La géométrie des nombres Pythagore La géométrie des nombres Vers ~569à ~475 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

Notes biographiques Pythagore est né vers ~569 à Samos. Samos est une île de la mer Égée située près de Milet. Pythagore est mort vers ~475.

Notes biographiques On admet généralement que Pythagore fut l’élève de Thalès et de son disciple Anaximandre avant d’entreprendre de nombreux voyages, particulièrement en Égypte et à Babylone. À son retour à Samos, l’île est sous la domination du tyran Polycrate et Pythagore décide de s’installer à Crotone en Italie du sud où il fonde une communauté qui tient à la fois de la secte et de l’académie. On y étudie la philosophie, les mathématiques et les sciences naturelles. Les membres de l’École vivent en communauté et gardent secret les enseignements reçus et leurs découvertes, il est donc difficile de connaître les contributions de Pythagore et celles de ses disciples.

Crotone, Italie du sud -

Les nombres L’intérêt des pythagoriciens pour les nombres et la géométrie leur vient probablement de l’astronomie. À l’époque de Thalès, les principales constellations étaient déjà connues. Pythagore qui s’y intéressait beaucoup avait observé que chaque constellation présente deux caractéristiques : le nombre d’étoiles qu’elle comporte et la figure géométrique formée par ces étoiles. Cette constatation était une motivation suffisante pour s’adonner à l’étude des nombres et des figures géométriques. Comme chaque constellation a un nombre qui lui est associé, chaque objet doit être associé à un nombre qui lui est propre. C’est ce qu’exprime le pythagoricien Philolaos de Crotone en disant : Toute chose a un nombre; c’est pourquoi il est impossible qu’une chose sans nombre puisse être conçue ou connue.

Géométrie, nombre et matière Selon Aristote, l’arithmétique, la géométrie et la physique étaient un même champ de connaissance pour les pytha-goriciens. Un point géométrique, un grain de matière et l’unité arithmétique constituaient un même concept. Les nombres étaient représentables par des agencements géométriques de points et ces agencements permettaient d’en déduire les propriétés. La doctrine pythagoricienne, telle que nous la décrit Aristote, repose sur la conviction que l’Univers est entièrement régi par les nombres entiers. Les pythagoriciens auraient été convaincus qu’en découvrant les lois numériques qui gouvernent le monde, ils pourraient prétendre au divin et à l’immortalité.

Géométrie, nombre et matière Dans leur classification des nombres, on retrouve : • la monade ou unité, c’est le principe d’identité; • la dyade, c’est le nombre deux qui est considéré comme le premier nombre, il est pair et féminin, c’est le principe de non-contradiction; • la triade, c’est le nombre trois, premier nombre impair, il est masculin; • la décade ou nombre dix qui est la somme des points de la Tetraktys. La Tetraktys est un symbole ésotérique fondamental pour les pythagoriciens.

Tetraktys et base 60 Il est possible que l’intérêt de Pythagore pour la Tetraktys lui soit venu durant son séjour à Babylone et que cet intérêt soit lié au système de numération babylonien. En effet, dans ce système, on utilise les regroupements par 10 et par 6 pour former la base soixante.

Pairs et impairs L’association point géométrique, grain de matière et unité arithmétique a amené les pythagoriciens à représenter les nombres par des dispositions de points ou de cailloux. Ils ont ainsi développé une géométrie des nombres et en ont déterminé certaines propriétés. En représentant les nombres par des points, il est facile de détecter que certains sont divisibles en deux parties égales et d’autres non. Un nombre pair est un nombre qui peut se diviser en deux parties égales. Un nombre impair est un nombre qui ne peut se diviser en deux parties égales.

Divisibilité Les points de certains nombres peuvent être regroupés de dif-férentes façons. Considérons le nombre 12, par exemple. On constate aisément que l’on peut regrouper les points en 2 paquets de 6 points, en 3 paquets de 4 points, en 4 paquets de 3 points ou en 6 paquets de 2 points. Cela illustre la notion de divisibilité des entiers. Définition Un nombre entier n est divisible par un nombre entier a s’il existe un nombre entier b tel que : n = a x b.

Nombres premiers Certains nombres échappent à toute forme de regroupement. Il est ab-solument impossible de faire des regroupements égaux de leurs points. On les appelle nombres premiers. Les autres sont appelés nombres secon-daires. Un nombre premier est un nombre dont les points ne peuvent se regrouper que d’une seule manière. Définition Un nombre premier est un nombre qui n’est divisible que par l’unité et par lui-même.

