Chapitre 6 Techniques de Fermeture (1) Le problème de fermeture Règles de paramétrage Fermetures locales d ’ordre zéro d ’ordre 1/2 d ’ordre 1 Exemples

Équations de Reynolds 7 équations et 16 inconnues ... La modélisation mathématique de la couche limite fourni une base théorique qui permet l’interprétation des caractéristiques de la couche limite (connues par mesures et observations) et la prédiction de son évolution. Pour que la modélisation soit possible, en premier il faut fermer les équations qui décrivent l’écoulement pour ensuite résoudre ces équations. 7 équations et 16 inconnues ...

Le problème de fermeture dans la CLA Le nombre d ’inconnues est plus élevé que le nombre d ’équations...

Le problème de fermeture dans la CLA équations de mouvement pronostique Nombre d ’équations Nombre d ’inconnues moment 1 3 6 2 6 10 3 10 15

Fermeture des équations Les nouveau termes doivent être mis en relation avec les variables et autres paramètres « connus » du système : On « paramètre » ses termes To close the system of governing equations, these additional terms have to be related with other variables of parameters of the system.

Paramétrage Pourquoi on paramètre ??? Les nouveaux termes doivent être paramétrés en fonction des termes connus et de paramètres empiriques... C ’est quoi une quantité connue ??? Exemple : Termes connus: autres ?? Une quantité connue c’est une variable pur laquelle il existe une équation d’évolution temporelle. Un paramètre est une grandeur empirique qui permet l’ajustement de l’expression trouvée aux observations. Un paramétrage est une approximation d’un terme inconnu en le décrivant en fonction des variables connues et des paramètres. Comme la dérivation de ces expressions ne provient pas d’une théorie basée dans les lois fondamentales de la physique, on inclus dans le paramétrage certains termes pour que le comportement du terme s’approche du comportement observé. Ces facteurs sont appelés paramètres. Ils sont trouvés empiriquement.. Chaque scientistes peut alors avoir des expressions différentes pour le même terme. C ’est quoi un paramètre ???

Modélisation de la CLA Modèles CLA Équations Modèles intégraux (moyennes d ’ensemble) (moyennes de volume) (LES) Fermeture non local Modèles intégraux ou d’ordre zéro Fermeture de premier ordre Fermeture d’ordre supérieur L’opérateur moyenne d’ensemble enlève la contribution de toutes les fluctuations. La moyenne volumétrique filtre les fluctuations dont les longueurs d’onde sont inférieures à l’échelle spatiale du volume. L’impact des fluctuations filtrées apparaissent dans les équations moyennes comme les termes de Reynolds. Pour fermer le système des équations de Reynolds ces termes doivent être définis en fonction des paramètres ou des variables du système. Dans les équations moyennes d’ensemble le paramétrage doit couvrir toutes les tailles des tourbillons. Il est évident que on ne peut pas faire un paramétrage universel. Les écoulements turbulents différent essentiellement par la structure de ses grands tourillons. Un écoulement d’origine thermique (convection libre) ou dynamique (convection forcée, ou écoulement stratifié) n’as pas la même fonction de distribution statistique en ce que concerne les grands tourbillons. Seulement les petits tourbillons semble être statistiquement semblables. Dans le cas de la moyenne de volume le moyenne est faite sur un petit volume de l’espace. Le but principal est de filtrer les fluctuations dont l’échelle spatiale est inférieur à la taille du volume. L’effet de ces petits tourbillons sur l’écoulement moyen est paramétré (paramétrage sous grille) pour qu’on puisse fermer les équation moyennes. Ce paramétrage doit avoir des propriétés universelles indépendantes des différences observés à plus grande échelle. 1) Fermetures non locales : assume that the flux of a quantity at a given level is not related only to the properties of this level , but depends in all domain of the flow. 2) Modèles intégraux : employ ensemble-average equations which are integrated at least over a coordinate direction.These decreases the number of independent variables and greatly simplifies the

Ordre de fermeture Triangle des inconnues Zéro Un Deux

Fermetures d ’ « ordre » et demi Certaines hypothèses de fermeture utilisent un sous-ensemble d’équations d’ordre donné, « ordre # », pour fermer le système. Par exemple: COBEL utilise comme équations pronostiques toutes les équations de premier ordre + l’équation de pronostique de l’énergie cinétique turbulente, qui est une équation de deuxième ordre. On dit alors que le schéma numérique de COBEL utilise une fermeture un et demi. C ’est quoi l ’ordre d ’une équation ???

