(Social networks) and Semantic peer-to-peer systems

2 Systèmes pair-à-pair  Coalition de serveurs d’information indépendants (pairs)  Chaque pair peut être soit client soit serveur  Architecture dynamique

De différents systèmes pair à pair madonna.mp3 ? Partage de fichiers mots-clés : KaZaA…Gestion de données : Piazza SELECT * FROM … WHERE … ? Systèmes sémantiques : SomeOWL, SomeRDFS Ressources sur la musique de Rock ? T2T2 T3T3 T4T4 T1T1 T5T5 Systèmes d’inférence : SomeWhere Conséquents d’une clause par rapport à la théorie globale 3

Les systèmes P2P de gestion de données Réseau logique de pairs (connectés via le réseau physique) –Chaque pair est caractérisé par Son addresse physique (IP) La description de ses données Ses voisins dans le réseau –Les pairs à qui il peut transmettre des messages (requêtes, réponses) Topologies variées –on structurées (Kazaa, Gnutella) –fixées (Chord, Hypercube) –Guidées par la sémantique SON, Edutella, Piazza, DRAGO, coDB, Somewhere

Un réseau P2P SomeWhere Topologie non fixée Guidée par les mappings –Un pair Se joint au réseau en déclarant des mappings entre son schéma et ceux de certains pairs qu’il connait Part en supprimant ses mappings

SomeOwl : réseau sémantique P2P au dessus de SomeWhere Modèle de données très simple fondé sur un langage propositionnel de classes –pour définir les schémas, les mappings, et les requêtes Passe à l’échelle du millier de pairs –topologie « petit monde »

Modèle de données A 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 St_A 3 St_A 5 Data Ontology: hierarchy of intentional classes Schema+Data Storage description: extensional classes More complex inclusion statement: St_A 1 A 1 ¬A 2

Modèle de données Mappings: Q 1 Q 2 Q A 1 (A 2 A 3 ) B 1 ¬B 3 A 1 A 2 A 3 A B B 1 B 2 B 3 Queries: Logical combination of class literals: A 1 ¬A 3 A 1 B 3 B 3 A 1

Sémantique Standard FOL –Domaine d’interprétation unique –Un ensemble distribué de formules interprétées comme dans le cas centralisé –À la différence d’autres approches coDB: logique épistémique DRAGO: sémantique distribuée DDL ou DFOL basée sur une collection de domaines d’interprétations Hypothèse forte : –Les instances ont un identifiant unique (URI) –Les ressources stockées dans différents pairs ayant le même URI sont interprétées comme étant identiques

P1P1 ontology : P3P3 P 2 :BenStiller P 3 :Comedy mappings : P 1 :Action P 1 :Suspense P 3 :Thriller P 1 :Animation P 3 :Cartoons P2P2 ontology : P 2 :BruceWillis P 1 :Action mappings : P 2 :BruceWillis P 2 :BenStiller P 1 :Action P 1 :Suspense P 1 :Animation ViewJuliaRoberts J uliaRoberts Actors MyBookmarks, BruceWillis Actors, BenStiller Actors, JuliaRoberts Actors, ViewBruceWillis BruceWillis, ViewBenStiller BenStiller, Illustration sur un exemple MyBookmarks DVD Animation Action Suspense ViewAnimationViewActionViewSuspense MyBookmarks Movies Comedy ThrillerCartoons Adult ViewAdult ViewCartoonsViewThriller ViewComedy JuliaRoberts MyBookmarks Actors BruceWillis BenStiller ViewBruceWillisViewBenStiller ViewJuliaRoberts

P1P1 P3P3 P2P2 P 2 :BruceWillis P 2 :BenStiller P 1 :Action P 1 :Suspense P 1 :Animation ontology : P 2 :BruceWillis P 1 :Action mappings : MyBookmarks DVD Animation Action Suspense ViewAnimationViewActionViewSuspense ontology : mappings : P 1 :Action P 1 :Suspense P 3 :Thriller P 2 :BenStiller P 3 :Comedy P 1 :Animation P 3 :Cartoons MyBookmarks Movies Comedy ThrillerCartoons Adult ViewAdult ViewCartoonsViewThriller ViewComedy JuliaRoberts MyBookmarks Actors BruceWillis BenStiller ViewBruceWillisViewBenStiller ViewJuliaRoberts ontology : Thriller Comedy ? Requêtes: combinaison logique de classes Illustration sur un exemple

