non nulles (le tenseur s est «plein»). Dans ce cas, il faut un critère, capable de transformer le tenseur de la contrainte en une contrainte «idéale» qu’on peut comparer avec sél.

Les critères de résistance (4) Le concepteurs appelle ça un critère de résistance. Le critère de résistance le plus utilisé en élasticité, pour les métaux, est le critère de Von Mises. Selon ce critère, la limite élastique d’un matériaux est atteinte lorsque l’énergie de déformation responsable du changement de forme du corps arrive à une valeur limite, qui dépend du matériau. C’est intéressant de voir que selon Von Mises, ce ne sont pas les changements de volume responsables de l’obtention de l’état limite, mais seulement les changements de forme. A stricte rigueur, ceci est faux: en fait, ça voudrait dire, p. ex., qu’on arriverait jamais à casser un ballon qu’on gonfle! Toutefois, dans le cadre de l’HPP c’est une modèle qui donne des bonnes prédictions; comme, par la grande rigidité des métaux, on est presque toujours en HPP, ce critère est universellement accepté.

La fatigue (1) Il y a toutefois un cas où un matériau peut se rompre pour des valeurs de la contrainte maximale inférieures à la valeur limite de rupture: c’est le cas de la fatigue. La fatigue est un phénomène qui se produit lorsqu’une pièce mécanique est sollicité dynamiquement, de sorte à ce que la contrainte oscille entre deux valeurs. Dans ce cas, comme dit, la rupture peut se produire, au bout d’un certain nombre de cycles, même si, en conditions statiques, on serait en sécurité. Griffith, en 1920, a donné un modèle efficace pour expliquer le phénomène de la fatigue. Ceci est dû essentiellement au fait que le chargement dynamique donne de l’énergie à la pièce et cette énergie se transforme en énergie de création de nouvelles surfaces.

La fatigue (2) Alors, une microfissure (il y a toujours des microfissures dans les pièces mécaniques), commence à se propager et à un moment donné arrive à casser complètement la pièce. Il faut dire qu’il s’agit d’un phénomène très complexe et dangereux. Beaucoup de désastres ont été provoqués par la fatigue: les Liberty Ship, qui se cassaient en deux, au beau milieu de l’océan, les avions Constellation, qui perdaient les ailes, des ponts qui se cassaient etc. La fatigue n’est pas un phénomène élastique, mais il est insidieux pour les structures élastiques sollicitées de façon dynamique: il faut toujours le considérer avec beaucoup de précaution.

Chapitre 3 7. Bibliographie En librairie… … et sur Internet En arrière-plan: sur la résistnce des poutres de différentes dimensions. Galilée, Discorsi e dimostrazioni matematiche…, 1638.

En librairie… A. E. H. Love: A treatise on the mathematical theory of elasticity. Dover, 1927. (La Bible de la théorie l’élasticité…). C. A. Truesdell: A first course in rational continuum mechanics. Academic Press, 1977 (2 tomes). Edition française: Introduction à la mécanique rationnelle des milieux continus. M. E. Gurtin: An introduction to continuum mechanics. Academic Press, 1981. J. E. Marsden, T. J. R. Hughes: Mathematical foundations of elasticity. Dover, 1983. G. Duvaut, Mécanique des milieux continus. Dunod, 1990. P. Germain, P. Müller: Introduction à la mécanique des milieux continus. Masson, 1993. J. Coirier: Mécanique des milieux continus. Dunod, 1997.

… et sur Internet P. Pedersen: Elasticity, anisotropy, laminates. Cours d’élasticité orienté aux stratifié en composite, à télécharger à l’adresse www.fam.dtu.dk/html/pp.html, 1997. J. Salençon: Mécanique des milieux continus. Tome 1. Un must de l’Ecole Polytechnique, à télécharger à l’adresse http://www.imprimerie.polytechnique.fr/Editions/Files/p_T1.pdf, 2001. J. Garrigues: Mécanique des milieux continus. Document à télécharger à l’adresse http://esm2.imt-mrs.fr/gar/mmc.html, 2002.