Initiation à la programmation impérative et algorithmique Cours 7 – Récursivité Largement inspiré des cours : Vercouter, Del Mondo & Delestre, Hérault, Mainguenaud (INSA de Rouen) Elodie Laine – 06.10.2017

Définition et exemples Une entité est récursive lorsqu’on l’utilise pour la définir. Factorielle 0! = 1! = 1 n! = n(n - 1)! Suite de fibonacci F(0) = 0 F(1) = 1 F(n) = F(n – 1) + F(n – 2), n>1 Poupée russe Une poupée russe est : une poupée « pleine » une poupée vide contenant une poupée russe Elodie Laine – 06.10.2017

Exemple de pseudo-code Factorielle fonction fact (n : Naturel) : Naturel debut si (n=0) OU (n=1) alors retourner 1 sinon retourner n*fact(n-1) finsi fin Elodie Laine – 06.10.2017

Récursivité terminale On parle de récursivité terminale lorsque l’appel récursif est la dernière instruction de la fonction et qu’elle est isolée. fonction plus(a,b : Entier) : Entier debut si b=0 alors retourner a sinon retourner plus(a+1,b-1) finsi fin => plus(4,2)=plus(5,1)=plus(6,0)=6 Elodie Laine – 06.10.2017

Récursivité non terminale On parle de récursivité non terminale lorsque l’appel récursif n’est pas la dernière instruction de la fonction et/ou qu’elle n’est pas isolée (fait partie d’une expression). fonction plus(a,b : Entier) : Entier debut si b=0 alors retourner a sinon retourner 1+plus(a,b-1) finsi fin => plus(4,2)=1+plus(4,1)=1+1+plus(4,0)=6 Elodie Laine – 06.10.2017

Méthode Pour écrire un algorithme récursif, il faut analyser le problème et identifier : Le ou les cas particuliers, par ex. qui initient la récursion Le cas général qui effectue la récursion Lorsqu’on écrit un algorithme récursif, au moment de l’appel récursif, on se place en tant qu’utilisateur de l’algorithme : on considère donc que le problème est résolu Elodie Laine – 06.10.2017

Les tours de Hanoï Les tours de Hanoï est une jeu solitaire dont l’objectif est de déplacer les disques qui se trouvent sur une tour (par ex. ici la tour le plus à gauche) vers une autre tour (par ex. la tour le plus à droite). Certaines règles doivent être respectées : On ne peut déplacer que le disque se trouvant au sommet d’une tour On ne peut déplacer qu’un seul disque à la fois Un disque ne peut pas être posé sur un disque plus petit Elodie Laine – 06.10.2017

Les tours de Hanoï 2 1 3 Elodie Laine – 06.10.2017 Problème : on veut déplacer la tour N du plot 1 vers le plot 3 en utilisant le plot 2 comme intermédiaire. Le problème pour une tour N peut être résolu simplement si on sait le résoudre pour une tour N-1. En effet, une tour N est un disque unique surmonté d’une tour N-1. On transporte alors cette tour du plot 1 au plot 2 avec comme intermédiaire le plot 3 (opération 1). On déplace le disque restant du plot 1 au plot 3 (opération 2, permise par les règles du jeu). On transporte enfin la tour N-1 du plot 2 au plot 3 en prenant comme intermédiaire le plot 2 (opération 3). On a finalement bien transporter la tour N du plot 1 au plot 3 avec comme intermédiaire le plot 2. Elodie Laine – 06.10.2017

Les tours de Hanoï Opérations disponibles Objectif Type défini dans le programme Opérations disponibles Pour résoudre le problème des tours de Hanoï, on dispose des fonctions suivantes : fonction depilerTour (t : TourDeHanoi, d : Disque) Cette fonction permet d’extraire un disque d d’une tour de Hanoï t fonction empilerTour (t : TourDeHanoi, d : Disque) Cette fonction permet de poser un disque d sur une tour de Hanoï t Objectif L’objectif consiste à écrire une fonction récursive visant à résoudre le problème des tours de Hanoï : fonction resoudreToursDeHanoi (nbDisquesADeplacer : Entier, source, destination, intermediaire : TourDeHanoi) Elodie Laine – 06.10.2017

Les tours de Hanoï fonction resoudreToursDeHanoi (nbDisquesADeplacer : Entier, source, destination, intermediaire : TourDeHanoi) Declaration d : Disque debut si nbDisquesADeplacer > 0 alors resoudreTourDeHanoi(nbDisquesADeplacer-1, source, intermediaire, destination) depiler(source,d) empiler(destination,d) resoudreTourDeHanoi(nbDisquesADeplacer-1, intermediaire, destination, source) finsi fin Elodie Laine – 06.10.2017

Tris récursifs Objectif Tris non récursifs L’objectif consiste à écrire une fonction récursive visant à trier des valeurs dans un tableau : fonction trier(t : Tableau[1..MAX] d’Elements, nbElements : Entier) Tris non récursifs La compléxité des tris non récursifs vus jusqu’à présent est quadratique : Tri à bulles (O(n2)) Tri par sélection (O(n2)) Tri par insertion (O(n2)) Elodie Laine – 06.10.2017

