Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Modélisation exponentielle et logarithmique

Équation dArrhenius On connaît souvent la forme générale du modèle décrivant la relation entre deux variables. Pour adapter cette forme générale à un cas particulier, il faut utiliser les données du problème et déterminer la valeur de certains paramètres. On peut alors utiliser le modèle pour traduire la question, effectuer les calculs et répondre à la question posée. où k est la constante de vitesse (L/mol·s), A, est une constante, E a, lénergie dactivation (J/mol), R, la constante molaire des gaz (R = 8,315 J/K·mol) et T, la température en degré kelvins (K). Léquation dArrhenius décrit la relation entre la constante de vitesse k dune réaction chimique et la température. Cette équation sécrit : k = Ae –E a /RT

Exemple Lénergie dactivation de la réaction S Déterminer léquation dArrhenius pour cette réaction chimique. On doit déterminer la valeur de A dans léquation dArrhenius, sachant que :k = 1,0 10 –10 L/mol·s, E a = 111 kJ/mol et T = 300 K. S 2NO 2 (g) 2NO 2 (g) + O 2 (g) est de 111 kJ/mol. À une température de 300 K, sa constante de vitesse est de 1,0 10 –10 L/mol·s En isolant A dans la forme générale de léquation dArrhenius, on a : A =A = k e –E a /RT, doù A = 1,0 10 –10 e –111000/8, = = 2, La relation entre la constante de vitesse de cette réaction et la température en kelvin est : k = 2, e –111000/8, T On cherche la constante de vitesse k à une température T = 273 K. En substituant la valeur de T, on trouve : k = 2, e –111000/8, –12 À 273 K, la constante de vitesse est de 1,2 10 –12 L/mol·s. Quelle est la constante de vitesse à 273 K?

Équation dArrhenius forme logarithmique où k est la constante de vitesse (L/mol·s), A, est une constante, E a, lénergie dactivation (J/mol), R, la constante molaire des gaz (R = 8,315 J/K·mol) et T, la température en degré kelvins (K). Considérons à nouveau léquation dArrhenius : k = Ae –E a /RT En prenant le logarithme des deux membres de cette équation, on obtient : On reconnaît la forme dune relation affine du type y = ax + b, où : ln k = ln A – EaREaR 1T1T = –+ ln A EaREaR 1T1T ou ln k la variable dépendante est : la pente est : la variable indépendante est : et lordonnée à lorigine est : y = ln k, a = –E a /R, x = 1/T b = ln A. + b + ln A a – EaREaR x 1T1T y = ln k = S

Équation dArrhenius forme logarithmique Lorsquon ne connaît que deux couples de valeurs correspondantes (T 1 ; k 1 ) et (T 2 ; k 2 ), le facteur a est obtenu à partir des correspondances (1/T 1 ; ln k 1 ) et (1/T 2 ; ln k 2 ). Le taux de variation (ou la pente) est alors : Pour déterminer lénergie dactivation E a dune réaction chimique, la méthode la plus utilisée est de mesurer la constante de vitesse à différentes températures. a =a = ln k 2 – ln k 1 1T21T2 1T11T1 – = ln k2 k1k2 k1 1T21T2 1T11T1 – On peut alors déterminer une relation affine entre le logarithme de la vitesse, ln k et linverse de la température, 1/T. Le paramètre a de cette relation affine est a = –E a /R, doù : E a = –Ra.

Exemple On a mesuré la vitesse de la réaction en phase gazeuse du méthane avec le soufre diatomique dont léquation est : SS CH 2 (g) + 2S 2 (g) CS 2 (g) + 2H 2 S(g) On a obtenu les résultats ci-contre. Déterminer lénergie dactivation de la réaction. a =a = ln k2 k1k2 k1 1T21T2 1T11T1 – = 10,8 1, – = –17426,85... Dans ce cas, on dispose de deux données, on trouvera donc la pente en calculant le rapport de la variation du logarithme naturel des vitesses sur la variation de linverse multiplicatif des températures en kelvins. Cela donne : Température (°C) Vitesse de réaction k (L/mol·s) 1,8 10,8 Puisque E a = –Ra, on obtient : E a = –8,315 –17426,85... = ,29.. Lénergie dactivation est de 1, J/mol.

Croissance exponentielle forme logarithmique Considérons que la population N dun certain organisme croît de façon exponentielle selon léquation suivante : N = N 0 b t En prenant le logarithme des deux membres de léquation, on obtient : log N = t log b + log N 0 ou log N = t ln b + ln N 0 On reconnaît la forme dune relation affine du type Y = Ax + B, où : Y = ln N et A = log b. Lorsquon ne connaît que deux couples de valeurs (t 1 ; N 1 ) et (t 2 ; N 2 ) de cette relation, le taux de variation (ou la pente) peut être obtenu de la façon suivante : A =A = log N 2 – log N 1 t 2 – t 1 On peut en déduire le temps de dédoublement (TD) : TD = log 2 log b = log 2 A = 0,301 A TD = log 2 A = ln 2 A ln 10 = 0,301 A 2,303 ou A =A = ln N 2 – ln N 1 t 2 – t 1 ou

Exemple Lors dune culture cellulaire, on a observé les quantités de cellules données dans le tableau ci-contre. SS Déterminer le temps de dédoublement de ces cellules. Déterminons dabord le taux de variation : A =A = log(6, ) – log(6, ) 6 – 3 = 9,806 – 9,519 3 = 0,0958 Le temps de dédoublement est alors donné par : Le temps de dédoublement est denviron 3,14 jours. TD = log 2 0,0958 = 3, Combien de cellules devraient être ensemencées le sixième jour si on désire obtenir environ 5 cellules cinq jours plus tard? Nombre de cellules 3, , Temps jours 3 6 Si le sixième jour on pose N = N 0 2 t/TD, on obtient N = N 0 2 t/3,14. Pour déterminer combien de cellules il faut ensemencer pour en obtenir cinq jours plus tard, il faut résoudre léquation : N 0 2 5/3,14 = 5 Cela donne : Il faut donc ensemencer environ 1, cellules. = N0 =N0 = 5 2 5/3,14

Conclusion La droite est la forme graphique la plus facile à reconnaître. Pour déceler un lien non affine entre deux variables, on peut utiliser un papier graphique dont lune des échelles ou les deux sont graduées à laide du logarithme en base 10. Par la régression logarithmique, on peut alors déterminer les paramètres de ces liens. La régression logarithmique est un outil très puissant pour la modélisation de données expérimentales. De cette façon, on peut détecter des liens exponentiels, des liens de puissance et des liens logarithmiques entre deux variables.

Exercices Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 5.2, p. 131 à 134. Lecture Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 5.1, p. 121 à 130.