Structures de données IFT-2000 Abder Alikacem Semaine 14 Les algorithmes de tri Édition septembre 2009 Département d’informatique et de génie logiciel

Plan Définitions et propriétés 01/04/2017 Plan Définitions et propriétés Les algorithmes de tri simples et leur complexité Les algorithmes de tri complexes et leur complexité Le tri rapide (QuickSort) Le tri-fusion (MergeSort) Le tri par arbre (TreeSort) Le tri par monceau (HeapSort)

Traitement de données triées Le traitement de données déjà triées est plus rapide. Nécessaire pour le traitement séquentiel d’intervalles. Il faut trier des données à bas coût ! nb de comparaisons nb de déplacements d’éléments espace mémoire requis

Tri selon une relation d’ordre Besoin : attribut de tri (clé) : <nom,…>, <nom,prénom,...> que l’on peut comparer {<,=,>} (c.-à-d.  ordre total) déplacer toute l’information : <clé,...> ou <clé,indirection>, + indirection vers l’information Il faut trier des données à bas coût ! nb de comparaisons nb de déplacements d’éléments espace mémoire requis

Critères d'analyse Complexité en temps : 2 critères de base nombre de comparaisons entre clés nombre de transferts (ou d’échanges) d'éléments Complexité en place mémoire : nécessaire au tri tri sur place (in situ) : en O(1) tri à côté : en O(n) tri récursif : utilise une pile Stabilité conserve l'ordre originel pour éléments de clés égales Progressivité à l'étape k trie les k premiers éléments de la liste Configuration particulière des données : aléatoires, triées, inversées, égales, presque triées

Critères d'analyse Meilleur cas: tableau déjà trié Cas moyen: tableau aléatoire Pire cas: tableau trié à l’envers 1 3 5 7 9 10 13 18 21 25 7 10 21 9 1 25 18 3 5 13 25 21 18 13 10 9 7 5 3 1

Les algorithme de tri Les algorithmes de tri «classiques»: Tris élémentaires tri insertion; tri sélection; Etc.. Tris dichotomiques tri rapide (Quick Sort); tri fusion; Tris par structure tri par arbre (Tree Sort); tri par monceau (Heap Sort) tri pigeonnier (Pigeon Hole). tri basique Tri aléatoire … et le Bogo tri

Méthodes simples de tri Intérêts pédagogiques (terminologie et mécanismes fondamentaux) Tris simples plus efficaces sur des petites listes (moins de 50 éléments) sur des listes presque triées sur des listes contenant un grand nombre de clés égales Certains tris complexes sont améliorés en faisant appel à des tris simples sur une partie des données

Tris simples Algorithme#1 : insérer chacun des n éléments à la bonne place dans le tableau créé jusqu’ici Tri par insertion : 44,55,12,42,94,18,06,67

Tris simples tri par insertion : 44,55,12,42,94,18,06,67

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Tris simples tri par insertion : 44,55,12,42,94,18,06,67 44 44,55 12,44,55 12,42,44,55 12,42,44,55,94 12,18,42,44,55,94

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Tris simples tri par insertion : 44,55,12,42,94,18,06,67 44 44,55 12,44,55 12,42,44,55 12,42,44,55,94 12,18,42,44,55,94 06,12,18,42,44,55,94 06,12,18,42,44,55,67,94

Tris simples Tri par insertion template < typename T> void TriInsertion(vector<T>& Tableau, int n) { int j; T Tmp; for (int i=1;i<n; i++ ) //Placer l'element courant dans la variable tampon Tmp = Tableau[i]; j=i; //Tant que la position d'insertion n'est pas atteinte... while ( (--j>=0) && (Tmp<Tableau[j]) ) Tableau[j+1]=Tableau[j]; Tableau[j+1]=Tmp; }

Tris simples Tri par insertion insérer chacun des n éléments à la bonne place dans le tableau créé jusqu’ici Meilleur cas : séquence triée nb de comparaisons ? nb de déplacements ? Pire cas : séquence triée inverse tri stable? tri in situ? progressif?

Tris simples tri stable? tri in situ? progressif? Tri par insertion : insérer chacun des n éléments à la bonne place dans le tableau créé jusqu’ici … Meilleur cas : séquence triée nb de comparaisons ? O(n) O(n log n) nb de déplacements ? O(1) Pire cas : séquence triée inverse nb de comparaisons ? O(n2) O(n log n) nb de déplacements ? O(n2) tri stable? tri in situ? progressif?

