Simulation des nanostructures à base de nanorubans de graphène Salim Berrada 01/12/2011 Réunion de groupe

Plan: Pourquoi les nanorubans de graphène? Intérêt de la résolution de l’équation de Poisson Présentation du dispositif étudié Algorithme Proposé et sa mise en œuvre Résultats Optimisation du temps de calcul 01/12/2011 Réunion de groupe

1ère Partie 01/12/2011 Réunion de groupe

Pourquoi le Graphène? Porteurs de charges sont des quasi-particules de type fermions de Dirac Avantages: Masse effective nulle Transport balistique Très forte mobilité Inconvénient: Absence de gap Magnétisme intrinsèque nul 01/12/2011 Réunion de groupe

Pour les nanorubans de graphène? Nanostructuration: Ouverture d’un gap Localisation de charges Applications: Electronique: FET, RTD, jonctions PN… Spintronique? 01/12/2011 Réunion de groupe

Pourquoi faut il résoudre Poisson? Profil de potentiel : Distribution de charge Injection des bonnes énergies potentielles dans l’Hamiltonien (atomistique) : Meilleur résultat pour T(E) => Meilleur calcul des différents courants Meilleur calcul des caractéristiques statiques des dispositifs Meilleure Description du fonctionnement D’un dispositif !! 01/12/2011 Réunion de groupe

Dispositif étudié Transistor à effet de champ: Jonction PN: 01/12/2011 Réunion de groupe

Equation de Poisson: Équation originelle: Théorème de Gauss: Discrétiser cette équation c’est lui trouver une représentation numérique 01/12/2011 Réunion de groupe

Discrétisation du théorème de Gauss: Différences finies Pour rappel… Donc… 01/12/2011 Réunion de groupe

Discrétisation du théorème de Gauss: Différences finies Objectif: calculer c’est la position du point de neutralité Remplacer les dsi par leurs expressions dans l’équation précédente Multiplication par (-e) Il faut aussi inclure les conditions aux limites dans cette description 01/12/2011 Réunion de groupe

Discrétisation du théorème de Gauss: Choix de la représentation M tri-diagonale par blocs Mi: préfacteurs des potentiels sur les sites de couche i Mi,i±1 : préfacteurs de couplage entre les sites de la couche i et les couches d’au-dessus et d’en-dessous U et Q : vecteurs dont chaque composante i contient les potentiel et la charge sur tous les site de chaque couche i 01/12/2011 Réunion de groupe

Conditions aux limites Condition de Dirichlet: Si le potentiel est fixé à une valeur Vg sur une couche i (comme dans le cas où on aurait une grille par exemple): Mi =Id, Mi,i±1 =0 et Qi= -e.Vg Condition de Neumann: matériau diélectrique sans charges, donc loin des bords: 01/12/2011 Réunion de groupe

Conditions de Neumann Couches supérieures: Un,z0+1=Un,z0 Couches inférieures: Un,z0-1=Un,z0 Bord Armchair: Una2=Una1 Bord Zigzag: Unb1=Unb 01/12/2011 Réunion de groupe

Conditions de Neumann L’Equation de départ: Couches supérieures et inférieures: Bord Armchair: Bord Zigzag: 01/12/2011 Réunion de groupe

Résultats pour Poisson linéaire: test de la représentation numérique et des conditions aux limites 01/12/2011 Réunion de groupe

01/12/2011 Réunion de groupe

Résolution de l’équation de Gauss: Méthode Newton Raphson Problème NL: Q dépend de U solution auto-cohérente de M.U=Q nécessaire Nécessité de partir d’un potentiel d’essai On considère la fonction F(U)=M.U-Q Le potentiel Uf solution de l’équation satisfait à F(Uf)=0 N.B: Si Neumann partout pas de solution directe 01/12/2011 Réunion de groupe

Résolution de l’équation de Poisson: Méthode Newton Raphson 01/12/2011 Réunion de groupe

Il faut se ramener à la couche contenant la région active uniquement Problématiques Une relation entre le potentiel et la charge est nécessaire étant donné que : La matrice M est inutilement grande et doit être inversée à chaque itération Il faut se ramener à la couche contenant la région active uniquement 01/12/2011 Réunion de groupe

2ème Partie 01/12/2011 Réunion de groupe

Relation entre Charge et potentiel On fait deux hypothèses importantes: La charge sur un site ne dépend que du potentiel sur celui-ci La charge obéit à une distribution de Boltzmann Ce qui nous amène à une expression simple pour le Jacobien: 01/12/2011 Réunion de groupe

Réduction du temps de calcul Le but de cette étape: réduire la détermination du potentiel à la couche contenant la région active uniquement 01/12/2011 Réunion de groupe

La représentation numérique de ce système est : 01/12/2011 Réunion de groupe

Algorithme: 01/12/2011 Réunion de groupe

L’expression du potentiel dans la couche active: La fonction à minimiser est alors: Et le Jacobien a alors pour expression: 01/12/2011 Réunion de groupe

Conclusion Etapes validées: Etapes à venir: Calcul de charges Poisson linéaire, i.e. Représentation numérique correcte Etapes à venir: Tester le Newton-Raphson sur un cas d’école (En cours) Simuler un nanoruban de graphène 01/12/2011 Réunion de groupe