Nombres triangulaires Un nombre triangulaire est un nombre dont les points peuvent se disposer de façon à former un triangle. On peut déterminer tous les nombres triangulaires en ajoutant successivement une ligne de plus. C’est le gnomon. Définition Un gnomon est la chose qui ajoutée à quelque chose d’autre, figure ou nombre, forme un tout semblable à la chose à laquelle elle a été ajoutée. Les gnomons des nombres triangulaires forment une suite de nombres, c’est la suite des nombres entiers plus grands ou égaux à 2: {2; 3; 4; 5; 6; …}

Nombres oblongs Un nombre oblong est un nombre dont les points peuvent se disposer de façon à former un rectangle ayant une colonne de plus que de lignes. Le gnomon d’un nombre oblong est formé de la ligne et de la colonne qu’il faut ajouter. Les gnomons des nombres oblongs forment la suite : {4; 6; 8; 10; …} On peut facilement déterminer le ne nombre oblong (ou nombre de rang n). En effet, il suffit de faire le produit du nombre de lignes et du nombre de colonne. Le nombre de lignes est n et le nombre de colonnes est n + 1. On a donc : On = n(n + 1), où On désigne le nombre oblong de rang n.

On = n(n + 1) et On = 2 Tn , d’où 2Tn = n(n + 1) Nombres oblongs En regroupant les points des nombres oblongs successifs, on constate une relation intéressante entre les nombres oblongs et les nombres triangulaires. Le nombre oblong de rang n est la somme de deux nombres triangulaires de même rang. Cette propriété permet de déterminer la forme générale du nombre triangulaire de rang n. En effet, en désignant par Tn le nombre triangulaire de rang n, on a : On = n(n + 1) et On = 2 Tn , d’où 2Tn = n(n + 1) E isolant Tn, on obtient :

Nombres carrés Un nombre carré est un nombre dont les points peuvent se disposer de façon à former un carré. Les cinq premiers nombres carrés sont représentés dans l’illustration suivante. En désignant par Cn le nombre carré de rang n, on a : Cn = n2. Les gnomons des nombres carrés forment la suite des nombres impairs plus grands que 2. {3; 5; 7; 9; 11; …}

Nombres carrés En regroupant les points des nombres carrés successifs, on constate une relation intéressante entre les nombres carrés et les nombres triangulaires. Le nombre carré de rang n est la somme du nombre triangulaire de même rang et du nombre trian-gulaire précédent. En écriture moderne, cela signifie que : Cn = Tn + Tn–1 Un nombre impair est un nombre qui ne peut se diviser en deux parties égales

Nombres pentagonaux Un nombre pentagonal est un nombre dont les points peuvent se disposer de façon à former un pentagone. Les cinq premiers nombres pentagonaux sont représentés dans l’illustration suivante. Les gnomons des nombres penta-gonaux forment la suite des nombres : {4; 7; 10; 13; …} En regroupant les points, on constate une relation intéressante entre les nombres pentagonaux et les nombres triangulaires. En désignant par Pn le nombre pentagonal de rang n, on a : Cn = n + 3Tn–1.

Nombres hexagonaux Un nombre hexagonal est un nombre dont les points peuvent se disposer de façon à former un hexagone. Les gnomons des nombres hexa-gonaux forment la suite des nombres : {5; 9; 13; …} En procédant de la même façon, on a les nombres heptagonaux, octo-gonaux et ainsi de suite. On remarque que 1 fait partie de tous ces ensembles de nombres, sauf les oblongs. Cependant, les pythagoriciens ne considéraient pas un comme un nombre mais comme le principe d’identité.

Nombres solides Pour les grecs, un nombre qui peut s’exprimer comme le produit de deux nombres est un nombre plan. Celui qui peut s’exprimer comme le produit de trois nombres est un nombre solide. Parmi ceux-ci, on a les nombres cubiques, de la forme n3. Il y a d’autres nombres solides qui ne sont pas néces-sairement des produits de trois nombres. Ainsi, on a : Les nombres pyramidaux à base triangulaire : 1 + 3 + 6 + 10 +... Les nombres pyramidaux à base carrée : 1 + 22 + 32 + ... + n2 + ...

Conclusion Pour nous, la géométrie des nombres a un aspect cocasse. Il faut se souvenir que les grecs ne disposaient pas d’un système de numération permettant d’écrire et de manipuler adéquatement les nombres. Il est tout à fait remarquable qu’ils aient pu surmonter le handicap que constituait leur système de numération pour procéder à une étude aussi poussée des nombres et déterminer autant de propriétés de ceux-ci. L’étude des nombres va déboucher sur les progressions arithmétiques et les moyennes, ou médiétés, arithmétique, géométrique, harmonique ainsi que sur la division en extrême et moyenne raison d’un segment de droite.

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