Règles de paramétrage Le terme paramétré doit obéir à certaines règles: 1) Avoir les mêmes dimensions que le terme physique; 2) avoir les mêmes propriétés tensorielles; 3) avoir les mêmes propriétés de symétrie; 4) être invariant par rapport à une transformation galiléenne; 5) satisfaire toutes les contraintes auxquelles le terme physique est soumis. 6) être physiquement raisonnable The parameterization should : Be physicalle reasonable, Have the same dimensions as the unknown term, Have the same scalar or vector properties, Have the same symmetries, Be invariant under an arbitrary transformation of coordinate system, Be invariant under an inertial or Newtonian transformation (.g., a coordinate system moving at constant speed and direction), Satisfy the same constraints and budget equations. Even if the parameterization satisfies the above rules, it often will be successfull for only a limited range of conditions. An example from theis book is the transport velocity, wT. One parameterization was developped for statistically neutrally neutral layers, while a different one worked better for statistically unstable mixed layers. Thus, every parameterization only approximate nature. As a result they will never work perfectly. But they can be designed to work satisfactorily.

Règles de paramétrage Corrélation triple : Le plus simple: La même dimension tensoriel les mêmes propriétés de symétrie les mêmes dimensions que le terme physique Raisonnable ??? Donaldson, 1973 : fermeture de deuxième ordre

Modèles intégraux : ordre zéro Il n ’y a pas d ’équation pronostique. Les quantités moyennes sont paramétrées en fonction de la position et du temps. Moyennes d’ensemble: Théorie de la similitude

Modèles locaux : ordre demi Utilisent un sous-ensemble des équations d ’ordre 1 Moyennes d’ensemble: Méthode intégrale ou des couches (bulk method) Pour chaque couche: 1) on impose un profil pour les quantités moyennes 2) on calcule l ’évolution des quantités moyennées sur toute la couche Moennes d’ensemble : Les équations sont integrées au moins par rappor à une coodonnée. Cecci decroit le nombre de variables indépendantes et simplifie grandement le problème. Le problème de cette fermeture c’est qu’il y a un pramétrage différent pour chaque écoulement. Les modèles intégraux prévoient seulement les propriétés moyennes et, de sa nature, ne donne aucune information sur la distribution spatiale des variables dans la couche limite. 3) on trouve les valeurs finales

Modèles intégraux ou de couche Chapitre 11 Couche de mélange

Modèles intégraux ou de couche Couche de mélange 1) on impose un profil pour les quantités moyennes 2) on calcule l ’évolution des quantités moyennées sur toute la couche 3) on trouve les valeurs finales

Modèles intégraux ou de couche Chapitre 12 Couche stable Stable mixed layer : strong winds, strong turbulence and weak surface cooling Mixed linear : moderately strong winds and turbulence. Slightly weaker mechanical forcing than previous case. Linear : inversion moins intense…

Modèles globaux ou de couche Chapitre 13 Couche limite nuageuse The equivalent potential temperature and the total water mixing ratio are constant with height, supporting the view that stratocumulus clouds are imbebed within, and are an integral part of the ML. The virtua temperature follows the moist adiabatic within the cloud, and liquid water content increses almost linearly above the cloud layer as would expected if there were no precipitation. Variation in liquid water content are expected due to entrainment of dry air. The number density of drops is roughly constant, however suggesting that droplets are larger near the top of the cloud.

