Mesure du temps et oscillateurs Chapitre B3 Mesure du temps et oscillateurs

I. Travail d’une force 1- Définition 2- Travail du poids Le travail WAB( ) d'une force constante , lors d'un déplacement de son point d'application de A vers B, est égal au produit scalaire de la force par le vecteur déplacement = F × AB cos  . où  est l'angle entre les vecteurs est en joule (J), F en newton (N) et AB en mètre (m). Le travail est dit moteur (W> 0) si la force favorise le déplacement Il est résistant (W < 0) si elle s'oppose au déplacement Il est nul si la direction de la force est perpendiculaire à celle du déplacement. 2- Travail du poids Le travail d'un poids d'un corps est indépendant du chemin suivi par son centre d'inertie G pour aller du point de départ A au point d'arrivée B. Il ne dépend que leurs altitudes zA et zB. = mg (zA –zB) Le travail est en J, m en kg, g en N.kg-1 et (zA -zB) en m. L'axe (Oz) est orienté vers le haut.

3- Travail d’une force électrique Une particule de charge électrique q, placée dans un champ électrostatique uniforme E, est soumise à une force électrique constante d'intensité Fe = |q|× E. Lors du déplacement de A à B d'une particule dans un champ électrostatique uniforme, le travail de la force électrique exercée a pour expression : = Fe × AB cos  = |q|× E × AB cos  avec q, charge électrique portée par la particule en coulomb (C) E, intensité du champ électrique en volt par mètre (V.m-1). Un champ électrostatique uniforme E est produit entre deux points A et B par une tension électrique UAB (en V) appliquée entre ces deux points : L'expression du travail de la force électrique devient alors : = q × UAB La valeur et le signe du travail de la force électrique dépendent uniquement de ceux de q et de UAB, et non du chemin suivi par la particule entre A et B

II. Transferts énergétiques 1- Énergie cinétique Pour un point matériel de masse m et de vitesse v EC est en J, m en kg et v en m.s-1 Un solide est en mouvement de translation si tous les points de ce solide ont le même vecteur vitesse. Pour un solide de masse M animé d'un mouvement de translation caractérisé par la vitesse vG de son centre d'inertie 2- Théorème de l’énergie cinétique Dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique d'un solide est égale au travail des forces extérieures qui lui sont appliquées pendant la durée de cette variation. 3- Energies potentielles a) Énergie potentielle de pesanteur EPP = MgzG EPP est en J, g en N.kg-1 et zG en m. L'axe vertical (Oz) est orienté vers le haut. b) Énergie potentielle élastique Lorsque la longueur du ressort varie de l0 (longueur à vide) à l0 + x, le travail de la force f est : EPe est en J, k en N.m-1 et x en m. c) Énergie potentielle électrique EPél = q×V EPél est en J, q en C et V en V.

5- Forces conservatives 4- Énergie mécanique L'énergie mécanique EM d'un système est égale à la somme des énergies cinétique et potentielle: EM = EC + EP Si les frottements peuvent être négligés, les variations d'énergie potentielle compensent les variations d'énergie cinétique. 5- Forces conservatives Si les frottements peuvent être négligés, il y a conservation de l'énergie mécanique. Des forces sont conservatives si le travail ne dépend pas du chemin suivi Pour un dispositif solide ressort horizontal amorti, la somme des énergies cinétique et potentielle, diminue avec le temps. Lorsqu'un système est soumis à des frottements, son énergie mécanique ne se conserve pas.

III. Etudes énergétiques des oscillations libres Un système oscillant est un système mécanique de centre d'inertie G, dont le mouvement: ‑ est périodique, c'est‑à‑dire qu'il se reproduit identique à lui-même, à des durées égales; ‑ s'effectue de part et d'autre d'une position d'équilibre stable. 1- Pendule simple Il est constitué d'un objet de masse m accroché à une extrémité d'un fil inextensible ou d'une tige rigide, de masse négligeable devant celle de l'objet. La période propre d'un oscillateur caractérise ses oscillations libres en l'absence de tous frottements Pour les faibles amplitudes T0 2- Pendule élastique Lorsqu'on suspend, par exemple, un solide à un ressort vertical à spires non jointives et de longueur à vide l0, l'interaction entre le ressort et le solide se traduit, d'après la loi des actions réciproques (troisième loi de Newton), par deux forces opposées. La constante k, appelée constante de raideur du ressort, s'exprime en N.m-1 ou en kg.s-2. La force La force R = kl = k (l – l0) La période propre T0 d'un pendule élastique a pour expression T0 =

