S.S.I.I., , n°6, Créer des filtres sur mesure pour compresser S.S.I.I., , n°6, : Créer des filtres sur mesure pour compresser 1 Créer un filtre de réponse fréquentielle donnée Jean-Paul Stromboni, Polytech'Nice Sophia, S.I. 3 ème année Cours n° 6, novembre 2013, durée : 50 mn, avec vidéoprojecteur 0 fe f 0 f 0 f H1(f) fe f spectre (R échantillons) R/4 R/8 3*R/16 En appliquant le principe du cours n° 5 pour compresser et décompresser le signal suivant dans un facteur 4 :

S.S.I.I., , n°6, Créer des filtres sur mesure pour compresser S.S.I.I., , n°6, : Créer des filtres sur mesure pour compresser 2 Quel est le taux de compression envisageable ici pour le signal dont le spectre est donné ci-dessous? 0 fe f spectre 0 fe f 0 f 0 f 2

S.S.I.I., , n°6, Créer des filtres sur mesure pour compresser S.S.I.I., , n°6, : Créer des filtres sur mesure pour compresser 3 En fait, si on sait créer le filtre H2 ci-dessous, on atteint un taux de compression de 4 au lieu de 2 ! 0 fe f spectre 0 fe f 0 f 0 f H2 4 Car la condition de Shannon généralisée est respectée : la largeur du spectre du signal étant inférieure à fe/4 !!

S.S.I.I., , n°6, Créer des filtres sur mesure pour compresser S.S.I.I., , n°6, : Créer des filtres sur mesure pour compresser 4 Pour réaliser H2 à laide dun filtre programmé, on peut utiliser un filtre non récursif dont voici léquation : Le vecteur e=(e n, n=0..N-1) contient les N échantillons du signal à filtrer, ou entrée du filtre Le vecteur h=(h m, m= 0..R-1) contient les R coefficients du filtre (coefficients réels) Le vecteur s=(s n, n=0..N-1) contient la sortie du filtre ou signal filtré, chaque valeur s n est calculée par une itération de léquation ci-dessus R est la taille du filtre Léquation est un produit de convolution (symbole *): h contient la réponse impulsionnelle du filtre, cest-à-dire que s= h pour une entrée impulsion (e 0 =1, e n =0 si n!=0). Pour en savoir plus: Il sagit dun filtre linéaire et stationnaire, en anglais Linear Time Invariant. Pour mieux comprendre : s n =e n + e n-1 est linéaire et stationnaire s n = sin (e n-1 ) est non linéaire s n =e n +n e n-1 est non stationnaire Il sagit dun filtre non récursif, ou à réponse impulsionnelle de durée finie (Finite Impulse Response FIR en anglais) : Par contre, s n =s n-1 +e n-1, est un filtre récursif (ou IIR)

S.S.I.I., , n°6, Créer des filtres sur mesure pour compresser S.S.I.I., , n°6, : Créer des filtres sur mesure pour compresser 5 Pour calculer la réponse fréquentielle dun filtre récursif, on note les propriétés suivantes de la TFD directe et inverse : 1.H = fft(h) est périodique de période R 2.h= ifft(H) est périodique, de période R 3.En effet, les transformations fft et ifft sont presque identiques, au signe des exponentielles près. On vérifie que:

S.S.I.I., , n°6, Créer des filtres sur mesure pour compresser S.S.I.I., , n°6, : Créer des filtres sur mesure pour compresser 6 Pour calculer la réponse fréquentielle dun filtre récursif, on note les propriétés suivantes de la TFD directe et inverse : Si le vecteur H est réel, soit Hm réel pour m=0..R-1, à quelle condition le vecteur h=ifft(H) est il réel ? Réponse : il suffit que Hm=HR-m, pour m=0..R-1 car Et par conséquent hk est réel, pour k=0..R-1: noter que ce que lon vient détablir pour h et H, est vrai également pour en particulier ek est périodique de période R, et pour On utilisera dans la suite e et E, h et H et s et S ainsi définis, et de tailles R

S.S.I.I., , n°6, Créer des filtres sur mesure pour compresser S.S.I.I., , n°6, : Créer des filtres sur mesure pour compresser 7 La TFD du produit de convolution s= h*e est le produit cartésien des TFD de e et de h : Voici la démonstration, qui utilise la périodicité de la TFD inverse. Soit l équation du filtre Soit le signal filtré et le signal à filtrer C.Q.F.D. avec v= n-m quand n-m >0 et v=n-m+R quand n-m<0, puisque e n-m =e n-m+R.