Modèles intégraux ou de couche Couche limite nuageuse Chapitre 13 1) on impose un profil pour les quantités moyennes Sous-couche nuageuse Couche nuageuse 2) on calcule l ’évolution des quantités moyennées sur toute la couche Les modèles intégraux sont utiles et des utiles raisonables dans la prévision des propriétés moyennes de la couche limite. Elle est utilisé principalement dans la prévision de la couche limite convective. Le principale problème est le paramétrage du flux de chaleur et de quantité de mouvement au sommet de la couche limite. Ces flux sont fonction du saut de température et de la vitesse au sommet de la couche limite ainsi que de la vitesse d’entrainement et de la vitesse verticale moyenne (subsidence). 3) on trouve les valeurs finales

Modèles intégraux ou de couche Avantages : 1) leur simplicité Handicaps : 1) Un modèle pour chaque type d’écoulement 2) Pas d’information sur la distribution spatiale des variables moyennes 3) Aucune information sur la turbulence

Fermeture locale de premier ordre One approximation to turbulent transport considers only small eddies. This approach, called K-theory, gradient transport theory, or eddy-diffusion theory, models turbulent mixing analogous yo molecular diffusion.

Paramétrage des termes inconnus Les fermetures de premier ordre évalue les flux à un niveau donné en fonction des valeurs des quantités moyennes à ce même niveau. One approximation to turbulent transport considers only small eddies. This approach, called K-theory, gradient transport theory, or eddy-diffusion theory, models turbulent mixing analogous of molecular diffusion. This parameterization says that the quantity flows down the gradient of the moyen quantity. The rate of the transfer is proportional to the parameter K, called eddy viscosity or eddy diffusivity. Théorie K ou des transports gradients « Small eddy closure » ???

Noms pour K Km = coefficient d ’échange turbulent pour Viscosité turbulente coefficient de diffusion turbulente coefficient d ’échange turbulent coefficient d ’échange gradient Km = coefficient d ’échange turbulent pour la quantité de mouvement KH = coefficient d ’échange turbulent pour la chaleur KE = coefficient d ’échange turbulent pour l ’humidité

Analogie avec la viscosité moléculaire Pour un fluide newtonien: Pour un écoulement turbulent :

Analogie avec la viscosité moléculaire La viscosité cinématique La viscosité cinématique d ’un fluide est déterminée par la composition chimique du fluide et par son état thermodynamique. Elle est une caractéristique du fluide La viscosité turbulente La viscosité turbulente varie quand la turbulence varie. La viscosité turbulente est fonction de la stabilité statique, du cisaillement du vent et d ’autres caractéristiques de l ’écoulement. Elle dépend du type d ’écoulement

Ordre de grandeur de K et  La viscosité cinématique de l ’air La viscosité turbulente Intervalle habituelle : K-theory works best for windy surfaces, where turbulent eddy sizes are relatively small. Comment parametrer K?? Comment paramétrer K ???

Théorie de la longueur de mélange Prandtl, 1925 Conditions d’applicabilité: 1) neutralité statique; 2) le profil vertical des autres quantités moyennes doit être une fonction linéaire de z

Théorie de la longueur de mélange Paramétrage du flux d ’humidité Stull, fig. 6.1

Théorie de la longueur de mélange Paramétrage du flux d ’humidité Est la variance des déplacements turbulents de la parcelle.

Théorie de la longueur de mélange Paramétrage du flux d ’humidité Est la variance des déplacements turbulents de la parcelle. Signification physique ??? Longueur de mélange turbulent

Théorie de la longueur de mélange Paramétrage du flux d ’humidité Le coefficient d ’échange turbulent augmente avec le cisaillement (intensité de la turbulence) K is expected to be larger for more intense turbulence. In the surface layer, turbulence is generated by wind shear. Le coefficient d ’échange turbulent augmente avec la longueur de mélange, c ’est-à-dire, l ’efficacité de la turbulence à mélanger les parcelles d ’air des divers niveaux.