Tris simples Tri par insertion dichotomique : Idée au lieu de parcourir les i premiers éléments triés pour faire l'insertion du i + 1 ième, rechercher la place où insère par dichotomie. Complexité nb de transferts est identique à celui de l'insertion séquentielle O(n2) dans le pire des cas et en moyenne nb de comparaisons en O(n log n) (au pire et en moyenne) En pratique : n'améliore pas vraiment les performances

Tris simples Tri shell, Donald Shell Une variante du tri par insertion Lenteur du tri par insertion les échanges ne portent que sur des voisins si le plus petit élément est à la fin il faut n étapes pour le placer définitivement Principe du tri shell éliminer les plus grands désordres pour abréger le travail aux étapes suivantes Idée ordonner des séries d'éléments éloignés de h, h prenant de valeurs de plus en plus petites (jusqu'à 1) Exemple (suite déterminée empiriquement) hn = (1093, 384, 121, 40, 13, 4, 1) Hn+1 = 3 hn +1

Tri shell template <typename T> void triShell(vector<T> & Tableau, int n) { … while (p <= n) p = (3 * p) + 1; } while (p > 0) …. p = p/3;

Tris simples Tri shell tri stable? tri in situ? progressif? On a démontré que la complexité dans le pire des cas est O(n3/2 ). En choisissant pour suite d'incréments 1, 3, 7, 15, 31 ( hi+1 = 2hi + 1) on obtient expérimentalement une complexité en O(n1,2 ). Très efficace jusqu'à 5000 éléments que les données soient aléatoires, triées ou en ordre inverse, code facile et compact, conseillé quand on n'a aucune raison d'en choisir un autre. tri stable? tri in situ? progressif?

Tris simples Algorithme#2 remplir les cases de 1 à n avec le minimum des éléments du tableau restant

Tris simples 2 6 7 8 3 9 1 10 11 5 12 4 MIN Algorithme#2 échange reste à classer MIN échange Recherche du minimum par balayage séquentiel

Tris simples Tri par sélection : 44,55,12,42,94,18,06,67 Algorithme : remplir les cases de 1 à n avec le minimum des éléments du tableau restant

Tris simples tri par sélection : 44,55,12,42,94,18,06,67

Tris simples tri par sélection : 44,55,12,42,94,18,06,67

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Tris simples Tri par sélection template<typename T> void TriSelection( vector<T>& Tableau, int n) { int min; T Tmp; for (int i=0 ; i<n-1 ; i++ ) { //Recherche de l'indice du plus petit element min = i; for (int j=i+1 ; j<n ; j++ ) { if ( Tableau[j]<Tableau[min] ) min = j; } //Permutation des elements Tmp = Tableau[i]; Tableau[i] = Tableau[min]; Tableau[min] = Tmp;

Tri par sélection tri in situ? progressif? Tri sélection remplir les cases de 1 à n avec le minimum des éléments du tableau restant Meilleur cas : séquence triée nb de comparaisons ? nb de déplacements ? Pire cas : séquence triée inverse tri in situ? progressif? Stable? 21,17,21,5,2,9,2,7

Tris simples tri in situ ? progressif ? stable ? Tri par sélection remplir les cases de 1 à n avec le minimum des éléments du tableau restant Meilleur cas : séquence triée nb de comparaisons ? O(n2) nb de déplacements ? O(1) Pire cas : séquence triée inverse nb de déplacements ? O(n) tri in situ ? progressif ? stable ? Stable? 21,17,21,5,2,9,2,7

Tris simples Tri par sélection stable ? 21,17,21,5,2,9,2,7

Tris simples Algorithme#3 remonter les plus petites valeurs à la surface, et ce, à chaque itération Les balayages 1 4 2 3 5 5 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 peuvent être éliminés

Tris simples Tri à bulles (« Bubblesort ») 44,55,12,42,94,18,06,67 Algorithme : remonter les plus petites bulles à la surface, et ce, à chaque itération

Tris simples tri à bulles (« Bubblesort ») : 44,55,12,42,94,18,06,67

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Tris simples tri à bulles (« Bubblesort ») : 44,55,12,42,94,18,06,67 06,44,55,12,42,94,18,67 06,44,55,12,18,42,94,67 06,12,44,55,18,42,94,67 06,12,44,55,18,42,67,94 06,12,18,44,55,42,67,94

Tris simples tri à bulles (« Bubblesort ») : 44,55,12,42,94,18,06,67 06,44,55,12,42,94,18,67 06,44,55,12,18,42,94,67 06,12,44,55,18,42,94,67 06,12,44,55,18,42,67,94 06,12,18,44,55,42,67,94

Tris simples tri à bulles (« Bubblesort ») : 44,55,12,42,94,18,06,67 06,44,55,12,42,94,18,67 06,44,55,12,18,42,94,67 06,12,44,55,18,42,94,67 06,12,44,55,18,42,67,94 06,12,18,44,55,42,67,94 06,12,18,42,44,55,67,94

