L’ESPACE à 3 DIMENSIONS longitude latitude altitude Aucune des 3 dimensions n’est absolue. La seule quantité absolue est la distance, dont le carré vaut d 2 = x 2 + y 2 + z 2 (théorème de Pythagore généralisé) z y x O  F d

Notre espace-temps à 4 dimensions Les points de l’espace-temps sont les événements. y t 2,5 km x l’accident s’est passé à : t = 1h 26 y = 2,5 km x = … km z = … km

Le temps est-il universel ? (une question qui tracassait Einstein) Heure de Sydney, Rio ou Lyon ? Oui, mais à quelle heure? Rendez-vous pour sauter à longitude = 35° Est, latitude = 26° Nord, altitude = 5400 mètres Ah oui, j’oubliais la 4 ème coordonnée : demain à t = 13h 30 L’heure GMT. Réglons maintenant nos montres à l’heure GMT. Qui dit qu’elles tourneront à la même vitesse ?

Espace R 2 : Plan d’un quartier x y

Rotation des axes y’ x’ y x

Formules de rotation x’ = y + xy + x y’ = y - xy - x Pour l’exemple simple précédent (rotation de 45°) : mélange x et y y’ x’ x y 45° S’= S S

Transformation de Lorentz (« pseudo-rotation » des axes d’espace-temps ) = x - v t x’  = t - v x t’  mélange t et x = facteur de dilatation du temps  = = 1 dilatation du temps observateur immobile t’ x t x’ contraction des longueurs observateur en mouvement S S’= S

transformation « de Galilée » x’ = x - v t t’ = t - Pas de mélange t et x dans la 2ème équation - temps universel observateur immobile t’ = t x t x’ observateur en mouvement v t

à chacun son quadri-repère t x y z t y x z y x z Chaque observateur voyage avec son référentiel, qui donne la direction de l’axe des temps. Dans ce référentiel il utilise un tri-repère (axes x, y, z). Référentiel + tri-repère = quadri-repère. On change de référentiel par transformations de Lorentz. t y x z

La « monnaie unique » distance-temps La lune est à 1 seconde et demie, le soleil à 8 minutes. Le Concorde volait à environ v = 600 m/s = La terre tourne autour du soleil à v = 29 km/s = L’électron tourne autour du noyau à v = 1/100. Un neutron « rapide » dans une centrale nucléaire est typiquement à v = 1/10. Le temps se mélange avec les distances. Ce n’est plus une dimension à part. Il faut mesurer x, y, z et t dans la même unité. c = km / seconde = 1 Le mètre ? la seconde ? Celui que vous voulez. L’important est de connaître le « taux de change ». Il est tel que la vitesse de la lumière vaut 1 : Nous sommes des escargots sur le dos d’une tortue ! 1 seconde = km = mètres 1 an = une année lumière

Équivalence masse-énergie Monsieur Einstein, pourquoi ne dites-vous pas « E = m », puisque c = 1 ? Une masse immobile contient une énergie E = mc 2 Vous avez raison, mais je n’osais pas l’écrire comme çà. J’avais déjà choqué trop de gens… - 1 gramme = 0, joule - 1 tonne de pétrole cède 4, gramme - Le proton pèse 1, joule

Les distances en relativité x t A B D Rappel de la distance entre deux points de R 3 : Entre deux événements, il y a trois cas possibles : Elle est indépendante du référentiel. Aucun voyageur, ni signal ne peut aller de A en B. A et B sont non-causaux entre eux. Leur quadri-distance vaut 1 er cas : d > |t|

le temps propre Un voyageur ou un signal peut aller de A en B (mais pas l’inverse !) Le temps vécu par le voyageur (ou temps propre) vaut 2 ème cas : d < |t| L’événement A peut influencer l’événement B. Il y a causalité de A vers B. B est dans le futur de A. x t B A T

Cas limite Seule la lumière, les ondes gravitationnelles et peut-être certains neutrinos peuvent aller de A en B. Le photon n’a pas le temps de respirer ! 3 ème cas : d = |t| t’ x t x’ B A D = T = 0

Vous courez ! Si, vous courez ! Non, je marche ! marche ou court ?

Qui a raison ? On est dans le cas a-causal : d > |t| - Dans le référentiel de l’arbitre, B a lieu à t = + 0,4 donc après A. - Dans le référentiel du marcheur, B a lieu à t’ = - 0,6 donc avant A. On ne peut pas dire si A est avant ou après B, donc l’arbitre et le marcheur ont tous les deux raison. l’arbitre t’ t le marcheur A B t=0 x’ t’ = 0 t=+2 t’ = +2 x décollage du pied arrière atterrissage du pied avant

fusée accélérée (1) 1 année- -lumière 2 année- -lumière Une fusée uniformément accélérée décrit une hyperbole dans l’espace-temps. Pour une accélération a = 10 m s -2 = 1 an -1, elle atteint au bout d’un an une vitesse moyennement relativiste : v = 0,76

fusée accélérée (2) t t’ t’’ x’’ x x’ la fusée accélérée change continuellement de référentiel

fusée accélérée (3) A envoie un signal lumineux bleu à B. Le temps que le signal arrive, la fusée a pris encore de la vitesse. La lumière arrive décalée vers le rouge en A, à cause de l’effet Doppler. La fréquence lumineuse peut être assimilée à la fréquence de rotation des électrons autour du noyau atomique (c’est le principe de l’horloge atomique). B en conclut que électrons des atomes tournent plus lentement en A qu’en B. « le temps s’écoule moins vite » en A qu’en B À cause du principe d’équivalence, on a le même effet dans un champ de pesanteur (expérience de Pound et Rebka). C’est la base de la Relativité Générale. t t’ x x’ AB