Vecteurs géométriques et forces Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction Dans cette présentation, nous étudierons les conditions d’équilibre de translation de systèmes de forces à l’aide de vecteurs géométriques. La méthode d’analyse par les vecteurs géométriques consiste à construire le polygone des forces du système. Pour un système en équilibre, le polygone est fermé et les longueurs des côtés des polygones sont proportionnelles à l’intensité des forces. Par la résolution du polygone, en utilisant les ressources de la trigonométrie, on détermine alors l’intensité des forces en cause. Les situations que nous allons présenter ne comporteront que trois forces car, lorsque le système comporte plus de trois forces, l’approche géométrique devient plus complexe et on utilise alors la méthode dite des composantes en utilisant les vecteurs algébriques (chapitre 8). En préparation à cette étude, nous rappelons les lois du mouvement de Newton.

Lois du mouvement Première loi Tout corps au repos, ou en mouvement rectiligne uniforme, reste au repos, ou en mouvement rectiligne uniforme, aussi longtemps qu’il ne subit pas l’action d’une force extérieure. Deuxième loi Une force extérieure s’exerçant sur un corps lui communique une accélération proportionnelle à la force et inversement proportionnelle à la masse du corps. La deuxième loi se décrit mathématiquement par la relation : a = F m ou F = m a Troisième loi À toute force d’action correspond une force de réaction de même grandeur, de même direction et de sens contraire.

Action et réaction Dans cette présentation, nous utiliserons plus spécifiquement la troisième loi dans les cas suivants : Lorsqu’une force est appliquée pour tirer sur un câble, celui-ci réagit en tirant dans le sens contraire. Le câble est alors en tension. Lorsqu’une force pousse sur une tige dans le sens de sa longueur, celle-ci réagit en poussant dans le sens contraire. La tige est alors en compression.

Équilibre de translation L’effet sur un corps libre de forces dont les lignes d’action sont concourantes est une translation. Lorsque la somme de ces forces est nulle, le corps est en équilibre de translation, ce qui signifie qu’il ne subit pas d’accélération, il est soit au repos soit en mouvement rectiligne uniforme. DÉFINITION Équilibre de translation Un corps soumis à un système de forces concourantes est en équilibre de translation si : F S =

Équilibre de rotation S Lorsque les lignes d’action ne sont pas concourantes, la translation s’accompagne d’une rotation du corps sur lui-même. Lorsque la somme des moments est nulle, le corps est en équilibre de rotation. L’équilibre de rotation signifie que le corps ne tourne pas sur lui-même ou qu’il tourne à une vitesse constante. La notion de moment sera étudiée au chapitre 9 sur les produits de vecteurs. DÉFINITION Équilibre de translation Un corps soumis à un système de forces non concourantes est en équilibre de rotation si : M S = où M est le moment d’une force agissant sur le corps.

Résultante et équilibrante DÉFINITION Force résultante et force équilibrante La résultante d’un ensemble de forces est la force qui peut, à elle seule, remplacer toutes les autres. L’équilibrante est la force qui équilibre l’action de la résultante : elle est de même grandeur et de même direction que la résultante, mais de sens contraire.

Analyse des forces Pour analyser une situation à l’aide des vecteurs, que ce soit pour connaître les conditions d’équilibre ou pour trouver la résultante, il faut repérer toutes les forces agissant sur le corps (ou la structure). En approche géométrique, on procède à l’analyse en construisant un polygone des forces. Lorsque le système est en équilibre, le polygone des forces est fermé (la résultante et nulle). Dans un tel polygone, le poids de l’objet, s’il n’est pas négligeable, est représenté par le vecteur P. Les tensions sont représentées par T. Les compressions sont représentées par C. De plus, pour simplifier l’écriture, l’usage est de représenter l’intensité d’une force par une lettre en caractère gras,   F = F.   Il est à remarquer que dans ce diaporama, tout est déjà en caractères gras. Dans le livre, la distinction est plus facile.

Exemple 7.3.1 La masse suspendue dans l’assemblage en équilibre ci-contre exerce une force de 700 N. b) Trouver géométriquement l’intensité des forces agissant au point A. a) Construire le diagramme des forces agis-sant au point A. La masse exerce une force due à la gravitation, elle est orientée vers le bas. L’intensité des forces étant proportionnelle à la longueur des côtés, on a : C ≈ 834 N et T ≈ 1 089 N La corde est en tension et exerce au point A une force de réaction dont le sens est de A vers B. 700 C P C La tension dans le câble est donc de 1 089 N et la pression sur la barre rigide est de 834 N. tan 40° = = 700 T P T La barre rigide est en compression et exerce au point A une force de réaction dont le sens est de C vers A. sin 40° = = 700 tan 40° d’où C = ≈ 834 N 700 sin 40° d’où T = ≈ 1 089 N Le système est en équilibre, la résultante est nulle et le triangle des forces est fermé. Formons le triangle des forces. S S S S

Système de forces en équilibre Procédure pour analyser géométriquement un système en équilibre de translation 1. Représenter par un vecteur chaque force du système. 2. Construire le triangle des forces en respectant les directions des forces du système (le triangle est fermé lorsque le système est en équilibre). 3. Utiliser la trigonométrie du triangle pour trouver l’intensité des forces. 4. Interpréter les résultats selon le contexte.