Tris simples tri à bulles (« Bubblesort ») : 44,55,12,42,94,18,06,67 06,44,55,12,42,94,18,67 06,44,55,12,18,42,94,67 06,12,44,55,18,42,94,67 06,12,44,55,18,42,67,94 06,12,18,44,55,42,67,94 06,12,18,42,44,55,67,94

Tris simples tri à bulles (« Bubblesort ») : 44,55,12,42,94,18,06,67 06,44,55,12,42,94,18,67 06,44,55,12,18,42,94,67 06,12,44,55,18,42,94,67 06,12,44,55,18,42,67,94 06,12,18,44,55,42,67,94 06,12,18,42,44,55,67,94

Tris simples Tri à bulles (« Bubblesort ») template<typename T> void TriBulle(vector<T>& Tableau, int n) { T Tmp; for (int i=0; i<n-1; i++) for (int j=n-1; j>i; j--) if ( Tableau[j-1]> Tableau[j]) Tmp = Tableau[j-1]; Tableau[j-1] = Tableau[j]; Tableau[j] = Tmp; }

Tri à bulles Tri à bulles (« Bubblesort ») remonter les plus petites bulles à la surface, et ce, à chaque itération Meilleur cas : séquence triée nb de comparaisons ? nb de déplacements ? Pire cas : séquence triée inverse tri stable? tri in situ? progressif?

Tris simples Tri à bulles (« Bubblesort ») remonter les plus petites bulles à la surface, et ce, à chaque itération Meilleur cas : séquence triée nb de comparaisons ? O(n2) nb de déplacements ? O(1) Pire cas : séquence triée inverse nb de déplacements ? O(n2) tri stable? tri in situ? progressif?

Tris simples Tri à bulles (« Bubblesort ») Première amélioration Une première amélioration consiste à arrêter le processus s'il n'y a aucun échange dans une passe. Deuxième amélioration : ShakerSort Une deuxième amélioration consiste à alterner le sens des passes. Troisième amélioration Une troisième qui consiste à reprendre au début chaque fois qu’il y a une permutation.

Tris simples Complexité Sauf tri shell en temps : en O(n2) en moyenne et au pire des cas en nombre de transferts ou en nombre de comparaisons en O(n²). en espace : en O(1) (tris sur place) Sauf tri shell ne conviennent pas pour un nombre important de données Faciles à comprendre et à mettre en œuvre

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») Tri dichotomique appelé aussi tri des bijoutiers Idée : trier les perles avec des tamis plus ou moins fins pour chaque tamis on sépare les perles en deux sous-ensembles (celles qui passent et celles qui restent dans le tamis) puis on trie celles qui sont passées avec un tamis plus fin et les autres avec un tamis plus gros

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 44,55,12,42,94,18,06,67 Algorithme choisir un pivot p (élément médian) partager le tableau en 2 : sous-tableau de gauche : éléments ≤ p sous-tableau de droite : éléments > p l’élément entre les 2 le pivot est à sa place définitive appel récursif avec le sous-tableau de gauche appel récursif avec le sous-tableau de droite

Tris complexes 3 2 4 1 7 6 TRI ³ 3 < 3 Tri rapide (« Quicksort ») Partage avec pivot = 3 3 2 4 1 7 6 TRI < 3 ³ 3 Suite du tri

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 44,55,12,42,94,18,06,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 44,55,12,42,94,18,06,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 44,55,12,42,94,18,06,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 44,55,12,42,94,18,06,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,55,12,42,94,18,44,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,55,12,42,94,18,44,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,18,12,42,94,55,44,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,18,12,42,94,55,44,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,18,12,42,94,55,44,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,18,12,42,94,55,44,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,18,12,42,94,55,44,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,18,12,42,94,55,44,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,18,12,42,94,55,44,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,94,55,44,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,94,55,44,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,94,55,44,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,94,55,44,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,94,55,44,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,94,55,44,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,94,55,44,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,94,55,44,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,94,55,44,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,94,55,44,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,44,55,94,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,44,55,94,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,44,55,94,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,44,55,94,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,44,55,94,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,44,55,94,67

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,44,55,67,94

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,44,55,67,94

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,44,55,67,94

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,44,55,67,94

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») 06,12,18,42,44,55,67,94

Tris complexes tri rapide (« Quicksort ») : 06,12,18,42,44,55,67,94 Meilleur cas : nb de comparaisons ? nb de déplacements ? Pire cas : tri stable ? tri in situ ? progressive?

