Combinaisons linéaires de vecteurs géométriques Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Introduction À partir de quelques vecteurs, il est possible, en utilisant les opérations d’addition et de multiplication par un scalaire, d’engendrer une multitude de vecteurs. On dit que les vecteurs ainsi obtenus sont des combinaisons linéaires des vecteurs utilisés pour les engendrer. À partir de cette notion, nous présenterons celles de dépendance linéaire et d’indépendance linéaire ce qui nous amènera aux notions de base et de repère d’une droite, d’un plan ou de l’espace.

Combinaison linéaire DÉFINITION Combinaison linéaire de vecteurs On appelle combinaison linéaire des vecteurs toute expression de la forme : Soit v1 , v2 v3 , …, vn , des vecteurs. a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 + … + an vn si et seulement s’il existe des scalaires a1, a2, a3, … an tels que : est une combinaison linéaire des vecteurs On dit qu’un vecteur w v1 , v2 v3 , …, vn w = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 + … + an vn On dit également que w est engendré par les vecteurs v1 , v2 v3 , ... vn

Vecteurs engendrés par un vecteur Considérons un vecteur géo-métrique v1 . Les vecteurs engendrés sont les vecteurs de la forme : w = a v1 v1 . Ces vecteurs sont tous parallèles à la droite support de Peut-on dire que tous les vecteurs de même direction que v1 sont des combinaisons linéaires de v1 ? C’est-à-dire si on considère un vecteur w ayant même direction que v1, existe-t-il un scalaire a pour lequel : w = a v1 ? Le scalaire est obtenu en prenant le rapport des modules des vecteurs et en ajoutant un signe moins si les vecteurs sont de sens contraire. Par conséquent, tous les vecteurs ayant même direction sont engendrés. S

Vecteurs engendrés par deux vecteurs Considérons deux vecteurs géo-métriques v1 et v2 . Les vecteurs engendrés sont les vecteurs de la forme : w = a v1 + b v2 Tous ces vecteurs sont parallèles au plan déterminé par les directions de v1 et v2 . Peut-on dire que tous les vecteurs situés dans un plan parallèle aux directions de ces v1 et v2 ? deux vecteurs est une combinaison linéaire de Les scalaires sont obtenus en prenant le rapport des modules des vecteurs et en ajoutant un signe moins si les vecteurs sont de sens contraire. Par conséquent, tous les vecteurs contenus dans un plan parallèle aux directions des deux vecteurs sont engendrés par v1 et v2 . S

Dépendance linéaire DÉFINITION Vecteurs linéairement dépendants Soit V = { Lorsqu’il est possible d’exprimer au moins un des vecteurs de V comme com-binaison linéaire des autres vecteurs de V, on dit que les vecteurs de V sont linéairement dépendants. v1 , v2 , v3 , …, vn }, un ensemble de vecteurs. Considérons les vecteurs de l’illustration ci-contre. v1 et v2 . v3 comme une combinaison linéaire de Ces trois vecteurs sont linéairement dépendants puisqu’il est possible d’exprimer Il existe donc des scalaires non nuls tels que : a1 v1 v2 v3 + a2 = De façon équivalente, il existe des scalaires non nuls tels que : = a1 v1 v2 v3 + a2 + a3 C’est cette forme équivalente que nous utiliserons pour donner une définition plus efficace de la dépendance linéaire.

Dépendance et indépendance linéaire DÉFINITION Dépendance linéaire Soit V = { v1 , v2 , v3 , …, vn }, un ensemble de vecteurs. On dit que les vecteurs de V sont linéairement dépendants si et seulement si il existe des scalaires a1, a2, a3, … an non tous nuls tels que : a1 v1 v2 v3 vn + a2 + a3 + … + an = DÉFINITION Indépendance linéaire Soit V = { v1 , v2 , v3 , …, vn }, un ensemble de vecteurs. On dit que les vecteurs de V sont linéairement indépendants si et seulement si l’égalité : a1 v1 v2 v3 vn + a2 + a3 + … + an = est vérifiée uniquement lorsque : a1 = a2 = a3 = … = an = 0. S

Colinéarité et dépendance linéaire DÉFINITION Vecteurs colinéaires On dit que des vecteurs sont colinéaires si et seulement s’ils sont parallèles à une même droite. Soit deux vecteurs colinéaires u et v. Alors, il existe un scalaire k tel que : u = k v D’où : u – k v = Il existe donc des scalaires non nuls tels que : u + b v = a Par conséquent, deux vecteurs colinéaires sont linéairement dépendants. Réciproquement, s’il existe des scalaires non nuls satisfaisant à cette condition, on peut isoler l’un des vecteurs dans l’équation pour montrer qu’ils sont parallèles.

