Mais en mathématiques, qu'est ce qu'une ligne de niveau? Lignes de niveau Dans la vie courante on appelle « ligne de niveau » un ensemble de points d'une carte dont l'altitude est la même par rapport au niveau de la mer. Par exemple: ensemble des points M dont l'altitude est 350m. Le tracé des lignes de niveau donne une idée du relief sur le terrain. Mais en mathématiques, qu'est ce qu'une ligne de niveau?

Lignes de niveau Soit E un espace ou une partie de l'espace, par exemple une surface ou un volume. E est formé de points M et il est facile d'imaginer une fonction qui a tout point M fait correspondre un réel f(M). Par exemple, dans l'espace rapporté à un repère orthonormé, E est la surface vaguement conique qui figure sur le dessin si contre. Tout point M de E a pour coordonnées (X,Y, Z). Z est appelé hauteur du point. On définit f par f(M) = Z. L'ensemble des points M de E tels que f(M) =2 est appelé Ligne de niveau 2 de f dans E. C'est la ligne courbe représentée en rouge sur le dessin L'ensemble des points dont le niveau f(M) , qui ici est défini comme la hauteur Z, est égal à 2. f peut être définie de bien d'autres façons. Par analogie à cet exemple on appelle ligne de niveau k de f l'ensemble des points M tels que f(M) = k.

Comment définir f(M) ? En fait, on procède comme on veut pourvu qu'à tout point M de E (ensemble de définition de f) corresponde un nombre réel et un seul. On a vu que dans un repère il suffisait de faire correspondre à un point M une combinaison quelconque de ses coordonnée (x, y , z) : par exemple f(M) =x2+yz. Plus généralement on peut combiner des segments ou des vecteurs au sein d'expressions (sommes, produits, …) dont l'un des points sera M, les autres points étant fixes. Par exemple O est fixe et f(M) = OM. Si k est positif les lignes de niveaux f(M) = k sont constituées des ensembles de points M tels que OM = k . Ce sont les cercles de centre O et de rayon k. Autre exemple: A et B sont fixes. f(M)=AM+BM. Si k>AB la ligne de niveau f(M) = k est une ellipse dont les foyers sont A et B.

Quelques relations utiles Observez la façon dont on déduit les 3 expressions suivantes de ces deux là.

Lignes de type AB.CM=k Produit scalaire de 2 vecteurs dont trois points sont fixes et le quatrième variable. Cette relation nous indique que CM ' est constant donc que tous les points M de la ligne de niveau sont projetés en un point unique M' que l'on peut facilement situer. On a CM ' = | k| / CD = | k| / AB = constante si k est positif M ' et D sont situés sur CD du même côté de C. si k est négatif le point C se trouve entre M ' et D. Le signe de k est celui de cosθ Il est positif si θ < 90° et négatif si θ > 90° ce qui va avoir pour conséquence de situer la projection de M sur (CD) à droite de C ou à gauche de C. La ligne de niveau de f, (l'ensemble des points M vérifiant la relation initiale) est l'ensemble des points projetés en M ', autrement dit , la perpendiculaire à (CD) en M '.

Lignes de type MA2+MB2=k Ici, l'astuce consiste à exprimer f(M) en fonction de MO , O étant le milieu de AB. Pour cela on utilise le théorème de la médiane qui figure sur l'illustration si contre. On trouve f(M) = 2MO2+AB2/2 = k D'où l'on déduit 2MO2 = k – AB2/2. Autrement dit si la ligne de niveau existe, elle est formée de points qui sont tous à la même distance de O puisque OM est une constante. Si le membre de droite de cette équation est positif M se trouve sur une cercle de centre O et de rayon OM. (voir illustration ci contre) Si le membre de droite est négatif, il n'existe pas de point M vérifiant f(M) = k Si le membre de droite est nul, O est le seul point de l'espace vérifiant f(M) = k.

Lignes de type MA2-MB2=k Ici encore, le soucis de simplifier f(M) et de l'exprimer en fonction d'une seule grandeur contenant M (au lieu de 2 : MA et MB) nous fait opter pour la relation Et on se trouve ramené au premier cas étudié. (f(M) est un produit scalaire de 2 vecteurs dont tous les points sont fixes sauf un) On projette orthogonalement M en H sur (AB) et on a M se trouve sur la perpendiculaire à AB en H.

Lignes de type MA . MB = k Simplifions une fois de plus f(M) pour avoir une seule grandeur variable: f(M) = k devient donc MO2 - OA2 = k ou encore MO2 = k + OA2 Cette relation n'est cohérente que si k+OA2 ≥0 et dans ce cas posons k+OA2 = R2 Si k+OA2 > 0 OM est constant et égal à R. M se trouve sur le cercle de centre O et de rayon R. Si k+OA2 = 0 , le point O est le seul qui vérifie f(M) = k. Si k+OA2 < 0 il n'existe aucun point M vérifiant la relation f(M)=k.