Maha BOUATTOUR Circuit électrique 2 1ère Année Note de cours Institut Supérieur des Systèmes Industriels de Gabes 1

Chapitre 1 : Circuits électriques linéaires en régime sinusoïdal monophasé 2

I- Définition : valeur instantanée de y : valeur maximale (amplitude) : phase à l’instant t : Phase à l’instant t=0 : retard : retard positif retard de phase : retard négatif avance de phase : période (s) : fréquence (Hz) : pulsaion (rd/s) 3

II- Représentations et propriétés des grandeurs sinusoïdales II-1-Représentation vectorielle (Diagramme de Fresnel) 4

Le diagramme obtenu est appelé diagramme de Fresnel. Donc toute fonction sinusoïdale de la forme : peut être représentée par un vecteur de la forme: avec : 5

II-2- Représentation complexe (imaginaire) soit par un nombre complexe de la forme : Donc toute fonction sinusoïdale de la forme: peut être représentée par un vecteur de la forme: 6

II-3- Propriétés des grandeurs sinusoïdales: 1- Dérivation En écriture complexe : Soit 7

En écriture complexe : 1- Intégration Soit 8

3- Valeur moyenne: La valeur moyenne d’une grandeur sinusoïdale est nulle: 4- Valeur efficace: En électronique, on note par la valeur efficace de. 9

III-1- Impédance et Admittance d’un circuit III- Etude des circuits en régime sinusoïdal  Impédance d’un circuit:  Admittance d’un circuit: 10

III-2- Circuit comportant une résistance pure:  Impédance: Soit D’après la loi d’Ohm NB : Pour le cas d’une résistance pure, l’impédance complexe est un nombre réel positif. 11

 Déphasage:  Diagramme vectoriel: est en phase avec On a: 12

III-3- Circuit comportant une inductance pure:  Impédance: Soit On a: Module de : 13

On note : réactance inductive. NB : Pour le cas d’une inductance pure, l’impédance complexe est un nombre imaginaire pur positif. 14

 Déphasage:  Diagramme vectoriel: On a: On dit que est en arrière de par rapport à ou en quadrature arrière par rapport à 15

III-4- Circuit comportant une capacité pure:  Impédance: Soit On a: Module de : 16

On note : réactance capacitive. NB : Pour le cas d’une capacité pure, l’impédance complexe est un nombre imaginaire pur négatif. 17

 Déphasage:  Diagramme vectoriel: On a: On dit que est en avance de par rapport à ou en quadrature avant par rapport à 18

III-5- Circuit R,L et C en série: Le courant est commun pour les 3 éléments, on le choisit comme origine des phases. On a: 19

 Impédance: Module de : 20

 Déphasage et diagramme vectoriel:  Premier cas: On dit que le circuit est inductif est en arrière par rapport à 21

 Dauxième cas: On dit que le circuit est capacitif est en avance par rapport à 22

 Troisième cas: On dit que le circuit est résistif est en phase avec 23

c’est un court-circuit, le circuit est équivalent à un interrupteur fermé. la parte imaginaire dec'est la résonance série. Remarque: D’où Module de : La résonance série est un phénomène dangereux parce qu’il y’a risque soit de griller la résistance, soit de couper l’inductance, soit de claquer la capacité. On doit donc prévoir en série avec le circuit des appareils de protection, on cite à titre d’exemple le relais thermique, le fusible, le disjoncteur, etc. Dans le cas où 24

III-5- Circuit R,L et C en parallèle: La tension est commun pour les 3 éléments, on le choisit comme origine des phases. On a: 25

 Admittance: Module de : Impédance: 26

 Déphasage et diagramme vectoriel:  Premier cas: On dit que le circuit est capacitif est avant par rapport à 27

 Deuxième cas: On dit que le circuit est inductif est arrière par rapport à 28

 Troisième cas: On dit que le circuit est résistif est phase avec D’où la résonance parallèle est un phénomène non dangereux, le circuit est équivalent à un interrupteur ouvert. Remarque: Dans le cas où 29

Chapitre 2 : Puissances en régime sinusoïdal monophasé 30

La puissance instantanée c’est la vitesse de transformation d’une quantité d’énergie dW pendant un temps dt: I- Puissance instantanée p 31

Sachant que: On obtient: II- Puissance active soit et 32 C’est la valeur moyenne de la puissance instantanée

Sachant que: 33

34

Cas d’une résistance pure: 35 Or on a: On a aussi:

Cas d’une inductance pure: Cas d’une capacité pure: Remarque: est toujours positive ou nulle, c’est une puissance absorbée. 36

III- Puissance apparente complexe soit On définit la puissance apparente complexe: est le conjugué deoù 37 alors on a :