Colinéarité et dépendance linéaire THÉORÈME Dépendance linéaire et parallélisme de deux vecteurs Deux vecteurs non nuls sont linéairement dépendants si et seu-lement s’ils sont parallèles (ou colinéaires). THÉORÈME Indépendance linéaire et non-parallélisme de deux vecteurs Deux vecteurs non nuls sont linéairement indépendants si et seu-lement s’ils ne sont pas parallèles (ou non colinéaires). ne sont pas coli-néaires, alors : Si des vecteurs u et v u ≠ k v " k Î R\{0}, On a donc : u + b v = a uniquement si a = b = 0. Les vecteurs sont donc linéairement indépendants.

Base d’une droite DÉFINITION Base d’une droite Un ensemble B = { } est une base de la droite ∆ si et seulement si : e • le vecteur est non nul; e • tout vecteur de ∆ est une combinaison linéaire de e . Remarque constitue une base pour plusieurs droites. Un vecteur e Le vecteur de la base d’une droite définit l’orientation de celle-ci. Pour caractériser une droite particulière, il faut, en plus de son orientation, donner un point de cette droite.

Repère d’une droite DÉFINITION Repère d’une droite Un ensemble {O, } est un repère de la droite ∆ si et seulement si : e • O est un point de la droite ∆; • B = { } est une base de ∆. e On dit que {O, e } est un repère d’origine O et de base . } , un repère de la droite ∆ et P un point de ∆. Le vecteur Soit {O, est appelé vecteur position du point P (ou rayon vecteur) du point P. e OP Le scalaire a pour lequel : OP = a e est appelé coordonnée du point P dans le repère {O, e }.

Composante d’un vecteur Remarque Le repère d’une droite permet également de décrire la position de tout point de la droite par rapport à un point hors de cette droite. AP = + a e AO + OP On applique simplement la relation de Chasles. } , un repère de la droite ∆ et un vecteur dont la droite support est parallèle à ∆. e Soit {O, v, Alors, le scalaire a pour lequel : = a e v dans le repère est appelé composante du vecteur {O, e }. v

Exercice Décrire la position des points P et Q par rapport au point A dans le repère {O, }. e En appliquant la relation de Chasles, on a : AP = + 1,5 e AO + OP AQ = – 1 e AO + OQ S S S S Donner la composante de chacun des vecteurs dans la base du repère {O, }. e Dans la base de ce repère, on a : = 2 e u Dans ce repère, la composante du vecteur u est 2. On trouve également : = –2,5 e v Dans ce repère, la composante du vecteur v est –2,5.

Vecteurs coplanaires DÉFINITION Vecteurùs coplanaires On dit que des vecteurs sont coplanaires si et seulement s’ils sont parallèles à un même plan. Les vecteurs de l’illustration ci-contre sont coplanaires. Nous verrons maintenant à quelles conditions des vecteurs coplanaires sont linéairement dépendants ou linéairement indépendants et nous verrons les notions de base d’un plan et de repère d’un plan.

Coplanarité et dépendance linéaire THÉORÈME Dépendance linéaire et coplanarité de trois vecteurs Trois vecteurs non nuls sont linéairement dépendants si et seu-lement s’ils sont coplanaires. Þ Þ w. Considérons u, v et w, trois vecteurs co-planaires. Alors, il est toujours possible d’exprimer au moins l’un de ces vecteurs comme combinaison linéaire des deux autres. Supposons que cela est le cas pour le vecteur trois vecteurs linéairement dépendants. u, v et w, Alors, il existe des scalaires non tous nuls a, b et c tels que : Soit u + b v = a w + c Supposons que c est un des scalaires non nuls . Alors : S S Il existe donc des scalaires non nuls a et b tels que : w a u + b v = – c Géométriquement, cela signifie qu’il est toujours possible de construire un parallélogramme dont le vecteur choisi est la diagonale et dont les côtés sont parallèles aux droites supports des deux autres vecteurs. w a u + b v = , d’où : = w a u + b v – D’où : w –a c u v = –b + Par conséquent, il existe des scalaires non tous nuls a, b et c tels que : Le vecteur est donc la diagonale d’un parallélogramme construit sur les droites support des deux autres vecteurs et les trois vecteurs sont coplanaires. w u + b v = a w + c Les vecteurs sont donc linéairement dépendants.