Tris complexes tri rapide (« Quicksort ») : 06,12,18,42,44,55,67,94 Meilleur cas : pivot = médiane nb de comparaisons ? nb de déplacements ? Pire cas :

Tris complexes tri rapide (« Quicksort ») : 06,12,18,42,44,55,67,94 n/2 n/2 Meilleur cas : pivot = médiane nb de comparaisons ? nb de déplacements ? Pire cas :

Tris complexes tri rapide (« Quicksort ») : 06,12,18,42,44,55,67,94 n/2 n/2 Meilleur cas : pivot = médiane nb de comparaisons ? nb de déplacements ? Pire cas : n/4 n/4 n/4 n/4

Tris complexes tri rapide (« Quicksort ») : 06,12,18,42,44,55,67,94 n/2 n/2 Meilleur cas : pivot = médiane nb de comparaisons ? O(n log n) nb de déplacements ? Pire cas : nb de comparaisons ? n/4 n/4 n/4 n/4

Tris complexes tri rapide (« Quicksort ») : 06,12,18,42,44,55,67,94 n/2 n/2 Meilleur cas : pivot = médiane nb de comparaisons ? O(n log n) nb de déplacements ? O(1) Pire cas : nb de comparaisons ? nb de déplacements ? n/4 n/4 n/4 n/4

Tris complexes tri rapide (« Quicksort ») : 06,12,18,42,44,55,67,94 Meilleur cas : pivot = médiane nb de comparaisons ? O(n log n) nb de déplacements ? O(1) Pire cas : nb de comparaisons ? nb de déplacements ?

Tris complexes tri rapide (« Quicksort ») : 06,12,18,42,44,55,67,94 Meilleur cas : pivot = médiane nb de comparaisons ? O(n log n) nb de déplacements ? O(1) Pire cas : pivot = min. ou max. nb de comparaisons ? nb de déplacements ?

Tris complexes tri rapide (« Quicksort ») : 06,12,18,42,44,55,67,94 n-1 Meilleur cas : pivot = médiane nb de comparaisons ? O(n log n) nb de déplacements ? O(1) Pire cas : pivot = min. ou max. nb de comparaisons ? nb de déplacements ?

Tris complexes tri rapide (« Quicksort ») : 06,12,18,42,44,55,67,94 n-1 Meilleur cas : pivot = médiane nb de comparaisons ? O(n log n) nb de déplacements ? O(1) Pire cas : pivot = min. ou max. nb de comparaisons ? nb de déplacements ? n-2

Tris complexes tri rapide (« Quicksort ») : 06,12,18,42,44,55,67,94 n-1 Meilleur cas : pivot = médiane nb de comparaisons ? O(n log n) nb de déplacements ? O(1) Pire cas : pivot = min. ou max. nb de comparaisons ? nb de déplacements ? n-2 n-3

Tris complexes tri rapide (« Quicksort ») : 06,12,18,42,44,55,67,94 n-1 Meilleur cas : pivot = médiane nb de comparaisons ? O(n log n) nb de déplacements ? O(1) Pire cas : pivot = min. ou max. nb de comparaisons ? nb de déplacements ? n-2 n-3 n-4

Tris complexes tri rapide (« Quicksort ») : 06,12,18,42,44,55,67,94 n-1 Meilleur cas : pivot = médiane nb de comparaisons ? O(n log n) nb de déplacements ? O(1) Pire cas : pivot = min. ou max. nb de comparaisons ? O(n2) nb de déplacements ? n-2 n-3 n-4

Tris complexes tri rapide (« Quicksort ») : 06,12,18,42,44,55,67,94 n-1 Meilleur cas : pivot = médiane nb de comparaisons ? O(n log n) nb de déplacements ? O(1) Pire cas : pivot = min. ou max. nb de comparaisons ? O(n2) nb de déplacements ? O(n2) n-2 n-3 n-4

Problèmes du « Quicksort » Algorithme récursif : taille de la pile = ? meilleur cas : pire cas : en moyenne :

Problèmes du « Quicksort » Algorithme récursif : taille de la pile = ? meilleur cas : O(log n) pire cas : en moyenne :

Problèmes du « Quicksort » Algorithme récursif : taille de la pile = ? meilleur cas : O(log n) pire cas : O(n) en moyenne :

Problèmes du « Quicksort » Algorithme récursif : taille de la pile = ? meilleur cas : O(log n) pire cas : O(n) en moyenne : O(log n)

Problèmes du « Quicksort » Algorithme récursif : taille de la pile = ? meilleur cas : O(log n) pire cas : O(n) en moyenne : O(log n) Comment faire pour minimiser la taille de la pile ?

