Couche limite atmosphérique Spectre de turbulence Définition La couche limite atmosphérique est la partie de l’atmosphère en contact avec la surface terrestre, directement influencée par la présence de celle-ci

Échelles Échelles atmosphériques: Échelles temporelles : de 1 a 108 s. Échelles spatiales : de 10-2 à 108 m Dans le but de faire l ’étude des phénomènes, les scientifiques les ont classés selon leur échelle spatiale: Micro échelle 10-2 à 103 m Échelle locale 102 à 5 x 104 m Méso échelle 104 à 105 m Macro échelle 105 à 108 m Ce cours étudie les phénomènes à la micro-échelle.

Échelles atmosphériques: Échelles temporelles : de 1 a 108 s. Échelles spatiales : de 10-2 à 108 m Dans le but de faire l ’étude des phénomènes, les scientifiques les ont classés selon leur échelle spatiale: Micro échelle 10-2 à 103 m Échelle locale 102 à 5 x 104 m Méso échelle 104 à 105 m Macro échelle 105 à 108 m Ce cours étudie les phénomènes à la micro-échelle.

Spectre d ’une variable Le spectre d ’une variable atmosphérique mesure la distribution de la variance d ’une variable dans le domaine des fréquences Si la variable considérée est la vitesse ou une de ces composantes, ce spectre décrit la distribution de l ’énergie cinétique en fonction de la fréquence ou du nombre d ’onde

Spectre d ’énergie

Sources de la turbulence

Cascade d ’énergie

Cospectre L ’analyse des flux turbulents nous donne des informations sur la dynamique des mouvements atmosphériques. Les flux sont des covariances entre les composantes de vitesse et une autre variable (température, humidité, concentration de CO2, etc.) Pour connaître la contribution de chaque échelle (ou fréquence) à une certaine covariance on détermine le cospectre des variables.

Décomposition de Fourier L ’outil mathématique utilisé dans l ’analyse spectrale est la décomposition de Fourier N = nombre de points n = nombre de cycles dans une période P P = Nt Transformé de Fourier discrète inverse directe

Décomposition de Fourier : exemple k: 0 1 2 3 4 5 6 7 temps 1200 1215 1230 1245 1300 1315 1330 1345 q: 8 9 9 6 10 3 5 6 n Fq(n) 0 7.0 1 0.28-1.03i 2 0.5 3 -0.78-0.03i n Fq(n) 4 1.0 5 -0.78+0.03i 6 0.5 7 0.28+1.03i

Décomposition de Fourier : exemple k: 0 1 2 3 4 5 6 7 temps 1200 1215 1230 1245 1300 1315 1330 1345 q: 8 9 9 6 10 3 5 6 n Fq(n) 0 7.0 1 0.28-1.03i 2 0.5 3 -0.78-0.03i n Fq(n) 4 1.0 5 -0.78+0.03i 6 0.5 7 0.28+1.03i Fréquence de Nyquist, nf ? 4 Moyenne ? Fq(0)=7.0

Décomposition de Fourier : exemple n Fq(n) 0 7.0 1 0.28-1.03i 2 0.5 3 -0.78-0.03i 4 1.0 5 -0.78+0.03i 6 0.5 7 0.28+1.03i

? Spectre de fréquence de la variance : exemple La contribution des ondes de fréquence n à la variance totale ?

Spectre d ’énergie et densité spectrale (discrète) Pour n=1, nf quand N est impair Pour n=1, nf-1 quand N est pair Densité spectrale

Spectre d ’énergie et densité spectrale: exemple n Fq(n) [Fq(n)]2 Eq(n) Sq(n) 0 7.0 1 0.28-1.03i 1.14 2.28 2.28 2 0.5 0.25 0.5 0.5 3 -0.78-0.03i 0.61 1.22 1.22 4 1.0 1.0 1.0 1.0 5 -0.78+0.03i 0.61 6 0.5 0.25 7 0.28+1.03i 1.14

Spectre d ’énergie et densité spectrale: exemple n Eq(n) Sq(n) 1 2.28 2.28 2 0.5 0.5 3 1.22 1.22 4 1.0 1.0

Spectre croisé : GAB Cospectrum Spectre de quadrature

Cospectrum : Co Cospectrum La somme de toutes les composantes Co(n) donne la covariance entre A et B

Décomposition spectrale de l ’équation de TKE Cette équation décrit le comportement de tous les tourbillons de l ’écoulement turbulent. Pour comprendre comment les tourbillons interagissent et contribuent à l ’énergie turbulente moyenne nous devons isoler les échelles du mouvement et étudier le comportement de chaque échelle La connaissance des spectres et cospectres de la turbulence nous donnent les moyens de le faire.

Décomposition spectrale de l ’équation de TKE Décomposition spectrale d ’une fonction continue Où  est le nombre d ’onde

Décomposition spectrale de l ’équation de TKE

Décomposition spectrale de l ’équation de TKE Dans le cas stationnaire Densité spectrale d ’énergie

Décomposition spectrale de l ’équation de TKE Dans le cas stationnaire et homogène On a aussi :

Représentation graphique du spectre d ’énergie

Décomposition spectrale de l ’équation de TKE Dérivées temporelles et spatiales dans le domaine des nombres d ’onde 

Décomposition spectrale de l ’équation de TKE Dérivées temporelles et spatiales dans le domaine des nombres d ’onde 

Décomposition spectrale de l ’équation de TKE Dérivées temporelles et spatiales dans le domaine des nombres d ’onde 

Décomposition spectrale de l ’équation de TKE

Décomposition spectrale de l ’équation de TKE