Non-coplanarité et indépendance linéaire Du théorème précédent, on tire le suivant par contraposition : THÉORÈME Indépendance linéaire et non- coplanarité de trois vecteurs Trois vecteurs non nuls sont linéairement indépendants si et seu-lement s’ils ne sont pas coplanaires. Si trois vecteurs ne sont pas copla-naires, il est impossible d’exprimer l’un quelconque de ces vecteurs comme combinaison linéaire des deux autres. Tous les vecteurs d’un plan peuvent s’exprimer comme combinaison liné-aire de deux vecteurs non colinéaires de ce plan. Une base d’un plan contient donc deux vecteurs.

Base d’un plan DÉFINITION Base d’un plan Un ensemble B = { } est une base d’un plan ∏ si et seulement si : e1 e2 , • les vecteurs sont linéairement indépendants; e1 e2 , • tout vecteur de ∏ est une combinaison linéaire de . e1 e2 et Remarque constitue une base pour plusieurs plans. Un ensemble de vecteurs linéairement indépendants B = { e1 e2 , } Les vecteurs de la base d’un plan définissent les orientations de celui-ci. Pour caractériser un plan particulier, il faut, en plus, donner un point de ce plan.

Repère d’un plan S S S DÉFINITION Repère d’un plan Un ensemble {O, } est un repère d’un plan ∏ si et seulement si : e1 e2 , • O est un point du plan ∏; • B = { } est une base ordonnée de ∏. e1 e2 , }, un repère du plan ∏. Soit {O, e1 e2 , Le vecteur position d’un point P a une expression unique comme combinaison linéaire des vecteurs de la base. Dans ce repère, les composantes d’un vecteur sont les scalaires a1 et a2 de la combinaison linéaire exprimant ce vecteur dans la base du repère. On note le vecteur = (2; –2). u On remarque que les coordonnées du point dépendent du repère considéré alors que les composantes des vecteurs dépendent seulement de la base du repère . OP = a1 + a2 e1 e2 OP = 2 – 3 e1 e2 Les scalaires a1 et a2 de cette com-binaison linéaire sont appelés les coordonnées du point P dans ce repère. On le note P(a1; a2 ). Dans ce repère, le point P sera donc noté P(2; –3). = –2 + 4 e1 e2 v On note le vecteur = (–2; 4). v S S S

Exercice S S S S }, un repère du plan ∏. Soit {O, e1 e2 , Donner les coordonnées des points P et Q dans ce repère. OP = –1 – 1,5 e1 e2 Dans ce repère, le point P sera donc noté P(–1; –1,5). OQ = –3 + 0,5 e1 e2 Dans ce repère, le point Q sera donc noté Q(–3; 0,5). Déterminer, dans ce repère, les composantes du vecteur PQ. Par la relation de Chasles, on a : OP + PQ = OQ , d’où : PQ = OQ – OP PQ = ( –3 + 0,5 e1 e2 ) – (–1 – 1,5 = –2 + 2 ) S S S S

Exercice ≈ S S S S S }, un repère du plan ∏. Soit {O, e1 e2 , Montrer en utilisant un argument algé-brique que les vecteurs : et Donner, dans ce repère, les composantes des vecteurs u v. = –2 + 1,5 e1 e2 u = 1 – 2 v et = –2 + 1,5 e1 e2 u sont linéairement indépendants. Dans ce repère, le vecteur sera donc noté u = (–2; 1,5). Soit a et b des scalaires tels que : a u + b v = , d’où : = 1 – 2 e1 e2 v Dans ce repère, le vecteur sera donc noté v = (1; –2). a (–2 + 1,5 e1 e2 ) + b ( – 2 ) = 0 + 0 (–2a + b) + (1,5a – 2b) e1 e2 = 0 + 0 Déterminer, dans ce repère, les composantes du vecteur u + v. –2a + b = 0 1,5a – 2b = 0 L’égalité des vecteurs donne le système d’équations Par l’addition des vecteurs, on a : Par la méthode de Gauss, on a : = (–2 + 1,5 e1 e2 ) + (1 – 2 = –1 – 0,5 ) u + v 1 1,5 –2 L1 4L2 – 3L1 –2 1 –11 ≈ On notera = (–1; –0,5). u + v Il reste autant d’équations que d’inconnues, le système a une solution unique, a = 0 et b = 0. Les vecteurs sont donc linéairement indépendants. S S S S S