Calcul des réponses à une requête  Par réécriture de la requête :  Étape 1: calcul de réécritures = reformulation plus précise de la requête contenant uniquement des classes extensionnelles  Étape 2: Évaluation des réécritures (calcul des extensions) donnant des réponses  Qu’est ce qu’une réponse ? Comment trouver toutes les réponses certaines ? (réponse certaine) Soit un PDMS someOWL et l’ensemble de ses données

Calcul des réponses par réécriture  Intérêt de cette méthode:  Permet de raisonner en pair-à-pair uniquement au niveau du schéma (pas de transport de données)  Les réécritures indiquent directement les pairs à interroger  Propriété :  S’il existe un nombre fini de réécritures conjonctives maximales de la requête initiale relativement au PDMS, l’évaluation de ces réécritures donne toutes les réponses certaines en temps polynomial dans la taille des données [Goasdoué & Rousset 2004]

Récriture de requêtes dans SomeOwl Se réduit au problème du calcul de conséquences logiques dans un ensemble distribué de formules en logique des propositions –schémas et mappings encodés par des clauses –Les récritures maximales conjonctives d’une requête Q correspondent à la négation des clauses qui sont impliqués premiers propres de la négation de Q et de l’union des théories locales et des mappings

Par encodage propositionnel direct Propriété de transfert Soit P un PDMS et Prop(P) son encodage propositionnel. Q e est réécriture maximale d’une requête Q ssi  Prop(Q e ) est un impliqué premier propre de  Prop(Q) rel. à Prop(P) SomeOwl : calcul des réécritures

P1P1 ontology : mappings : ontology : P3P3 mappings : P2P2 ontology : mappings : P 2 :BruceWillis P 2 :BenStiller P 1 :Action P 1 :Suspense P 1 :Animation ¬ Action v DVD, ¬ P 2 :BruceWillis v P 1 :Action ¬ DVD v MyBookmarks, ¬ Animation v DVD, ¬ Suspense v DVD, ¬ ViewAnimation v Animation, ¬ ViewAction v Action, ¬ ViewSuspense v Suspense ¬ ViewCartoons v Cartoons, ¬ P 1 :Action v P 1 :Suspense v P 3 :Thriller ¬ P 2 :BenStiller v P 3 :Comedy ¬ P 1 :Animation v P 3 :Cartoons MyBookmarks,¬ Movies v ¬ Comedy v Movies, ¬ Thriller v Movies, ¬ Cartoons v Movies, ¬ Adult v Movies, ¬ Adult v ¬ Cartoons, ¬ ViewAdult v Adult ¬ ViewComedy v Comedy, ¬ ViewThriller v Thriller, ¬ P 2 :BenStiller v P 3 :Comedy ¬ ViewJuliaRoberts v JuliaRoberts ¬ Actors v MyBookmarks, ¬ BruceWillis v Actors, ¬ BenStiller v Actors, ¬ JuliaRoberts v Actors, ¬ ViewBruceWillis v BruceWillis, ¬ ViewBenStiller v BenStiller, SomeWhere : illustration P 2 :BenStiller P 3 :Comedy ViewJuliaRoberts JuliaRoberts Actors MyBookmarks, BruceWillis Actors, BenStiller Actors, JuliaRoberts Actors, ViewBruceWillis BruceWillis, ViewBenStiller BenStiller, P 2 :BruceWillis P 1 :Action Action DVD DVD MyBookmarks, Animation DVD, Suspense DVD, ViewAnimation Animation, ViewAction Action, ViewSuspense Suspense P 1 :Action P 1 :Suspense P 3 :Thriller P 2 :BenStiller P 3 :Comedy P 1 :Animation P 3 :Cartoons MyBookmarks,Movies Comedy Movies, Thriller Movies, Cartoons Movies, Adult Movies, Adult Cartoons, ViewCartoons Cartoons, ViewAdult Adult ViewComedy Comedy, ViewThriller Thriller,

