Introduction à l’automatisation -ELE3202- Cours #10: Le modèle d’état (2ième partie) & transformée en z Enseignant: Jean-Philippe Roberge Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Cours # 10 Fin de la matière portant sur les systèmes continus: Retour sur le cours #9 Modèle d’états et commande par retour d’états Régulation par placements de pôles Observateurs d’états Conception pour le suivi de consigne Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Cours # 10 Systèmes discrets (non-continus): Échantillonnage Transformée en z : propriétés et démonstrations Bloqueur d’ordre 0 La semaine prochaine (entres autres): Présentation d’intérêts d’étudiant : Application des systèmes du contrôle au domaine de la photographie (1) et des automates programmables (2). Exercices sur la matière des cours #9 et #10 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Retour sur le cours #9 (I) Pour faire l’analyse d’un système et/ou la conception d’un contrôleur, deux approches sont disponibles: La première est basée sur la fonction de transfert du système La deuxième est basée sur le modèle d’état du système Figure tirée de “Modern Control Systems”, Bishop & Al. Modèle d’état: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Retour sur le cours #9 (II) Du modèle d’état, il est possible d’obtenir directement la fonction de transfert d’un système (Laplace): Par ailleurs; Donc les pôles de la fonction de transfert sont aussi les valeurs propres de la matrice A!! Autre particularité des modèles d’états: Aussi, nous avions vu au dernier cours qu’en général, une fonction de transfert quelconque possède plusieurs représentations d’état équivalentes. De ces “formes” équivalentes, nous avions vu quatre formes importantes: La forme canonique commandable La forme canonique observable La forme canonique diagonale La forme canonique de Jordan Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Retour sur le cours #9 (III) Forme canonique commandable Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Retour sur le cours #9 (IV) Forme canonique observable Note: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Retour sur le cours #9 (V) Forme canonique diagonale Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Retour sur le cours #9 (VI) Forme canonique diagonale Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Retour sur le cours #9 (VII) Forme canonique de Jordan Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Retour sur le cours #9 (VIII) Forme canonique de Jordan Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Retour sur le cours #9 (IX) Solution des équations d’état par Laplace Au dernier cours, nous avions vu qu’il était possible de solutionner le système d’équation suivant, en utilisant Laplace: Donc, la solution: Où: se nomme la « matrice de transition ». Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Retour sur le cours #9 (X) Solution des équations d’état par Laplace Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Retour sur le cours #9 (XI) Solution des équations d’état par Laplace Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Retour sur le cours #9 (XII) Solution des équations d’état par Laplace Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Retour sur le cours #9 (XIII) Commandabilité Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Retour sur le cours #9 (XIV) Observabilité Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Retour sur le cours #9 (XV) Exemple – système masse-ressort avec friction Commandabilité: Observabilité: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Cours #10

Conception à l’aide du modèle d’état (I) Commande par retour d’états Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (II) Commande par retour d’états En effet: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (III) Commande par retour d’états http://www.jproberge.net -- Liens – Pendule de Furuta double #1 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (IV) Commande par retour d’états Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (V) Commande par retour d’états Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (VI) Commande par retour d’états Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (VII) Commande par retour d’états Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (VIII) Commande par retour d’états Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (IX) Commande par retour d’états Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (X) Exemple 2: système de tests automatiques (tiré de [1], [5]) Soit le système suivant qui sert à tester des pièces électriques: entres autres, des relais, des interrupteurs et des lumières. Le système utilise un moteur DC (vous avez vu comment modéliser approximativement un moteur à l’aide d’un système de premier ordre dans le cadre du laboratoire) ainsi qu’un encodeur incrémental qui permet de connaître la position ϴ ainsi que la vitesse d(ϴ)/dt. Variables d’état: Tiré de [1] Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (XI) Exemple 2: système de tests automatiques (tiré de [1], [5]) Le diagramme fonctionnel du système en boucle ouverte est: Le modèle d’état associé est: U(s) Amplificateur Champ magnétique Moteur V X3=If X2 X1=ϴ(s) Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (XII) Exemple 2: système de tests automatiques (tiré de [1], [5]) Le diagramme fonctionnel du système en boucle fermée est: Le modèle d’état associé est: U(s) Amplificateur Champ magnétique Moteur V X3=If X2 X1=ϴ(s) - R(s) + Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Conception à l’aide du modèle d’état (XIII) Exemple 2: système de tests automatiques (tiré de [1], [5]) Les racines du polynôme caractéristique, ou les valeurs propres de la matrice d’intérêt sont déterminées par: Supposons