Problèmes du « Quicksort » Algorithme récursif : taille de la pile = ? meilleur cas : O(log n) pire cas : O(n) en moyenne : O(log n) Comment faire pour minimiser la taille de la pile ? empiler toujours le plus grand des 2 sous-tableaux O(1) ≤ taille de la pile ≤ O(log n) plutôt que : O(1) ≤ taille de la pile ≤ O(n)

Problèmes du « Quicksort » Algorithme récursif taille de la pile = ? meilleur cas : O(log n) pire cas : O(n) en moyenne : O(log n) Comment faire pour minimiser la taille de la pile ? empiler toujours de sous-tableaux de taille optimum Tout dépend du choix du pivot du pire cas : O(n2) au meilleur cas : O(n log n) Comment choisir un bon pivot ?

Problèmes du « Quicksort » Choix du pivot : du pire cas : O(n2) au meilleur cas : O(n log n) Comment choisir un bon pivot ? la solution idéale est de trouver à chaque fois la valeur médiane du sous-tableau à trier, mais sa recherche précise rend le tri plus lent que sans elle. Une solution quelquefois utilisée est de prendre par exemple trois valeurs, pour en prendre la valeur médiane, par exemple tab[droite], tab[gauche] et tab[(droite+gauche)/2] (dans le cas d'un tableau parfaitement mélangé, le choix de trois positions n'a pas d'importance, mais dans des tableaux presque triés le choix ci-dessus est plus judicieux). La totalité de ces améliorations peut apporter un gain de l'ordre de 20% par rapport à la version de base.

Problèmes du « Quicksort » Attention aux bornes : 06,18,12,42,94,55,44,67

Problèmes du « Quicksort » Attention aux bornes : 06,12,18,42,94,55,44,67

Problèmes du « Quicksort » Attention aux bornes : 06,12,18,42,94,55,44,67

Problèmes du « Quicksort » Attention aux bornes : 06,12,18,42,94,55,44,67 Choix du pivot : du pire cas : O(n2) au meilleur cas : O(n log n) Comment choisir un bon pivot ? Attention aux constantes cachées : O(n log n) n doit être grand !!! tri doit être in situ !

Mais… Très bien compris, étudié tant au niveau théorique qu’expérimental. Très bonnes performances s'il est optimisé dérécursivé tri par insertion sur les petites listes

Ce qu’il faut retenir de ce tri: Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») Ce qu’il faut retenir de ce tri: Meilleur cas : pivot = médiane nb de comparaisons ? O(n log n) nb de déplacements ? O(1) En moyenne nb de déplacements ? O(n log n) Pire cas : pivot = min. ou max. nb de comparaisons ? O(n2) nb de déplacements ? O(n2) tri stable? tri in situ? progressif?

Tris complexes template <typename T> Tri rapide (« Quicksort ») template <typename T> void QuickSort(vector<T>& tableau, int inf, int sup) { int milieu; if (sup>inf) // s'il y a au moins 2 éléments milieu = Partition(tableau, inf, sup); // trier la partie de gauche QuickSort(tableau, inf, milieu); // trier la partie de droite QuickSort(tableau, milieu+1, sup); }

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») template <typename T> int Partition(vector<T>& tableau, int inf, int sup) { T pivot, tempo; int i,j; pivot = tableau[(sup+inf)/2]; i = inf-1; j = sup+1; // Suite a la page suivante

Tris complexes Tri rapide (« Quicksort ») while ( i<j ) // tant que les index ne croisent pas { // conserver les éléments plus petits ou égaux //au pivot à sa gauche do { i++; } while (tableau[i]<pivot); // conserver les éléments plus grands ou //égaux au pivot à sa droite { j--; } while (tableau[j]>pivot); // Permuter les éléments qui ne sont pas // à leur place if ( i<j) { tempo = tableau[i]; tableau[i]= tableau[j]; tableau[j]= tempo; } return j; }

Tris complexes Tri par fusion Diviser Diviser la séquence de n éléments à trier en 2 sous-séquences de taille n/2 Régner Trier les 2 sous-séquences Combiner Fusionner les 2 sous-séquences triées

Tri par fusion

t1 Trié t2 Trié 1 n 1 m t3 Trié 1 n+m template <typename T> void triFusion(T * t, int debut, int fin) { if(debut<fin) int milieu=(debut+fin)/2; triFusion(t, debut, milieu); triFusion(t, milieu+1, fin); fusionner(t, debut, milieu, fin); }

void fusionner(T * t, int debut, int milieu, int fin) { int i1=debut; // indice courant dans t[debut..milieu] int i2=milieu+1; // indice courant dans t[milieu+1..fin] int i3=0; // indice courant dans t3 (tableau auxiliaire) T *t3; // tableau auxiliaire dynamique de longueur fin-debut+1 t3= new T[fin-debut+1]; while((i1<=milieu)&&(i2<=fin)) { if(t[i1]<t[i2]) { t3[i3]=t[i1]; i1++;} else { t3[i3]=t[i2]; i2++; } i3++; } if(i1>milieu) // on a epuisé t[debut..milieu] for(;i2<=fin;i2++,i3++) t3[i3]=t[i2]; else // on a epuisé t[milieu+1..fin] for(;i1<=milieu;i1++,i3++) t3[i3]=t[i1]; // il faut transférer t3 à sa place dans t for(i1=0;i1<i3;i1++) { t[i1+debut]=t3[i1]; } delete [] t3;