Le système étudié est le mobile, de masse m et de centre d'inertie G, dans le référentiel terrestre considéré galiléen. Le mobile est soumis à trois forces - son poids , vertical et orienté vers le bas, de valeur P = mg - la réaction verticale du rail à coussin d'air, verticale et orientée vers le haut, qui compense exactement le poids P du mobile en l’absence de frottements ; - la force de rappel du ressort unique équivalent, dirigée selon l'axe du système, égale à – k.x. En appliquant La deuxième loi de Newton au système, on obtient or donc soit Au cours des oscillations libres du pendule, l'écart à l'équilibre x du centre d'inertie du mobile vérifie l'équation différentielle du deuxième ordre Si on ne néglige pas les frottements, l’équation devient : où 0 et  désignent respectivement la pulsation propre et le coefficient d'amortissement. 0 et  sont deux constantes positives caractéristiques du système, ces deux constantes s'expriment en rad.s-1. Pour le pendule :

3- Dissipation d’énergie Si on fixe sur le mobile une plaque de masse négligeable qui frotte dans l’air, l’amplitude des oscillations décroît d'autant plus rapidement que les frottements sont importants Le mouvement est pseudo périodique. La pseudo-période T est supérieure à la période propre T0. Lorsque les frottements augmentent, le nombre d'oscillations diminue. Puis, à partir d'une certaine valeur, le mobile revient dans sa position d'équilibre sans osciller : le régime est apériodique. Les frottements amortissent les oscillations. La pseudo période T du mouvement amorti tend vers la période propre T0 du pendule lorsque les frottements diminuent. Un oscillateur harmonique amorti est caractérisé par la pulsation 0 et le coefficient d'amortissement  Considérons un système amorti évoluant en régime pseudo-périodique ( < 0) de pseudo-période T1. Désignons par E(tn) l'énergie totale de cet oscillateur à un instant tn correspondant à un extrémum des oscillations et par E = E(tn + T1) - E(tn) l'énergie dissipée par l'oscillateur entre les instants tn et tn + T1. L'instant tn Dans le cas de l'amortissement très faible ( << 0) : Dans ce cas, les deux définitions du facteur de qualité et sont très peu différentes et la perte d'énergie en valeur relative s'écrit Plus le facteur de qualité est grand, moins le système dissipe de l'énergie.

IV. Définition et mesure du temps Les phénomènes astronomiques périodiques servent de référence à la mesure du jour et de l'année depuis la Préhistoire. Alors que les systèmes mécaniques oscillants subissent des phénomènes dissipatifs, le quartz vibre toujours quasi rigoureusement à la même fréquence (32768 Hz) lorsqu'il est traversé par un courant. L'horloge atomique de référence est celle au césium. La fréquence étalon est la fréquence stable du rayonnement qui accompagne la transition entre deux niveaux d'énergie, parfaitement connue, de l'atome de césium telle que E = h. La seconde est actuellement définie comme la durée d'exactement 9 192 631 770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre deux niveaux particuliers de l'atome de césium 133. Cette transition est facilement réalisable et très stable. L'atome ne s'use pas : il est donc judicieux d'utiliser des horloges atomiques pour mesurer le temps. Le temps atomique international (TAI) est établi en effectuant la moyenne des informations provenant de plusieurs centaines d'horloges atomiques réparties en différents endroits du globe Le temps légal, utilisé dans tous les pays et nommé UTC (temps universel coordonné), découle du TAI mais s'oblige à maintenir une cohérence avec l'alternance des jours et des nuits, en effectuant des correctifs au besoin (pour que midi reste au milieu de la journée et minuit, au milieu de la nuit).