Exemple 7.3.2 S S S S Considérons l’assemblage en équilibre ci-contre. b) Trouver géométriquement la valeur de l’effort dans chacune des barres. a) Déterminer si les barres légères (barres dont la masse est négligeable) du montage sont en tension ou en compression. L’intensité des forces étant proportionnelle à la longueur des côtés, on a : La masse exerce une force due à la gravitation, elle est orientée vers le bas. 1,41 0,82 tan D = La barre AB est en tension et exerce au point B une force de réaction dont le sens est de B vers A. La tension dans la barre horizontale est donc de 2,15 kN et la pression sur la longueur de la barre oblique est de 2,49 kN. 1,41 0,82 d’où D = arctan = 58,819…° La barre CB est en compression et exerce au point B une force de réaction dont le sens est de C vers B. On a alors : T = 1,25 tan D = 2,149… ≈ 2,15 kN Le système est en équilibre, la résultante est nulle et le triangle des forces est fermé. Formons ce triangle. C = 1,25 sec D = 2,486… ≈ 2,49 kN S S S S

Exercice La masse suspendue dans l’assemblage en équilibre ci-contre exerce une force de 1,24 kN. a) Construire le diagramme des forces agis-sant au point A. b) Trouver géométriquement l’intensité des forces agissant au point A. La masse exerce une force due à la gravitation, elle est orientée vers le bas. L’intensité des forces étant proportionnelle à la longueur des côtés, on a : C ≈ 1,98 kN et T ≈ 2,34 kN La corde est en tension et exerce au point A une force de réaction dont le sens est de A vers B. 1,24 C P C tan 32° = = 1,24 T P T La barre rigide est en compression et exerce au point A une force de réaction dont le sens est de C vers A. sin 32° = = La tension dans le câble est donc de 2,34 kN et la pression sur la barre rigide est de 1,98 kN. 1,24 tan 32° d’où C = ≈ 1,98 kN 1,24 sin 32° d’où T = ≈ 2,34 kN Le système est en équilibre, la résultante est nulle et le triangle des forces est fermé. Formons le triangle des forces. S S S S

Exemple 7.3.3 Les trois câbles de la situation illustrée ci-contre supportent une masse qui exerce une force de 2,54 kN. À l’aide des vecteurs géométriques, déterminer la tension dans chacun des câbles. Par la loi des sinus, on a alors : La tension est donc de 1,57 kN dans le câble de droite et de 2,14 kN dans celui de gauche. La masse exerce une force due à la gravitation, elle est orientée vers le bas. Td sin 38° P sin 85° = , cela donne : Les câbles sont en tension et exercent au point A des forces de réaction notées Td etTg. 2,54 sin 38° sin 85° Td = = 1,569… ≈ 1,57 kN Le système étant en équilibre, la résultante des forces est nulle et le triangle des forces est fermé. Formons ce triangle. Tg sin 57° P sin 85° = , cela donne : 2,54 sin 57° sin 85° Tg = = 2,138… ≈ 2,14 kN S S S S

Exercice La masse suspendue dans l’assemblage en équilibre ci-contre exerce une force de 900 N. À l’aide des vecteurs géométriques, déter-miner les forces agissant au point A. La tension est donc de 900 N dans le câble vertical, de 977 N dans l’autre câble et la barre rigide subit une pression de 796 N. La masse exerce une force due à la gravitation, elle est orientée vers le bas. Par la loi des sinus, on a alors : La corde est en tension et exerce au point A une force de réaction dirigée de A vers B T sin 70° P sin 60° = , cela donne : La barre rigide est en compression et exerce au point A une force de réaction dirigée de C vers A. 900 sin 70° sin 60° T = = 976,55…≈ 977 N C sin 50° P sin 60° Le système étant en équilibre, la résultante des forces est nulle et le triangle des forces est fermé. Formons ce triangle. = , cela donne : 900 sin 50° sin 60° C = = 796,09… ≈ 796 N S S S

Conclusion À l’aide des vecteurs géométriques, on peut faire l’analyse d’un système de forces en équilibre. Pour ce faire, on doit construire le polygone des forces. Celui-ci doit être fermé pour que le système soit en équilibre, ce qui est équivalent à une résultante nulle. En pratique, cette approche est rarement utilisée lorsqu’il y a plus de trois forces en cause parce que la résolution géométrique du polygone devient assez complexe lorsque le nombre de forces augmente. Lorsqu’il y a seulement trois forces, le polygone des forces est un triangle et, pour résoudre, il suffit de faire appel aux ressources de la trigonométrie.

Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 7.3, p.208 à 21. Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 7.4, p. 214 et 216.