Tris complexes Tri par fusion Stabilité? in situ? Progressivité? Comparaison avec le tri QuickSort Stabilité? in situ? Progressivité? Complexité?

Tris complexes Tri par arbre (« Treesort ») 44,55,12,42,94,18,06,67 Algorithme utiliser une structure d’arbre pour trier la séquence de clés faire un nouvel arbre ? O(n log n) mais n nouveaux éléments + ptrs : trop d’espace !!!

Tris complexes 44 55 12 42 18 06 67 94 Tri par arbre (« Treesort ») utiliser une structure d’arbre pour trier la séquence de clés utiliser les éléments de base comme feuilles 44 55 12 42 18 06 67 94

Tris complexes 44 12 06 18 44 55 12 42 18 06 67 94

Tris complexes 12 06 44 12 06 18 44 55 12 42 18 06 67 94

Tris complexes 06 12 06 44 12 06 18 44 55 12 42 18 06 67 94

Tris complexes 44 55 12 42 18 06 67 94

Tris complexes 44 55 12 42 18  67 94

Tris complexes 44 55 12 42 18  67 94

Tris complexes 44 55  42 18 67 94

Tris complexes 44 55  42 18 67 94

Tris complexes 44 55  42 18 67 94

Tris complexes Tri par arbre (« Heapsort ») 44,55,12,42,94,18,06,67 Algorithme bâtir une structure d’arbre sur place hi  h2i hi  h2i+1 structure appelée « monceau » (« heap »)

Tris complexes Monceau - définition Un arbre complet tel que pour chaque noeud N dont le parent est P, la clé de P est plus grande que celle de N Normalement implémenté dans un tableau Insertion et retrait sont O(log N) dans le pire cas Insertion est O(1) en moyenne Recherche du plus petit élément est O(1) dans le pire cas

Tris complexes 44 55 94 42 67 12 18 06 Tri par arbre (« Heapsort ») 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 44 55 94 42 67 12 18 06 Création du monceau 2 3 4 5 6 7

Tris complexes 44 55 94 42 67 12 18 06 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 44 55 94 67 42 12 18 06 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 44 55 94 67 42 12 18 06 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 44 55 94 67 42 12 18 06 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 44 55 94 67 42 18 12 06 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 44 55 94 67 42 18 12 06 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 44 94 55 67 42 18 12 06 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 44 94 55 67 42 18 12 06 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 94 44 55 67 42 18 12 06 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 94 67 55 44 42 18 12 06 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 94 67 55 44 42 18 12 06 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes Monceaux dans la STL Fonction pour créer un monceau: make_heap(Iterator deb, Iterator fin) Fonctions pour insérer et retirer un élément push_heap(Iterator deb, Iterator fin) pop_heap(Iterator deb, Iterator fin) Toutes ces fonctions ont une seconde version avec un troisième argument qui est un prédicat qui permet de redéfinir l’opérateur de comparaison utilisé Note: l’itérateur doit être un itérateur à accès direct, ce qui limite les possibilités de conteneurs (vector et deque)

Tris complexes Monceaux dans la STL Il existe aussi un adaptateur priority_queue On peut choisir le type de conteneur et de fonction de comparaison Offre les fonctions suivantes: push() top() pop() Voir les exemples fournis en annexe (MonceauSTL.cpp)

Tris complexes Tri par monceau – Principe La procédure est la suivante: On met dans le tableau les n valeurs à trier On crée le monceau initial (de type Parent > Fils) On retire la racine du monceau (qui est la plus grande valeur) et on la permute avec le dernier item du monceau On rétablit le monceau avec les (n-1) valeurs, s’il y a lieu On répète le processus avec le monceau obtenu qui contient maintenant un élément de moins