Théorie de la longueur de mélange Paramétrage de la longueur de mélange dans la couche de surface neutre La présence de la surface limite la taille des tourbillons: la longueur de mélange est considérée proportionnelle à la distance à la surface :

Théorie de la longueur de mélange Limitations Cette hypothèse est valide seulement dans le cas ou la couche est statiquement neutre Profils linéaires. Approximation de Taylor d ’ordre 1 ... K theory has difficulty for convective boundary layer and should not be used there. Fermeture locale en cas de petits tourbillons (Small eddy theory)

Théorie de la longueur de mélange Paramétrage de la longueur de mélange dans la couche stable nocturne Delage, 1974

Homogénéité horizontale

Stationnarité

Couche de surface + orientation de l ’axe de x selon la direction du mouvement La somme des contraintes de Reynolds et des contraintes de viscosité est constante dans toute l ’épaisseur de la couche de surface homogène et stationnaire

Couche de surface Dans l ’atmosphère, en dehors de la couche visqueuse Dans la couche de surface le flux de quantité de mouvement ne dépend pas de z.

Couche de surface Soit La force de contrainte exercé à la surface par les fluctuations turbulentes. On défini une échelle de vitesse caractéristique de la couche de surface par:

Couche de surface Paramètre de rugosité : hauteur à laquelle la vitesse moyenne s ’annule.

Couche de surface

Couche de surface: calcul du profil du vent distance de déplacement

Couche de d ’Ekman, homogène et stationnaire = constante

Couche de d ’Ekman, homogène et stationnaire Couche barotrope : ??? La solution de ce système d ’équations différentielles couplées s ’obtient en faisant un changement de variable L ’axe des x est orienté dans la direction du vent géostrophique

Couche de d ’Ekman, homogène, stationnaire et barotrope. Axe des x selon la direction du vent géostrophique Conditions frontières: Solution, Holton, 1978

Couche de d ’Ekman, homogène, stationnaire barotrope :

Couche de d ’Ekman, homogène, stationnaire barotrope : Selon cette solution les vents de surface font un angle de /4 avec le vent géostrophique (dans l ’hémisphère nord, à gauche de celui-ci) h Les vents sont approximativement géostrophiques quand La hauteur de la couche d ’Ekman est:

Hodographe : la spirale d ’Ekman (couche homogène, stationnaire et barotrope) :

La spirale d ’Ekman : atmosphère et océan En négligeant les gradients de pression dans l ’océan on a comme équations de mouvement: Choix d ’axe des x aligné avec les contraintes de surface u*(océan) Conditions frontières

La spirale d ’Ekman : atmosphère et océan

La spirale d ’Ekman : atmosphère et océan

La spirale d ’Ekman : océan

Couplage entre la circulation atmosphérique et la circulation océanique

La spirale d ’Ekman : limitations du modèle. Mesures de vent dans la couche d ’Ekman Barocline ? Neutre ? K = constant ? Stationnaire ? G0 vent géostrophique à la surface Observed hodographs of the wind vector in the atmosphere boundary layer often have a different shape from that of the Ekman spiral. One of the reasons for this discrepancy is the geostrophic wind changing with height. Effects de la baroclinicité Effets de la stabilité thermique Effets de l’inclinaison du terrain. Effects de la non-stationnarité u* et la hauteur u*/f sont respectivement les échelles de vitesse et d’hauteur. Clarke, 1970

Caractéristiques de K On sait que: K varie avec z K est propriété de l ’écoulement K doit être proportionnelle à l ’échelle de vitesse et à la taille des tourbillons les plus énergétiques K se comporte, tout proche de la surface comme: K ait des valeurs plus petits au sommet de la couche limite

Exemples de paramétrage de K Contraintes: K=0 quand il n ’y a pas de turbulence K=0 au sol (z=0) K augmente avec l ’intensité de la turbulence (TKE) K dépend de la stabilité statique K dépend de la direction (un vecteur) K est non négatif (analogie moléculaire)

Couche de mélange convective Grandes tourbillons Dans l ’atmosphère réelle il y a des situations où les flux sont contre le gradient K doit être négatif ??? La théorie de longueur de mélange de Prandtl ne s ’applique pas... Des grands tourbillons ...

Couche de mélange convective Grandes tourbillons Deardoff, 1966

Exemples de paramétrage de K Couche de surface neutre

Exemples de paramétrage de K Couche de surface stratifiée K stable < K neutre < K instable

Exemples de paramétrage de K Couche limite neutre Couche limite convective

Exemples de paramétrage de K Modélisation Où est la taille de grille