2 Physique des ondes 17/11/2018 Physique des ondes I

2 1er SEMESTRE M. Bouguechal / Lekic Objet du cours / TD Heures 1 – 4 Oscillateurs harmoniques : Rappel . Définition. Analogie électrique. 4 – 18 Oscillateurs harmoniques couplés : Mouvement libre sans frottement. Modes propres. Battements. Résonances. Analogies électriques. Couplage capacitif. Couplage inductif. 18– 22 Equation d’onde de d’Alembert : Chaines infinies d’oscillateurs. Approximation du milieu continu. Corde vibrante. Solutions de l’équation de d’Alembert. Oscillations libres d’une corde fixée à ses extrémités : modes propres. Oscillations forcées d’une corde fixée à une extrémité. 22 – 24 Ondes acoustiques dans les fluides : Ondes de pression dans une colonne Aspects énergétiques Ondes planes stationnaires Réflexion-transmission. M. Bouguechal / Lekic 17/11/2018 Physique des ondes I

2 II. Oscillateurs harmoniques couplés : II.1 Mouvement libre sans frottement II.2 Modes propres. Battements. Résonances. II.3 Analogies électriques. Couplage capacitif. Couplage inductif. 17/11/2018 Physique des ondes I

2.1 Cas de deux oscillateurs non amortis On considère deux points matériels de même masse m et reliés à trois ressorts de même longueur l0, de même constante de raideur k selon le schéma ci-dessous. k x1 x2 x m On écarte le système de sa position d’équilibre en déplaçant l’une ou les deux masses et en lâchant l’ensemble. On appellera x1 et x2 les abscisses des deux masses par rapport à leurs positions d’équilibre. 17/11/2018 Physique des ondes I

2 On peut alors écrire la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel galiléen choisi à chaque masse m à un instant t quelconque. On obtient après projection sur l’axe x : 17/11/2018 Physique des ondes I

On obtient alors un système d’équations différentielles couplées. k x1 x2 x m On obtient alors un système d’équations différentielles couplées. 17/11/2018 Physique des ondes I

2 On obtient alors un système d’équations différentielles couplées du second ordre à coefficients constants. 17/11/2018 Physique des ondes I

2 On peut résoudre ce système en faisant un changement de variable, on pose : 17/11/2018 Physique des ondes I

2 En additionnant d’abord et en soustrayant membre à membre les deux équations, on obtient : 17/11/2018 Physique des ondes I

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2 On obtient alors un système de deux équations différentielles découplées que l’on peut résoudre facilement. 17/11/2018 Physique des ondes I

2 Les constantes A1, A2, φ1 et φ2 sont déterminées en utilisant les conditions initiales. 17/11/2018 Physique des ondes I

2 Si on suppose que l’on écarte uniquement la masse m située à gauche d’une amplitude A et que l’on la lâche sans vitesse initiale à l’instant t=0 on peut donc écrire : 17/11/2018 Physique des ondes I

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2 On obtient alors en revenant aux variables initiales x1 et x2 : 17/11/2018 Physique des ondes I

2 et sont les pulsations propres du système. 17/11/2018 Physique des ondes I

2 Rappel mathématique 17/11/2018 Physique des ondes I

2 que l’on peut mettre sous la forme : 17/11/2018 Physique des ondes I

2 y = cos( 2π x) . cos(2π f x) 17/11/2018 Physique des ondes I

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2 Reprenons le même dispositif constitué de deux points matériels de même masse m et reliés à trois ressorts de même longueur l0, de même constante de raideur k et exerçons sur le point matériel M1 une force sinusoïdale de la forme : 17/11/2018 Physique des ondes I

On écarte le système de sa position d’équilibre en déplaçant l’une ou les deux masses et en lâchant l’ensemble. On appellera x1 et x2 les abscisses des deux masses par rapport à leurs positions d’équilibre. k x1 x2 x m On peut alors écrire la relation fondamentale de la dynamique dans le référentiel galiléen choisi à chaque masse m à un instant t quelconque. On obtient après projection sur l’axe x : 17/11/2018 Physique des ondes I

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2 On s’intéresse ici qu’au régime forcé (régime permanent). Les solutions x1(t) et x2(t) sont des fonctions sinusoïdales de pulsation Ω qui s’écrivent : 17/11/2018 Physique des ondes I

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2 Pour résoudre ce système d’équations, passons dans l’ensemble des complexes C et associons à chaque fonction réelle la fonction complexe correspondante. 17/11/2018 Physique des ondes I

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2 Remarque : Dans le cas particulier où : 17/11/2018 Physique des ondes I

2 Il faut que les dénominateurs des différentes fractions soient différents de zéro. 17/11/2018 Physique des ondes I

2 X1 et X2 étant des fonctions complexes, déterminons les modules ou amplitudes. 17/11/2018 Physique des ondes I

2 et ensuite les déphasages. 17/11/2018 Physique des ondes I

Bilan énergétique 2 Le bilan énergétique des deux oscillateurs couplés peut s’écrire : 17/11/2018 Physique des ondes I

2 L’énergie cinétique du système composé de deux masses est égale à : L’énergie potentielle élastique du système composé de trois ressorts est égale à : 17/11/2018 Physique des ondes I

2 Multiplions les deux équations différentielles du mouvement par pour la première. et par pour la deuxième et ajoutons les équations membre à membre. 17/11/2018 Physique des ondes I

2 On reconnait l’énergie totale qui est une constante du mouvement. 17/11/2018 Physique des ondes I

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2 Fin du second chapitre 17/11/2018 Physique des ondes I