Exercice = + = = ( S Soit {O, }, un repère du plan ∏. e1 , e2 Décrire, dans ce repère, la position d’un point X quelconque de la droite passant par le point P et parallèle au vecteur u. Par la relation de Chasles, on a : OX = OP + PX = OP + t u, où t est un nombre réel. En exprimant les vecteurs dans la base, on a : OP = –1 e1 – 1 e2 et u = –2 e1 + 1 e2 En substituant, on obtient : OX = ( –1 e1 – 1 e2 ) + t(–2 e1 + 1 e2 ) = (–1 – 2t) e1 + (–1 + t) e2 , où t est un nombre réel. S

Base de l’espace Tous les vecteurs d’un espace tridimen-sionnel peuvent s’exprimer comme combinaison linéaire de trois vecteurs non coplanaires. Pour constituer une base de l’espace, les trois vecteurs n’ont pas nécessairement une origine commune. Ils doivent définir trois directions qui ne sont pas coplanaires.

Base et repère de l’espace DÉFINITION Base de l’espace e1 e2 , e3 et } est une base de l’espace si et seulement si les vecteurs Un ensemble B = { sont linéairement indépendants. DÉFINITION Repère de l’espace Un ensemble {O, } est un repère de l’espace si et seulement si : e1 e2 , e3 • O est un point de l’espace; • B = { } est une base ordonnée de l’espace. e1 e2 , e3

Exercice ≈ ≈ S S S Exprimer les vecteurs dans la base du repère }. e1 , e3 {O, u, v et w Par la méthode de Gauss, on obtient : 2 3 1 e1 e2 + 2 e3 + 0 = 3 u , v e1 e2 + 3 + 1 = 2 e3 w e1 e2 + 3 + 2 = 0 e3 Montrer en utilisant un argument algébri-que que les vecteurs sont linéairement indépendants. ≈ L1 3L2 – 2L1 L3 2 9 1 3 5 On veut savoir s’il existe des scalaires a, b et c non nuls tels que : ≈ 5L1 – 2L2 L2 5L3 – L2 a u + b v + c w = , d’où : e1 e2 + 2 a( 3 + 3 + 1 ) + b(2 ) + c( 3 e3 ) = , et : ( 3a + 2b ) e1 + ( 2a + 3b + 3c) e2 + ( b + 2c) e3 = 0 + 0 Il reste autant d’équations que d’inconnues, le système a donc une solution unique, a = 0, b = 0 et c = 0. Les vecteurs sont donc linéairement indépendants. 3a + 2b = 0 2a + 3b + 3c = 0 b + 2c = 0 Par l’égalité des vecteurs, on obtient le système d’équations linéaires : S S S

Exercice = + S Dans le repère } e1 e2 , e3 {O, de l’espace ci-contre, le point P et le vecteur forment le repère d’une droite. r À l’aide d’un vecteur position, décrire la position d’un point X quelconque de cette droite par rapport au point O. OX = OP + PX + t r En exprimant les vecteurs dans la base, on a : OP = e1 e2 + e3 et = 2 r OX = ( e1 e2 + e3 ) + t(2 ) On a donc : Par les propriétés des opérations sur les vecteurs : OX = (1 + 2t) e1 e2 e3 + (1 + t) S

Exercice = + = ( S Dans le repère } e1 e2 , e3 {O, de l’espace ci-contre, le point P et les vecteurs forment le repère d’un plan. r et s À l’aide d’un vecteur position, décrire la position d’un point X quelconque de ce plan par rapport au point O. OX = OP + PX + a r + b s Puisque que tout vecteur du plan est une combinaison linéaire des vecteurs de la base de celui-ci. En exprimant les vecteurs dans la base, on a : OP = e1 e2 + e3 , e1 e2 + e3 = 2 r e2 e3 + = s et On a donc : OX = ( e1 e2 + e3 ) + a(2 ) + b( ) Par les propriétés des opérations sur les vecteurs : OX = (1 + 2a) e1 e2 e3 + (1 + a + b) S

Conclusion À l’aide des opérations d’addition et de multiplication par un scalaire, on peut, non seulement engendrer une multitude de vecteurs, mais également décrire par un vecteur position les points d’une droite ou d’un plan. Cette description est l’équation vectorielle du lieu de ces points. Grâce à la notion d’indépendance linéaire, on peut s’assurer que les vecteurs retenus pour décrire un lieu sont porteurs de toute l’information pertinente.

Lecture Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 5.3, p. 124 à 133. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 5.3, p. 128 à 137 Exercices Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 5.4, p. 138 et 142. Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 5.4, p. 138 et 141.