Tris complexes Le tri 94 67 55 44 42 18 12 06 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 42 67 55 44 94 18 12 06 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 42 67 55 44 94 18 12 06 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 42 67 55 44 94 18 12 06 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 67 42 55 44 94 18 12 06 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 67 55 42 44 94 18 12 06 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 67 55 42 44 94 18 12 06 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 06 55 42 44 94 18 12 67 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 55 06 42 44 94 18 12 67 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 55 44 42 06 94 18 12 67 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 55 44 42 06 94 18 12 67 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 12 44 42 06 94 18 55 67 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 44 12 42 06 94 18 55 67 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 44 42 12 06 94 18 55 67 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 44 42 12 06 94 18 55 67 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 12 42 44 06 94 18 55 67 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 42 12 44 06 94 18 55 67 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 42 12 44 06 94 18 55 67 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 06 12 44 42 94 18 55 67 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 18 12 44 42 94 06 55 67 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 18 12 44 42 94 06 55 67 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 06 12 44 42 94 18 55 67 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 12 06 44 42 94 18 55 67 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 12 06 44 42 94 18 55 67 2 3 4 5 6 7 8 1

Tris complexes 06 12 44 42 94 18 55 67 2 3 4 5 6 7 8 1

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Tris complexes « Heapsort » Algorithme complexité ? stabilité in situ créer le monceau en descendant les clés trier en échangeant le maximum et le dernier + redescendre complexité ? stabilité in situ progressivité

Tris complexes stabilité in situ progressivité « Heapsort » Algorithme créer le monceau en descendant les clés trier en échangeant le maximum et le dernier + redescendre complexité ? O(n log n) en tout temps! aucun espace additionnel requis !!! stabilité in situ progressivité

Quicksort, tri-fusion versus Heapsort Stabilité? in situ? Progressivité? En moyenne, Quicksort a de meilleurs constantes cachées que le tri-fusion et le Heapsort (par évaluations empiriques)

Conclusion Quelques comparaisons Doit-on toujours trier complètement ? tri par tas (monceau): meilleure complexité tri rapide et tri fusion: efficaces tri par insertion excellent si liste initiale presque triée et tri par sélection donne le début de liste trié avant la fin du tri tri par insertion peut débuter sans liste initiale complète Doit-on toujours trier complètement ?

Conclusion Autres tris Si le tableau contient un grand nombre de valeurs similaires: algorithme par comptage ou tri par pigeonnier. Aucun tri qui compare des clefs peut s’exécuter en moins de temps que O(n lg n) D’autres algorithmes peuvent se faire plus rapidement mais ils ne comparent des clefs et ils fonctionnent dans des conditions particulières. Le tri par pigeonnier est un de ces cas. Il fait l’hypothèses que les clefs à trier sont des entiers entre 1 et R (rang) On l'appelle également le tri par comptage (Counting sort en anglais) c'est l'algorithme LE PLUS performant en terme d'utilisation CPU.

Tri par pigeonnier Tableau E 1 6 3 6 Tableau U 1 2 3 4 5 6 1 3 6 6

Tri par pigeonnier 1 6 3 6 1 1 2 1 3 6 6

Tri par pigeonnier Complexité temporel? Complexité spatiale? TriPigeonnier(T[1..n]) pour k <- 1 à rang U[k] <- 0 pour i <- 1 à n k <- T[i] U[k] <- U[k] + 1 Complexité temporel? i <- 0 pour k <- 1 à rang Complexité spatiale? tant que U[k] ¹0 i <- i+1 T[i] <- k U[k] = U[k] - 1

Complexité spatiale: O(n+rang) Complexité temporelle: O(n+rang)) si Tri par pigeonnier TriPigeonnier(T[1..n]) pour k <- 1 à rang U[k] <- 0 Complexité spatiale: O(n+rang) pour i <- 1 à n k <- T[i] Complexité temporelle: O(n+rang)) si aucun doublon U[k] <- U[k] + 1 i <- 0 pour k <- 1 à rang tant que U[k] ¹0 i <- i+1 T[i] <- k U[k] = U[k] - 1

Tri par pigeonnier Cependant de GROS inconvénients :   1) Si l'écart entre la valeur min et la valeur max de ton tableau initial est énorme, le tableau de distribution sera lui aussi énorme => complexité mémoire TROP importante.   2) Aucune comparaison n'est faite entre les valeurs => impossible de rendre ce tri GENERIQUE s'appliquant à tout type de données (par exemple trier un tableau de structure)car aucune fonction de comparaison n'est utilisée.   Ce type de tri est donc réservé que dans cas bien précis connue de l'utilisateur: par exemple en imagerie, trié un tableau contenant les différents niveau de gris d'une image : les valeurs seront comprises entre 0 et 255 => le tableau de distribution sera petit, le tri sera en un temps linéaire.

Tri pigeonnier Le meilleur quand: peu de valeurs possibles pour les clés et/ou enregistrements petits ou réduits à la clé pas de collisions Dans les deux derniers cas, il existe des implémentations très simples. Impraticable dans tous les autres cas mémoire occupée en N + R.