Or Puissance Active (W: Watt) Puissance Réactive (VAR: Volt Ampère Réactif) Puissance apparente (VA: Volt Ampère) 38

On définit le facteur de puissance: 39 On a: Or on a: On a aussi:

Si la charge est résistive on a : On dit que la charge résistive n’absorbe pas de la puissance réactive. Remarques: 40 Puissance Réactive:

Si la charge est inductive on a : On dit que la charge inductive absorbe de la puissance réactive. avec Charge inductive pure: Or on a on a aussi 41

Si la charge est capacitive on a : On dit que la charge capacitive fournit de la puissance réactive. avec Charge capacitive pure: Or on a on a aussi 42

IV- Lois relatives aux puissances (Théorème de Boucherot) 43 On donne les deux installations électriques suivantes: 1- Installation inductive: 2- Installation capacitive: Installation

Le terme ………. est appelé courant actif Le terme ………. est appelé courant réactif IV-1- Courant Actif- Courant réactif: 44 Quelque soit le déphasage, arrière ou bien avant, le courant actif …. est en phase avec la tension Par contre le courant réactif … est vecteur en quadrature arrière par rapport à la tension … si …..…, ou en quadrature avant si ……... Remarques:

45 IV-2- Puissances actives, réactives et apparentes totales: On donne le circuit électrique suivant:

46 Le diagramme vectoriel complet est donnée par la figure suivante :

47 Loi : Quelque soit le montage, la puissance active totale absorbée par plusieurs récepteurs est la somme arithmétique des différentes puissances actives. 1- Puissance active totale: Loi : Quelque soit le montage, la puissance réactive totale absorbée (ou fournie) par plusieurs récepteurs est égale à la somme algébrique des différentes puissances réactives. 2- Puissance réactive totale:

48 Loi : Il ne faut jamais additionner des puissances apparentes pour circuits de natures différentes. 3- Puissance apparente totale:

49 V- Facteur de puissance: V-1- Définition: Le facteur de puissance est une caractéristique renseigne sur la qualité d’un réseau alternatif. Il renseigne sur la qualité de la répartition de la puissance active et de la puissance réactive qu’il distribue. Définit par:

50 V-2- Amélioration du facteur de puissance: (utilisation des capacités): Soit une installation électrique alimentée par une tension … qui absorbe une puissance active …, une puissance réactive …. et un courant …. sous un facteur de puissance ……….. On se propose d’améliorer ….. à ………………... Pour cela, on branche une capacité... en parallèle avec l’installation. Le problème revient à déterminer la valeur de …. ainsi que la nouvelle valeur du courant ….. dans la ligne.

51 Méthode graphique: Graphiquement et suite à l’échelle du diagramme, on mesure.… et …..

52 Méthode analytique: Avant amélioration on a: Après amélioration on a: avec On a: Or: Alors: et La puissance active aux borne de la capacité:

53 La nouvelle valeur du courant dans la ligne: On a: ou:

54 Annexe Diviseur de tension

55 Diviseur de courant

Chapitre 3 : Théorie des quadripôles et notions de filtres électriques 56

Un quadripôle est un élément de circuits à 4 bornes: I- Quadripôles 57 I-1- Définitions

58 Quadripôle actif: contient des éléments semi-conducteurs et autres éléments passifs Quadripôle passif: il est composé que d'éléments passifs (résistances, inductances, capacités)

59 I-2- Impédance d'entrée et de sortie Impédance de sortie : Impédance d'entrée :

II- Calcul opérationnel 60 II-1- Définition: transformée de Laplace Soit …… une fonction de la variable réelle …., on appelle transformée de Laplace de ……, la transformation fonctionnelle …….. de la variable complexe ….. telle que: avec

61 II-2- Propriétés fondamentales: Linéarité: Dérivée: Intégrale: Retard temporel: appelé retard Convolution: Translation:

62 on aura alors : d'après la formule de la transformée de Laplace, on obtient: 1- Pour une résistance: On a : et II-3- Utilisation de la transformée de Laplace dans l'analyse des circuits:

63 on aura alors : d'après la formule de la transformée de Laplace, on obtient: 2- Pour une inductance: On a : en supposant

64 on aura alors : d'après la formule de la transformée de Laplace, on obtient: 3- Pour une capacité: On a :

65 3- Impédance du circuit rlc en notion de Laplace: Déterminons l'impédance ………………..… du circuit rlc en série en notion de Laplace. en remplaçant …. par …….. on se trouve dans le cas sinusoïdal complexe :

III- Fonction de transfert - Gain 66 III-1- Définition: fonction de transfert On appelle fonction de transfert ……..…d’un quadripôle, le rapport du signal d'entrée et du signal de sortie lorsque les conditions initiales sont nulles:

