Modélisation des procédés Université Montpellier 2 IUT de Montpellier Licence professionnelle - 2008/2009 Département de Mesures Physiques Modélisation des procédés Séance 3 : Modélisation des systèmes mécaniques/robotiques par la méthode de Lagrange Ahmed CHEMORI Laboratoire d’informatique de Robotique et de Microélectronique de Montpellier LIRMM - UMR 5506 161, Rue Ada 34392, Montpellier Cedex 05, France chemori@lirmm.fr

Introduction et définitions Plan du cours Introduction et définitions Les coordonnées généralisées Le lagrangien Équation de Lagrange Exemples illustratifs Exemple illustratifs 1 Exemple illustratif 2

INTRODUCTION

Introduction et définitions Modéliser un système mécanique revient à trouver un modèle mathématique sous forme d’une équation différentielle ordinaire Le modèle obtenu est un modèle dynamique Le modèle décrit la relation entre les positions, les vitesses, les accélération et les forces externes Les modèles dynamiques des systèmes mécaniques sont souvent non linéaires

Introduction et définitions Coordonnées généralisées : Un système matériel est repéré par un ensemble de coordonnées indépendantes qui peuvent être des positions, des angles ou plus généralement un ensemble de positions et d’angles que l’on regroupe sous le nom : coordonnées généralisées. Exemple : Déterminer les coordonnées généralisées des systèmes suivants Le pendule inversé La bille su le rail Système masse-ressort Robot manipulateur L’avion à décollage vertical Système masse-ressort-pendule

Introduction et définitions Le Lagrangien : Le Lagrangien est une fonction explicite des coordonnées généralisées , des vitesses généralisées (dérivées des coordonnées généralisées par rapport au temps), et du temps : dépendent du temps donc le Lagrangien dépend aussi indirectement du temps à travers ces grandeurs Lorsque les forces qui s’appliquent sur le système dérivent d’un potentiel, le lagrangien s’écrit comme la différence entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle : est l ’énergie cinétique totale du système : est l’énergie potentielle totale du système

Introduction et définitions Exercice : Déterminer le lagrangien des systèmes suivants : Système masse-ressort Pendule Double pendule

EQUATION DE LAGRANGE

Équation de Lagrange L’équation de Lagrange permet le calcul du modèle dynamique des systèmes mécaniques / robotiques L’évolution spatio-temporelle d’un système mécanique obéit à l’équation de Lagrange suivante : Où : est le Lagrangien : est l ’énergie cinétique totale du système : est l’énergie potentielle totale du système sont les coordonnées et les vitesses généralisées sont les forces généralisée associées à

EXEMPLES ILLUSTRATIFS

Exemples illustratifs Exemple illustratif 1 : Soit le système mécanique de la figure ci-contre Il s’agit d’un bras d’un robot actionné par un moteur électrique. Le bras est de longueur et de masse supposée appliquée à . L’actionneur génère un coupe Objectif : calculer le modèle dynamique de mouvements de ce système mécanique Robot manipulateur à 1 ddl

Exemples illustratifs Exemple illustratif 2 : Soit le système mécanique suivant Il s’agit d’un chariot qui se déplace horizontalement sur une table. A ce chariot est attaché un pendule qui peut osciller autours de la verticale sous l’effet du déplacement du chariot. Objectif : calculer le modèle dynamique de mouvements de ce système mécanique Système chariot-pendule