Tri basique n=10 L = (26, 9, 0, 25, 1, 29, 64, 16, 81, 4) après 1 Dans la cas où les clefs sont bornées (c'est à dire comprises entre un minimum et un maximum connus à l'avance) et en nombre fini: algorithme de tri basique (tri par bacs). n=10 L = (26, 9, 0, 25, 1, 29, 64, 16, 81, 4) après 1 (0, 1, 81 ,64 ,4 ,25, 26, 16, 9, 29) après 2 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 26, 29, 64, 81)

Tri basique Classer L = (a1, …, an) clés Î (0, 1, 2, ..., n2 -1) Tri en O(nxnbChiffresMax). Exemple: nbChiffreMax = 2 1. tri par bacs avec clé : clé(ai) mod n 2. tri par bacs avec clé : ë clé(ai) / n û Équivalent à un tri lexicographique avec la clé (q, r) telle que clé(ai) = q.n + r n=10 L = (26, 9, 0, 25, 1, 29, 64, 16, 81, 4) après 1 (0, 1, 81 ,64 ,4 ,25, 26, 16, 9, 29) après 2 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 26, 29, 64, 81)

Tri basique Pour trier des clefs alphabétiques, on peut effectuer un tri en base 26 Lorsque le tableau est presque trié, il est plus efficace d'effectuer un tri par insertion (passe de finition) plutôt que de répéter le tri basique jusqu'à tri complet.

Le bogo tri! Le bogo tri est basé sur le paradoxe du singe savant . Il s'agit sans nul doute de l'algorithme de tri le plus inefficace jamais créé. Son principe est très simple. Il consiste à permuter aléatoirement les éléments du tableau tant que celui-ci n'est pas trié. Si tous les éléments du tableau sont distincts, la complexité est de O(n * n!). Comme les ordinateurs utilisent des générateurs de nombres pseudo-aléatoires, il se peut que le tri ne se finisse jamais pour un ensemble donné. Variante Le bozo tri est une variante de cet algorithme. Il consiste à choisir aléatoirement 2 éléments et à les échanger. On répète cette opération tant que tous les éléments ne sont pas trié. Tout comme son compatriote, étant donné qu'on utilise des générateurs de nombres pseudo-aléatoires, il se peut que le tri ne se termine jamais.

Le bozo tri triAleatoire (E[0..N[) essais = 0 tant que essais < A 01/04/2017 Le bozo tri triAleatoire (E[0..N[) essais = 0 tant que essais < A i = indice aléatoire dans [0..N-1[ j = indice aléatoire dans ]i..N[ si E [i].cle > E [j].cle permuter(E[i],E[j]), essais = 0 sinon incrémenter essais ne trie pas complètement le tableau. Dans quelle circonstance voudrait-on utiliser le tri aléatoire? Est-ce que le tri aléatoire diminue le degré de désordre?

Le paradoxe du singe savant 01/04/2017 Le paradoxe du singe savant Le paradoxe du singe savant est un théorème selon lequel un singe qui tape au hasard sur le clavier d’une machine à écrire pourra presque sûrement écrire tous les livres de la Bibliothèque nationale de France. Dans l’adaptation du théorème en langue anglaise, le singe pourra presque sûrement dactylographier tous les travaux réunis de William Shakespeare. Le résultat fut présenté par Émile Borel en 1909 dans son livre de probabilités. Ces « singes » ne sont pas des singes réels, et ne se comportent pas comme de vrais singes ; ils sont plutôt une métaphore vivante pour une machine abstraite à produire des lettres dans un ordre aléatoire, par exemple un ordinateur ou un générateur aléatoire connecté à une imprimante.

Les tris dans la STL sort(): 01/04/2017 Les tris dans la STL sort(): Doit garantir un temps moyen dans O(n lg n) Le tri rapide (quicksort) répond à ce critère stable_sort(): Doit garantir O(n lg n) dans le pire cas Peut utiliser de la mémoire supplémentaire Le tri par fusion (mergesort) répond à ce critère partial_sort() Doit permettre le tri partiel Le tri par monceau (heapsort) répond à ce critère

Tri externe 01/04/2017 Tous les tris présentés supposent que toutes les données à trier sont présentes en mémoire centrale. éléments volumineux : pour ne pas avoir à déplacer les éléments trier une liste où le stockage est indirect (tri indirect) on trie une listes de pointeurs sur les éléments trier une liste de couples (clé, référence) si les clés ne sont pas trop grosses Si le nombre d’objets à trier est trop grand: tri externe le fichier est chargé en mémoire par morceaux pb : minimiser les entrées sorties pb algorithmique mais surtout matériel