67 Le module : L'argument : La fonction ……….. appelée aussi gain en tension : Gain en courant :

68 III-2- Echelle logarithmique et représentation de Bode: Pour étudier la réponse en fréquence d'un quadripôle en régime sinusoïdal, on représente graphiquement les variations de la fonction de transfert en fonction de la fréquence. Or cette fonction est complexe, donc on étudie: Le module : L'argument :

69 1- Echelle logarithmique Elle permet la représentation graphique d'une grandeur variant dans de fortes proportions logarithme décimale : logarithme népirien :

70 Exemple : Propriétés : Placer ………….. sur l'échelle logarithmique :

71 2- Représentation de Bode La représentation de Bode représente deux diagrammes: Diagramme de l'amplitude: en fonction de la fréquence, appelé diagramme de gain, définit par: Le gain s'exprime en décibel. Diagramme de l'argument: en fonction de la fréquence: L'argument s'exprime en degré.

72 3- Exemple: Etude d'un circuit RC Soit à tracer le diagramme de Bode d'un circuit RC en utilisant le diviseur de tension, on obtient: Fonction de transfert :

73 Module: Gain :

74 Argument :

75 L'étude asymptotique de la fonction de transfert permet de prédire le comportement du filtre et son tracé dans le diagramme de Bode. Etude asymptotique : On cherche les directions asymptotiques: Aux très basses fréquences: Gain: Argument: Aux très hautes fréquences: Gain: La courbe de réponse en gain admet une asymptote de Argument: décibel/décade

76 Fréquence de coupure: La fréquence de coupure est donnée par: La fréquence de coupure: Gain: Argument:

77 Application numérique: Courbe du gain et de l’argument: Les directions asymptotiques présentent une droite de 0 décibel pour..…….. et une droite de pente de ……… décibel/décade pour ………..

78 Courbe du gain et de l’argument:

IV- Filtre électrique passif 79 IV-1- Définitions: Un filtre est un quadripôle linéaire conçu pour transmettre sélectivement les diverses fréquences de la grandeur harmonique. Les filtres sont caractérisés par leur fonction de transfert qui s'écrit sous la forme suivante: ……… : Noménateur ……… : Dénominateur …… et …. sont des polynômes à coefficient réel de degré ….. : l'ordre du filtre

80 L'étude des filtres dans le domaine fréquentiel détermine le type de filtre, on distingue 4 types: filtre passe bas: si la bande passant est de la forme

81 filtre passe haut: si la bande passant est de la forme

82 filtre passe bande: si la bande passant est de la forme

83 filtre coupe bande: si la bande passant est de la forme

84 IV-2- Filtre passe bas de premier ordre: Le circuit RC est un filtre passe bas de premier ordre car il transmet des signaux harmoniques. L'étude du circuit RC est faite au paragraphe III-2-3

85 IV-3- Filtre passe haut de premier ordre: Ce filtre sélectionne les fréquences hautes (supérieures à la fréquence de coupure) et altère fortement les basses fréquences. Soit le circuit CR suivant:

86 en utilisant le diviseur de tension, on obtient: Fonction de transfert :

87 Module: Gain :

88 Argument :

89 Etude asymptotique : On cherche les directions asymptotiques: Aux très basses fréquences: Gain: La courbe de réponse en gain admet une asymptote de Argument: Aux très hautes fréquences: Gain: Argument: décibel/décade

Fréquence de coupure: La fréquence de coupure est donnée par: La fréquence de coupure: Gain: Argument:

91 Application numérique: Courbe du gain et de l’argument: Les directions asymptotiques présentent une droite de pente de …… décibel/décade pour ……….. et une droite de 0décibel pour …………..

92 Courbe du gain et de l’argument:

93 IV-4- Filtre passe bande: Ce filtre transmet une bande de fréquence comprise entre ses deux fréquences de coupure.…. et ….. tout en altérant fortement celles se trouvant de la part et d'autres des deux fréquences de coupure. Une des méthodes pour la synthèse d'un filtre passe-bande et l'utilisation en cascade d'un filtre passe-haut avec un filtre passe-bas ; les deux circuits de filtres vus précédemment sont utilisés ici pour donner le schéma du filtre passe-bande suivant:

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97 IV-5- Filtre coupe bande : Ce filtre altère une bande de fréquence comprise entre ses deux fréquences de coupure ….. et ….. tout en transmettant fortement celles se trouvant de la part et d'autres des deux fréquences de coupure. Une des méthodes pour la synthèse d'un filtre passe-bande et l'utilisation en cascade d'un filtre passe-bas avec un filtre passe- haut; le filtre coupe-bande est donnée par le schéma suivant:

98 Annexe: Propriétés de diagramme de Bode :