que nous souhaitons obtenir un temps de réponse à 2% environ égal à 1.08 sec et un dépassement d’environ 2.1%: Nous avons 4 degrés de liberté et 3 pôles à fixer, nous pouvons donc arbitrairement poser K1=1 et résoudre: Solution: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Observateur d’état (I) Lorsque nous avons choisi la rétroaction: pour fermer la boucle, nous avons émis l’hypothèse que le vecteur d’états « x » était disponible. En effet, nous avons sous-entendu qu’il était possible d’obtenir la valeur de tous les états du système afin de générer le signal de rétroaction. Par contre, dans biens des situations, il vous sera impossible de mesurer physiquement toutes les variables d’état. La sortie « y » ne contiendra pas nécessairement tous les états. Dans ce cas, que peut-on faire? C’est ici qu’intervient l’observateur d’état! Un observateur d'état est une extension d’un système représenté sous forme de modèle d'état. Lorsqu’un ou plusieurs état(s) d'un système n'est (ne sont) pas mesurable(s), on construit un observateur qui permet de reconstruire l'état à partir d'un modèle du système dynamique et des mesures disponibles. Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Observateur d’état (II) Un observateur d’état permet d’estimer x: Comment peut-on estimer le vecteur d’état? Démonstration au tableau… Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Observateur d’état (III) La dynamique de l’observateur d’état est donnée par : La dynamique de l’erreur est donc donnée par: Si les valeurs propres de sont négatives, alors la dynamique de l’erreur est stable et l’erreur tend vers 0!!! Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Observateur d’état (IV) Ainsi, on peut choisir le gain Ke afin que les valeurs propres de (A-KeC) soient toutes à partie réelle négative. De cette façon, peu importe la condition initiale de l’erreur (e(0)), l’erreur convergera vers 0. Aussi, puisque les valeurs propres d’une matrice sont toujours égales aux valeurs propres de cette même matrice transposée; On peut donc utiliser la formule d’Ackerman pour placer les pôles en remplaçant A par A’, B par C’ et K par Ke’: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Observateur d’état (V) Exemple 1 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Observateur d’état (VI) Exemple 1 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Observateur d’état (VII) Exemple 1 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Observateur d’état (VIII) Exemple 1 Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Observateur d’état (IX) Contrôleur et observateur Maintenant que nous avons un moyen d’estimer le vecteur état au complet, il est maintenant possible d’utiliser cette information pour la rétroaction en prenant : Donc, les équations de la dynamique deviennent: Donc, le système augmenté sera stable si et seulement si les valeurs propres de Aaug. sont à parties réelles négatives. Ceci étant dit, remarquez-vous une particularité sur la forme de Aaug. ? Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Observateur d’état (X) Contrôleur et observateur En fait, la matrice Aaug. est une matrice dite « triangulaire supérieure ». Les valeurs propres de Aaug. sont: Donc, les pôles de la partie commande ne sont influencés que par le gain de la partie commande! Les pôles de la partie observateur ne sont influencés que par le gain de la partie observateur! On appelle cette particularité, le « principe de séparation ». Le design de l’observateur peut donc être effectué de manière tout à fait indépendante du design de la partie commande. Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Observateur d’état (XI) Contrôleur et observateur Par contre, il faut faire une dernière petite remarque en revisitant la forme du système augmenté: Nous pouvons en effet faire le design de l’observateur de manière indépendante par rapport à la partie commande. Cependant, puisque l’erreur « e » affecte quand même la partie commande, nous avons intérêt à ce cette erreur converge rapidement vers 0. C’est pourquoi il est généralement recommander de faire le design de l’observateur de sorte à ce que les pôles soient plus rapides (plus à gauche dans le plan complexe) que les pôles de la partie commande. Habituellement, on recommande des pôles de l’observateur de 2 à 5 fois plus rapide. Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Observateur d’état (XII) Contrôleur et observateur : Diagramme fonctionnel Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Contrôle intégral pour suivi de consigne (I) Sommaire de l’apprentissage par rapport aux modèles d’état: Nous avons appris ce qu’était un modèle d’état et comment mettre un système dynamique quelconque sous cette forme. Lorsque l’état n’est pas complètement disponible à la sortie du système, nous avons appris comment faire le design d’un observateur d’état afin d’estimer « x ». Nous avons appris que nous pouvions alors se servir l’état estimé pour le signal de rétroaction. Nous avons démontré que le système, ainsi que l’observateur, seront stables en choisissant des gains K et Ke conséquents. Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Contrôle intégral pour suivi de consigne (II) Dans un très grand nombre d’applications, on souhaite faire en sorte que la sortie suive des consignes. Plusieurs exemples ont d’ailleurs déjà été discutés dans le cadre du cours: Régulateur de vitesse, lecteur de disque dur, système de bicyclette robotisé, suivi de température dans un four, thermostats électroniques et mécaniques, etc… Dans plusieurs cas, on souhaite suivre des consignes de type échelon (d’une amplitude quelconque). Nous avons appris comment stabiliser le système par retour d’états, comment faire maintenant pour continuer à stabiliser le système (en la présence possible de perturbations constantes) tout en le rendant apte à suivre des consignes-échelon? Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Contrôle intégral pour suivi de consigne (III) Nous allons maintenant démontrer qu’en ajoutant un intégrateur (suivi d’un certain gain KI) à l’entrée du système, ce dernier sera alors apte à suivre des consignes de type échelon, malgré la présence de perturbations constantes: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Contrôle intégral pour suivi de consigne (IV) En effet, soient l’erreur « e » et l’intégrale de l’erreur « eI »: On peut ré-écrire sous forme de modèle d’état (boucle ouverte), tel que: En fermant la boucle (tout en étant conforme avec le diagramme fonctionnel précédent) avec u=-Kx+KIeI , on obtient le modèle d’état en boucle fermée: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Contrôle intégral pour suivi de consigne (VI) Le système et l’erreur à la sortie de l’intégrateur seront stables si la matrice Ae à toute ses valeurs propres à partie réelle négative. Maintenant, si le système est strictement stable, cela implique que lorsque le temps tend vers l’infini: Si , alors on a (de l’équation du haut): Le système est apte à suivre des consignes de type échelon! Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Contrôle intégral pour suivi de consigne (VII) Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Contrôle intégral pour suivi de consigne (VIII) Exemple I : Le lecteur de disque Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Contrôle intégral pour suivi de consigne (IX) Exemple I : Le lecteur de disque Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Contrôle intégral pour suivi de consigne (X) Exemple I : Le lecteur de disque Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Contrôle intégral pour suivi de consigne (XI) Exemple I : Le lecteur de disque Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Contrôle intégral pour suivi de consigne (XII) Exemple I : Le lecteur de disque Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Contrôle intégral pour suivi de consigne (XII) Exemple II avec observateur d’états Exemple des wagons de train… Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Fin de la matière sur les systèmes continus!! Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Domaine non-continu et transformée en z (I) Jusqu’à maintenant nous avons seulement considéré les systèmes continus… Ceci est correct tant et aussi longtemps que les signaux sont échantillonnés à haute fréquence de sorte que l’on puisse « approximer » le système discret par un système continu sans problème. On peut faire cette approximation dans plusieurs cas… Cependant, dans d’autre cas, la période d’échantillonnage est trop grande et le système est trop « discontinu »: Que peut-on faire? Dans ces cas, on utilisera la théorie propre aux systèmes discontinus, particulièrement la transformée en z. Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Domaine non-continu et transformée en z (II) Un signal r(t) échantillonné peut être représenté par r*(t), tel que: Donc, sous forme équivalente: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Domaine non-continu et transformée en z (III) Rappel du cours #2: En prenant la transformée de Laplace d’un signal échantillonné: Et en définissant simplement: Alors: C’est ce qu’on appelle la « transformée en z » de r(t). La transformée en Z est donc simplement l’extension de la transformée de Laplace au domaine non-continu! Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Domaine non-continu et transformée en z (IV) Transformé en z d’un échelon Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Domaine non-continu et transformée en z (V) Transformé en z d’une exponentielle Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Domaine non-continu et transformée en z (VI) Transformé en z d’un sinus Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Transformées en z et propriétés Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Domaine non-continu et transformée en z (VII) Théorème de la valeur initiale / finale Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Domaine non-continu et transformée en z (VIII) Bloqueur d’ordre zéro Un bloqueur d’ordre 0 est un système qui permet de garder constante (le temps d’une période d’échantillonnage) la valeur d’un échantillon: À l’entré du bloqueur, on a: En intégrant, on obtient : Finalement on obtient la sortie du bloqueur en soustrayant: , c’est-à-dire l’intégrale décalée de: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Domaine non-continu et transformée en z (IX) Bloqueur d’ordre zéro Donc, la fonction de transfert du bloqueur d’ordre 0 est: Exemple de système en boucle ouverte avec un bloqueur d’ordre 0 à l’entrée: Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Domaine non-continu et transformée en z (X) Bloqueur d’ordre zéro Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Prochain cours Exercices! Continuation de la matière concernant le domaine non-continu: Transformée en z inverse Choix d’une période d’échantillonnage Fonction de transfert pulsée d’éléments en cascade Fonction de transfert pulsée d’éléments en boucle fermée Stabilité d’une fonction de transfert pulsée Jean-Philippe Roberge - Mars 2011

Références [1]Modern Control Systems – Richard C. Dorf & Robert H. Bishop [2]Control Systems Engineering – Norman S. Nise [3]Notes de cours (ELE3202) – Richard Gourdeau & John Thistle [4]Linear System Theory – Wilson J. Rugh [5] R.C. Dorf and A. Kusiak, Handbook of Manufacturing and Automation, John Wiley & Sons, New York, 1994. [6] Jean-Philippe Roberge, Étude et commande d’un système mécanique avec liens flexible, 2009. Jean-Philippe Roberge - Mars 2011