S.S.I.I., , n°6, Créer des filtres sur mesure pour compresser S.S.I.I., , n°6, : Créer des filtres sur mesure pour compresser 8 Voici donc leffet sur le spectre dun filtre non récursif E contient le spectre du signal à filtrer S contient le spectre du signal filtré H = fft(h) est la réponse fréquentielle du filtre dont les coefficients réels sont dans le vecteur h L a réponse fréquentielle H est la transformée de Fourier de la réponse impulsionnelle h S i on fixe H à la valeur désirée H2, h= ifft(H) calcule les coefficients du filtre de réponse fréquentielle H=H2 E t ces coefficients seront bien réels si on a pris la précaution de choisir H m = H R-m, m=0..R-1 A ttention ! on impose uniquement R valeurs sur la réponse fréquentielle, aux fréquence kf e /R, k=0..R-1, il faudra vérifier H(f) entre ces fréquences

S.S.I.I., , n°6, Créer des filtres sur mesure pour compresser S.S.I.I., , n°6, : Créer des filtres sur mesure pour compresser 9 Vérifier avec Scilab que H est symétrique par rapport à R/2, et que imag(ifft(H)) = 0 et donc h=real(ifft(H)) fe=8000; R=64; // H symétrique par rapport à R/2 H=4*[zeros(1,R/8),ones(1,1+R/8),zeros(1,-1+R/2),ones(1,1+R/8),zeros(1,-1+R/8)]; //étude de h=ifft(H) h=ifft(H); t=[0:R-1]/fe; plot2d(t',[real(h'),imag(h')]) e=gce(); e.children(1).thickness=3; xgrid(); xtitle("vérification: imag(ifft(H))=0",... "temps (s)","donc h=real(ifft(H))") h1=legend(['real(h)';'imag(h)'])

S.S.I.I., , n°6, Créer des filtres sur mesure pour compresser S.S.I.I., , n°6, : Créer des filtres sur mesure pour compresser 10 Réponse fréquentielle du filtre de coefficients réels h=real(ifft(H)) tracée sur M=1024 valeurs au lieu de 64 Pour tracer la réponse fréquentielle du filtre de coefficients h=real(ifft(H)), il suffit de tracer abs(fft(h)) Pour tracer M=16*R valeurs au lieu de R, il suffit daug-menter le vecteur h de 15*R coefficients nuls : M=16*R; fe=8000; fM=[0:M-1]*fe/M; h=real(ifft(H)); hM=zeros(1,M); hM(1:R)=h; plot2d(fM,abs(fft(hM))) xgrid(); xtitle(["tracé de … h=real(ifft(H))) sur",string(M),"points"]...,"fréquence (Hz)","H=abs(fft(h))")

S.S.I.I., , n°6, Créer des filtres sur mesure pour compresser S.S.I.I., , n°6, : Créer des filtres sur mesure pour compresser 11 Réponse fréquentielle du filtre de coefficients réels h=fftshift(real(ifft(H))) tracée sur M=1024 valeurs clf(); M=16*R; h=fftshift(ifft(H)); fM=[0:M-1]*fe/M; hM=zeros(1,M);hM(1:R)=real(h); plot2d(fM,abs(fft(hM))) xgrid(); xtitle(["tracé de abs(fft(fftshift(real(ifft(H))))),", string(M),… " points"],"fréquence (Hz)","H") h = fftshift(real(ifft(H))) revient à permuter les deux moitiés du vecteur h

S.S.I.I., , n°6, Créer des filtres sur mesure pour compresser S.S.I.I., , n°6, : Créer des filtres sur mesure pour compresser 12 Il suffit darrondir la forme de la réponse fréquentielle spécifiée dans le vecteur H pour atténuer les oscillations résiduelles. H=4*[zeros(1,R/8-1),0.1,0.5,0.9,ones(1,R/8-3),0.9,0.5,0.1,... zeros(1,-3+R/2),0.1,0.5,0.9,ones(1,R/8-3),0.9,0.5,0.1,... zeros(1,-2+R/8)];

S.S.I.I., , n°6, Créer des filtres sur mesure pour compresser S.S.I.I., , n°6, : Créer des filtres sur mesure pour compresser 13 Exemple : calcul et dutilisation du filtre H2 avec Scilab La réponse fréquentielle du filtre est définie dans le vecteur H, les coefficients du filtre sont calculés dans le vecteur h, on filtre piano.wav, on compare spectrogrammes et énergies avant et après filtrage // filtre passe bande 1000Hz-2000Hz // gain 4, R=64, fe=8000Hz R=64; fe=8000; n=0:R-1; fr=n*fe/R; H=4*[zeros(1,R/8),ones(1,1+R/8),... zeros(1,-1+R/2),ones(1,1+R/8),... zeros(1,-1+R/8)]; plot2d3(fr,H) xgrid xtitle(['H2,avec R=',string(R)],... 'fréquence (Hz), H) //calcul des coefficients du filtre h=fftshift(real(ifft(H))); plot2d3(n/fe,h) xtitle('coefficients du filtre',... 'temps (s)',... 'h=fftshift(real(ifft(H)))') xgrid(); // filtrage [y,fe]=wavread('piano.wav'); disp(fe) // fe=8000 sound(y,fe) yf= convol(h,y); wavwrite(yf,fe,'pianofilt.wav') sound(yf,fe) //Spectrogrammes (Goldwave) // énergie Ey=(y*y')/2 // énergie y = Eyf=(yf*yf')/2 // énergie yf =89.62