P1P1 ontology : mappings : ontology : P3P3 mappings : P2P2 ontology : mappings : P 2 :BruceWillis P 2 :BenStiller P 1 :Action P 1 :Suspense P 1 :Animation ¬ Action v DVD, ¬ P 2 :BruceWillis v P 1 :Action ¬ DVD v MyBookmarks, ¬ Animation v DVD, ¬ Suspense v DVD, ¬ ViewAnimation v Animation, ¬ ViewAction v Action, ¬ ViewSuspense v Suspense ¬ ViewCartoons v Cartoons, ¬ P 1 :Action v P 1 :Suspense v P 3 :Thriller ¬ P 2 :BenStiller v P 3 :Comedy ¬ P 1 :Animation v P 3 :Cartoons MyBookmarks,¬ Movies v ¬ Comedy v Movies, ¬ Thriller v Movies, ¬ Cartoons v Movies, ¬ Adult v Movies, ¬ Adult v ¬ Cartoons, ¬ ViewAdult v Adult ¬ ViewComedy v Comedy, ¬ ViewThriller v Thriller, ¬ P 2 :BenStiller v P 3 :Comedy ¬ ViewJuliaRoberts v JuliaRoberts ¬ Actors v MyBookmarks, ¬ BruceWillis v Actors, ¬ BenStiller v Actors, ¬ JuliaRoberts v Actors, ¬ ViewBruceWillis v BruceWillis, ¬ ViewBenStiller v BenStiller,  Thriller ? Thriller ? P1P1 ¬ P 1 :Suspense ¬ P 1 :Action ¬ P 1 :ViewAction ¬ P 1 :ViewSuspense ¬ P 1 :ViewAction ¬ P 2 :BruceWillis ¬ P 2 :ViewBruceWillis ¬ P 1 :ViewAction v  P 3 :ViewThriller  P 1 :ViewAction v  P 1 :ViewSuspense  P 2 :ViewBruceWillis v  P 1 :ViewSuspense P 2 :ViewBruceWillis P 1 :ViewSuspense P 3 :ViewThriller P 1 :ViewAction P 1 :ViewSuspense

P1P1 P3P3 P2P2 P 2 :BruceWillis P 2 :BenStiller P 1 :Action P 1 :Suspense P 1 :Animation P1P1 ontology : mappings : ontology : mappings : ontology : mappings : ¬ Action v DVD, ¬ P 2 :BruceWillis v P 1 :Action ¬ DVD v MyBookmarks, ¬ Animation v DVD, ¬ Suspense v DVD, ¬ ViewAnimation v Animation, ¬ ViewAction v Action, ¬ ViewSuspense v Suspense ¬ ViewCartoons v Cartoons, ¬ P 1 :Action v P 1 :Suspense v P 3 :Thriller ¬ P 2 :BenStiller v P 3 :Comedy ¬ P 1 :Animation v P 3 :Cartoons MyBookmarks,¬ Movies v ¬ Comedy v Movies, ¬ Thriller v Movies, ¬ Cartoons v Movies, ¬ Adult v Movies, ¬ Adult v ¬ Cartoons, ¬ ViewAdult v Adult ¬ ViewComedy v Comedy, ¬ ViewThriller v Thriller, ¬ P 2 :BenStiller v P 3 :Comedy ¬ ViewJuliaRoberts v JuliaRoberts ¬ Actors v MyBookmarks, ¬ BruceWillis v Actors, ¬ BenStiller v Actors, ¬ JuliaRoberts v Actors, ¬ ViewBruceWillis v BruceWillis, ¬ ViewBenStiller v BenStiller, mappings : ontology : mappings : Locales Distantes Intégration P 2 :ViewBruceWillis P 1 :ViewSuspense P 3 :ViewThriller P 1 :ViewAction P 1 :ViewSuspense

L’algorithme DeCa : illustration I K K,C B,PAL ¬ L v O ¬L v I ¬ L v C v K P1P1 ¬ K v FJ ¬ B v ¬ K v PAL P3P3 ¬ K v B ¬ C v H ¬ PAL v AM P4P4 ¬ I v P P2P2

I K K,C B,PAL ¬ L v O ¬L v I ¬ L v C v K P1P1 ¬ K v FJ ¬ B v ¬ K v PAL P3P3 ¬ K v B ¬ C v H ¬ PAL v AM P4P4 L ? L O C: v K: I : Nature du message (avant, arrière, fin) Historique Passage de messages Gestion d’historique dans les messages avant:I, [ (L,P 1 ) ] O ¬ I v P P2P2 Raisonnement local I, [(L,P 1 )]: P

I K K,C B,PAL ¬ L v O ¬L v I ¬ L v C v K P1P1 ¬ K v FJ ¬ B v ¬ K v PAL P3P3 ¬ K v B ¬ C v H ¬ PAL v AM P4P4 L ? L O C: v K: I : Passage de messages Gestion d’historique dans les messages O ¬ I v P P2P2 Raisonnement local I, [(L,P 1 )]: P P P fin:I, [ (L,P 1 ) ] P