Tris récursifs Principe L’algorithme des tris récursifs est basé sur le principe suivant : Diviser : Le tableau à trier est divisé en deux Régner : Les deux sous-tableaux sont triés indépendemment Combiner : Les deux tableaux sont combinés Plus particulièrement, le tri rapide (ou quick-sort) repose sur une stratégie efficace de division du tableau (partitionnement). Il se déroule comme suit : 1/ Partitionnement du tableau autour d’un élément pivot de sorte que tous les éléments du sous-tableau gauche sont plus petits que le pivot 2/ Tri des sous-tableaux gauche et droit de la même façon Elodie Laine – 06.10.2017

Le tri rapide (quick sort) fonction triRapide(t : Tableau[1..MAX] d’Entier, nb : Entier) debut triRapideRecursif(t, 1, nb) fin fonction triRapideRecursif (t : Tableau[1..MAX] d’Entier, d, f : Entier) Declaration indicePivot : Entier si d < f alors partitionner(t, d, f, indicePivot) triRapideRecursif(t, d, indicePivot – 1) triRapideRecursif(t, indicePivot + 1, f) finsi Elodie Laine – 06.10.2017

Le tri rapide (quick sort) Exemple de partitionnement d f 5 -3 4 8 -1 7 1 -6 9 d f -3 4 -6 -1 1 5 7 8 9 Ip Elodie Laine – 06.10.2017

Le tri rapide (quick sort) 5 -3 4 8 -1 7 1 -6 9 partitionner 1 -3 4 -6 -1 5 7 8 9 trier 1 -3 4 -6 -1 7 8 9 -3 -1 -6 1 4 7 9 8 -3 -1 -6 4 7 9 8 -6 -3 -1 8 9 -6 -1 Arbre des appels de procédures 8 Elodie Laine – 06.10.2017

Le tri rapide (quick sort) Fontionnement du partitionnement d f 5 -3 4 8 -1 7 1 -6 9 i j d f 5 -3 4 8 -1 7 1 -6 9 i j d f 5 -3 4 8 -1 7 1 -6 9 i j d f 5 -3 4 -6 -1 7 1 8 9 i j Elodie Laine – 06.10.2017

Le tri rapide (quick sort) Fontionnement du partitionnement d f 5 -3 4 -6 -1 7 1 8 9 i j d f 5 -3 4 -6 -1 7 1 8 9 i j d f 5 -3 4 -6 -1 1 7 8 9 i j d f 5 -3 4 -6 -1 1 7 8 9 i j Elodie Laine – 06.10.2017

Le tri rapide (quick sort) Fontionnement du partitionnement d f 5 -3 4 -6 -1 1 7 8 9 j i d f -3 4 -6 -1 1 5 7 8 9 Ip Elodie Laine – 06.10.2017

Le tri rapide (quick sort) fonction partitionner(t : Tableau[1..MAX] d’Entier, debut, fin : Entier) Declaration i, j, pivot, indicePivot : Entier debut pivot ← t[debut] i ← debut j ← fin tant que i ≤ j faire tant que t[i] ≤ pivot et i ≤ j faire i ← i + 1 fintantque tant que t[j] ≥ pivot et i ≤ j faire j ← j – 1 si i ≤ j alors echanger(t[i],t[j]) finsi indicePivot ← j echanger(t[debut],t[j]) fin Elodie Laine – 06.10.2017

Le tri rapide (quick sort) fonction partitionner(t : Tableau[1..MAX] d’Entier, debut, fin : Entier) Declaration i, j, pivot, indicePivot : Entier debut pivot ← t[debut] i ← debut j ← fin tant que i ≤ j faire si t[i] ≤ pivot alors i ← i + 1 sinon si t[j] ≥ pivot alors j ← j – 1 echanger(t[i],t[j]) finsi fintantque indicePivot ← j echanger(t[debut],t[j]) fin Elodie Laine – 06.10.2017

Le tri rapide (quick sort) Calcul de la complexité La fonction de partitionnement a une complexite en n. La complexité du tri rapide dépend dont du nombre d’appels récursifs (hauteur h de l’arbre de récursion) Dans le meilleur des cas, le partitionnement coupe le tableau en deux parties de même longueur (à plus ou moins 1 près) On a : n = 2h, donc h = log2 n Donc on a Ω(nlog2n) Dans le pire des cas, le partitionnement coupe le tableau en deux sous tableaux, l’un de longeur 1 et l’autre n – 1 Dans ce cas h = n Et donc on a O(n2) En moyenne on a θ(nlog2n) Elodie Laine – 06.10.2017

Conclusion Les algorithmes récursifs sont simples et permettent de résoudre des problèmes complexes. Il existe deux types de récursivité : terminale, qui algorithmiquement peut être transformée en non- récursivité non terminale Les algorithmes récursifs sont le plus souvent plus gourmands en ressource que leurs équivalents non récursifs. Il existe plusieurs algorithmes de tri que le peut classer selon la méthode utilisée (itératifs ou récursifs) et leur performance D’autres méthodes de tri existent, qui ne sont pas présentées dans ce cours : le tri par fusion, le shellsort, le tri par tas (ou heapsort), le radixsort..etc. Elodie Laine – 06.10.2017