I K K,C B,PAL ¬ L v O ¬L v I ¬ L v C v K P1P1 ¬ K v FJ ¬ B v ¬ K v PAL P3P3 ¬ K v B ¬ C v H ¬ PAL v AM P4P4 L O C, [(L,P 1 )]: K, [(L,P 1 )]: C: v K: I : avant:C, [ (L,P 1 ) ] Passage de messages Gestion d’historique dans les messages avant:K, [ (L,P 1 ) ] O ¬ I v P P2P2 Raisonnement local I, [(L,P 1 )]: PP L ? P P

I K K,C B,PAL ¬ L v O ¬L v I ¬ L v C v K P1P1 ¬ K v FJ ¬ B v ¬ K v PAL P3P3 ¬ K v B ¬ C v H ¬ PAL v AM P4P4 L ? L O C, [(L,P 1 )]: K, [(L,P 1 )]: C: v K: I : O H B H B H B H v B Découpage / recombinaison ¬ I v P P2P2 Passage de messages Gestion d’historique dans les messages Raisonnement local I, [(L,P 1 )]: PP P P

I K K,C B,PAL ¬ L v O ¬L v I ¬ L v C v K P1P1 ¬ K v FJ ¬ B v ¬ K v PAL P3P3 ¬ K v B ¬ C v H ¬ PAL v AM P4P4 L ? L O C, [(L,P 1 )]: K, [(L,P 1 )]: C: v K: I : O H B H B avant:B, [ (K,P 4 ), (L,P 1 ) ] B, [(K,P 4 ),(L,P 1 )] ¬ K: v PAL ¬ K, [ (B,P 3 ), (K,P 4 ), (L,P 1 ) ] Négation de la requête dans l’historique  génération de la clause vide □ □ Génération de la clause vide Détection de cycles ¬ I v P P2P2 Découpage / recombinaison Passage de messages Gestion d’historique dans les messages Raisonnement local I, [(L,P 1 )]: PP P H v B P

I K K,C B,PAL ¬ L v O ¬L v I ¬ L v C v K P1P1 ¬ K v FJ ¬ B v ¬ K v PAL P3P3 ¬ K v B ¬ C v H ¬ PAL v AM P4P4 L ? L O C, [(L,P 1 )]: K, [(L,P 1 )]: C: v K: I : O H B H B B, [(K,P 4 ),(L,P 1 )] ¬ K: v PAL □ H v PAL … ¬ I v P P2P2 Découpage / recombinaison Passage de messages Gestion d’historique dans les messages Raisonnement local Génération de la clause vide Détection de cycles I, [(L,P 1 )]: PP P H v B P

Anytime Termine et notifie sa terminaison Correct Condition suffisante de complétude: tout couple de pairs ayant une variable A en commun est relié par un chemin dont toutes les arêtes sont étiquetées par A L’algorithme DeCa : propriétés

Une clause c Tous les ppis de c relativement à la théorie globale… inconnue ! L’algorithme DeCa : résumé

Déploiement de SomeWhere 1 machine N pairs N machines K pairs par machine N machines 1 pair par machine

Zoom sur une machine 100 % JAVA 1.5 somewhere.jar ~ 250 Ko

Handling inconsistencies How to define them ? –unsatisfiability => derivation of the empty clause –empty classes => derivation of unit negative clauses How to detect inconsistencies? –at each join of a new peer How to deal with inconsistencies? –avoid them when reasoning A’ A B’ B B’  A’ A B there exists A such that A is empty in every model: S |=  A

illustration path m1: AIPubli is a subclass of Conf. inconsistencies are caused by mappings. Article Theory Expe P2 path m0 -> m2: AIPublic is a subclass of Journal. Conf and Journal are disjoint, therefore AIPUbli is necessarily empty Publi ConfJournal P3 >--< 2005 AIPubliBDPubli P1 AIPubli Theory m0 Theory Journal m Conf m1

P2P detecting of inconsistencies  Propagation of m1: { ¬AIPubliv Conf; ¬AIPubli v Publi; ¬AIPubli v ¬Journal; ¬BDPubli v Conf; ¬BDPubli v Publi; ¬BDPubli v ¬Journal }. No production of unit clause No inconsistency  Propagation of m2: { ¬Theory v Journal; ¬AIPubli v Journal; …..; ¬AIPubli ; …; ¬AIPubli v ¬Conf}. Production of a unit clause Inconsistency {m1,m2} is a NoGood stored at P3 ¬Conf v Publi ¬Journal v Publi ¬Journal v ¬Conf ¬AIPubli v 2005 ¬BDPubli v 2005 ¬Theory v Article ¬Expe v Article ¬AIPubli v Theory ¬2005 v Conf m1 ¬Theory v Journal m2

Distributed storage of the NoGoods { M* 2 M* 1 M* n … } {} {}

Principle: –avoid the inconsistencies when constructing answers Semantics of « well-founded » answer: –obtained from a consistent subset of formulas Algorithm: –for each answer, build its set of mapping supports and return the set of NoGoods encountered during the reasoning, discard the mapping supports including a NoGood –return the answers having a not empty set of mapping supports P2P well-founded reasoning

SomeRDFS Extending the data model to RDF(S) –W3C recommendation for describing web resources –Classes and (binary) relations between objects –each object is identified by a URI "Le Louvre" MuseumName Located " Paris" CityName Triple notation: Relational notation:property(resource, value)

RDFS ArtistName Located MadeBy Contains City CityName Literal Museum Work Artist MuseumName Literal Is-a ArcheologyMuseum Is-a ModernMuseum Literal CulturalPlace Is-a WorkName Literal

SomeRDFS: data model a simple fragment of RDFS distributed through simple mappings (using the same constructors) Q(X,Y): P2.Work(X)  P2.refersTo(X,Y)

Query rewriting in SomeRDFS Propositionalisation of the RDFS statements and the query: removing the variables Propositional query rewriting using SomeWhere Building the relational rewritings by adding the variables at the right place. C 1 dom  C 2 dom C 1 range  C 2 range P 1 rel  P 2 rel P rel  C dom P rel  C range

illustration Q(X,Y): P2.Work(X)  P2.refersTo(X,Y) P2.Work dom P2.Work range P2.Painting dom … SomeWhere rewriting P1.Paints rel … SomeWhere rewriting P1.belongsTo rel … P2.Painting(X)P1.Paints(Z,X) P1.belongsTo(X,Y) R1(X,Y): P2.Painting(X)  P1.belongsTo(X,Y) P2.refersTo rel

illustration Q(X,Y): P2.Work(X)  P2.refersTo(X,Y) P2.Work dom P2.Work range P2.Painting dom … SomeWhere rewriting P1.Paints rel … SomeWhere rewriting P1.belongsTo rel … P2.Painting(X)P1.Paints(Z,X) P1.belongsTo(X,Y) P2.refersTo rel R2(X,Y): P1.Paints(Z,X)  P1.belongsTo(X,Y)

Recherche sémantique d’informations  requêtes :  posées à un pair, utilisant le vocabulaire du pair : Action 1, non-Drama 1, …  peuvent être traitées par SomeWhere et Deca via un encodage propositionnel : concept -> variable, relation de concepts -> disjonction/conjonction/disjointness de variables  résultats : un ensemble de ressources  chacune accompagnée d’une justification logique : son label (une combinaison de classes « feuilles » des pairs) RessourceLabel UnSecretDrama 4 IamLegend.aviUSA 3 Action 1 41

Modélisation et calcul de la confiance  La satisfaction des utilisateurs n’est pas garantie :  une ressource mal-annotée : Shrek.avi : Drama !  différents points de vue : IamLegend.avi : Scientifique ou Thriller ?  Un modèle de confiance  la confiance est considérée au niveau de label 42

Modélisation probabiliste  Hypothèse : évaluation binaire de ressources  Soit X iL une variable aléatoire  définie sur l’ensemble des ressources annotées par L  X iL (r) = 1 si r satisfait P i, X iL (r) = 0 sinon => elle suit une loi de Bernoulli de paramètre p  p : probabilité qu’une ressource annotée par L soit satisfaisante pour P i  p : inconnu  Confiance de P i dans un label L = p. A estimer ! 43

Approche Bayésienne  Principe :  observer un échantillon des valeurs de X iL  modéliser Confiance(P i, L) comme une variable aléatoire suivant une loi qui tient compte des observations  estimer Confiance(P i, L) par l’espérance de cette loi  affiner l’estimation en fonction de nouvelles observations 44

Observations  Table des observations O 1 dans le pair P 1 Label L# + 1 (L)# - 1 (L) MyActionFilms MyCartoons Western 4 28 Italian 5 Western Cas général: O + i (L) O - i (L) Observations pertinentes # d’observations + sur L faites par P 1 # d’observations - sur L faites par P 1 O + 1 (Western 4 ) = 2 # d’observations + pertinentes sur Western 4 # d’observations - pertinentes sur Western 4 O - 1 (Western 4 ) = 14

Estimation de la confiance Confiance(P i, L) ≈ 1+ O + i (L) 2+ O + i (L) + O - i (L) Ecart type = √ (1+ O + i (L)) * (1+ O - i (L)) ( 2+ O + i (L) + O - i (L)) 2 * (3+ O + i (L) + O - i (L)) 46

Résultats  on peut calculer le nombre d’observations nécessaire pour que l’écart type soit inférieure à un seuil.  observations locales trop peu nombreuses? Label LConfianceEcart type MyActionFilms MyCartoons Western Italian 5 Western

Observations locales non suffisantes  Collection d’observations d’autres pairs  avantage : homogénéité du modèle  2 stratégies de propagation d’observations  stratégie « lazy »  stratégie « greedy » 48

Approche « lazy »  Poser une requête, attendre les réponses  Pour un label L, demander à certains pairs leurs observations sur L  Pas d’adaptation du mécanisme de raisonnement  Des messages supplémentaires après le traitement de la requête 49

Approche « greedy »  Poser une requête  Collecter les observations au cours du traitement de la requête  Etendre les messages de réponses A1A1 C1C1 B1B1 Pair P 1 A2A2 C2C2 B2B2 Pair P 2 A3A3 C3C3 B3B3 Pair P 3 A4A4 C4C4 B4B4 Pair P 4 B 2 B 1 B 4 B 3 B 3 B 2 B 1 b4.avi : B 4 O + 3 (B 4 ), O - 3 (B 4 ) O + 2 (B 4 ), O - 2 (B 4 ) O + 3 (B 4 ) O - 3 (B 4 ) 50

Discussion sur le modèle proposé  La confiance évolue  La valeur de confiance : moyen numérique pour ordonner des réponses  Contre des pairs malicieux :  peut identifier les pairs diffusant des virus  peut utiliser un vote majoritaire pour ignorer les menteurs 51

Références Distributed Reasoning in a Peer-to-Peer Setting: Application to the Semantic Web. Philippe Adjiman, Philippe Chatalic, Francois Goasdoué, Marie-Christine Rousset, Laurent Simon, Journal of Artificial Intelligence Research, Volume 25, pages Distributed Reasoning in a Peer-to-Peer Setting: Application to the Semantic Web. SomeRDFS in the Semantic Web. Philippe Adjiman, Francois Goasdoué, Marie-Christine Rousset. Journal of Data Semantics (JoDS), Volume 8.SomeRDFS in the Semantic Web. Reasoning with Inconsistencies in Propositional Peer-to-Peer Inference Systems. Philippe Chatalic, Gia-Hien Nguyen, Marie-Christine Rousset. Proceedings of ECAI 2006 (European Conference on Artificial Intelligence, pages Reasoning with Inconsistencies in Propositional Peer-to-Peer Inference Systems. A Probabilistic Trust Model for Semantic Peer to Peer Systems Gia-Hien Nguyen, Philippe Chatalic, Marie-Christine Rousset. Proceedings of EDBT'08 Workshop on Data Management in Peer-to-peer systems.A Probabilistic Trust Model for Semantic Peer to Peer Systems

Logique des propositions (rappel) Vocabulaire : variables propositionnelles (propositions vraies ou fausses) Formules: –Atomiques : p –Composées: , , ,  Interprétation –une fonction I de l’ensemble des propositions vers {V,F} n –I(  ) = V ssi I(  ) = V et I(  ) = V –I (  ) = V ssi I(  ) = V ou I(  ) = V –I(  ) = V ssi I(  ) = F

Propriétés Nombre fini d’interprétations pour une formule –Raisonnement décidable –Complexité exponentielle dans le cas le pire 2 n interprétations pour une formule avec n variables propositionnelles Toute formule est équivalente à une conjonction de clauses –Complexité pôlynomiale de la transformation –Une clause: une disjonction de littéraux –Un littéral: p,  q Exemple : (p1  (p2  (p3  p4)))

Algorithmes de raisonnement sur des ensembles de clauses Principe de résolution –Différentes stratégies En profondeur d’abord –Complète pour tester la satisfiabilité (dérivation de la claude vide) –p3,  p1  p3  p2   p3 p2  p1 Saturation en largeur d’abord –Complète pour calculer tous les impliqués premiers –Une clause c est un impliqué premier de T si : T |= c si T |= c’ et c’ |= c alors c’  c Exemple: T= {p1  p2  p3,  p1   p4,  p3   p5}  p4   p5 est un impliqué premier (propre) de T  {  p2} p4  p5 est un implicant premier (propre) de T  { p2}