Graphes : de la pratique à la théorie… Catherine Philippe & Christian Vassard IREM de Rouen groupe arithmétique et groupe statistiques.

Quelques dates

1736…. …problème des ponts de Königsberg, résolu par Euler en 1736 dans Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis, Commetarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae 8 Leonhard Euler (1707-1783)

1852… …À partir d’une lettre de Morgan à Hamilton : Autrement dit : quatre couleurs suffisent-elles à colorier une carte de géographie de façon à ce que deux pays limitrophes ne soient pas coloriés de la même couleur ? Un de mes étudiants m’a demandé de lui expliquer un fait dont je ne savais pas que c’était un fait – et je ne le sais toujours pas. Il dit que si on divise une figure n’importe comment, et qu’on colorie les compartiments de façon que les parties ayant une frontière commune soient de couleurs différentes, quatre couleurs suffisent (…) Si vous voyez une explication simple, je n’aurais plus qu’à faire comme le Sphinx…. Cité dans Bréal page 219. Augustus de Morgan (1806-1871)

En 1857… Hamilton invente un jeu, The icosian game, qu’il commercialise en 1859. Le jeu est constitué d’un dodécaèdre dont les 20 sommets portent le nom d’une grande ville dans le monde. Le but du jeu consistait à trouver un chemin sur les arêtes du dodécaèdre permettant de visiter chaque ville une fois et une fois seulement, en revenant à la ville de départ. En 1857, Hamilton a créé un jeu qu’il a vendu en 1859 à un fabricant de jouet de Dublin. Le jeu était constitué d’un dodécaèdre régulier dont les 20 sommets étaient étiquetés de noms de villes importantes. Le but du jeu était de trouver un cycle le long des côtés de telle sorte que chaque ville soit visitée exactement une fois. Hamilton (1805-1865)

1878… … le mot graphe est introduit pour la première fois par l’anglais J. J. Sylvester (1814-1897) Sylvester a effectivement utilisé le premier les mots de graphe (à partir de ‘graphic formulae’ pour une représentation graphique de molécule chimique). Il a aussi été le premier à utiliser le mot arbre. Il croyait beaucoup en cette nouvelle théorie et il a beaucoup correspondu avec Cayley d’une part mais aussi le danois Petersen.

XXe siècle… La théorie des graphes devient une branche des mathématiques avec les travaux de König, Kuratowski et plus récemment de Berge, Erdös et Harary.

Claude Berge, dans le discours inaugural des Journées internationales d’études de la théorie des graphes (1966), déclare: «Je remercie les deux cent cinquante participants de ce congrès venus si nombreux à Rome pour un sujet qui, il y a dix ans seulement, n’aurait attiré qu’une dizaine de personnes. Étrange évolution que celle de la théorie des graphes, qui se développe par à-coups, sous l’impulsion tour à tour du rôle de l’électricité, de la géométrie des polyèdres, de la théorie des jeux, et surtout maintenant de la recherche opérationnelle et du calcul électronique.»

Parcours du programme en 7 étapes

Point de départ : un peu partout des graphes…

Plan de métro Contenu : graphe, sommet, arête

Un polyèdre convexe ou Contenu : graphe, sommet, arête

Le plan d’une ville, avec ses sens interdits… Contenu : graphe, graphe orienté

Un autre exemple, pris dans le Déclic page 234 Contenu : graphe, graphe orienté

Une carte routière… Contenu : graphe pondéré

En chimie organique Butane… Alanine Contenu : multigraphe

Première étape : modéliser une situation avec des graphes

Nous sommes en 3002. Il existe un transport interplanétaire entre les neuf planètes du système solaire. Des navires spatiaux assurent les liaisons suivantes : Pluton-Vénus, Uranus-Neptune, Terre-Mercure, Jupiter-Mars, Mercure-Vénus, Saturne-Neptune, Terre-Pluton, Saturne-Jupiter, Uranus-Mars, Pluton-Mercure. Peut-on partir de la Terre et arriver sur Mars ? (Bréal page 221)

Contenu : chaîne, graphe connexe

Loup, chèvre, chou Un passeur doit faire traverser une rivière à un loup, une chèvre et un chou, dans une barque si petite qu’il ne peut emporter que l’un d’eux à chaque voyage. Pour des raisons évidentes, il ne peut laisser le loup et la chèvre seuls sur une rive, pas plus que la chèvre et le chou. Comment s’y prend-il ?

Hyperbole page 267

Un exemple d’activité que nous ne trouvons pas très intéressante : activité 1 page 230 Déclic

Ne pas confondre un graphe avec sa représentation. b d c b f a d f c e e

Deuxième étape : échanger des poignées de mains

Dans une réunion de 5 personnes, combien de poignées de mains sont échangées ? On suppose que tout le monde salue tout le monde… Même question avec 35 personnes. Contenu : graphe complet, lemme des poignées de mains

Une personne Une poignée de mains Comptons donc les arêtes de ce graphe…

La somme des degrés des sommets d’un graphe est égale au double du nombre d’arêtes où X est l’ensemble des sommets du graphe et A l’ensemble des arêtes. C’est donc un nombre pair !

Que vous inspire le tableau ci-contre ? Décrypter la structure, trouver la suite. Montrer qu’un graphe n’est pas caractérisé par le nombre de ses sommets avec la liste de leurs degrés.

Graphe numéro G36 Graphe numéro G37 De type (1, 2, 2, 2, 3)

Quelques exercices classiques 1) Est-il possible de relier 15 ordinateurs de sorte que chaque appareil soit relié exactement avec 3 autres ? 2) Montrer que le nombre total de gens qui ont habité la terre et qui ont donné un nombre impair de poignées de mains est pair. 3) Construire un graphe d’ordre 8, ayant 13 arêtes, 2 sommets de degré 5, deux sommets de degré 3, 1 sommet de degré 4 et les trois autres sommets de même degré. Construire un graphe d’ordre 8, ayant 13 arêtes, 2 sommets de degré 4, deux sommets de degré 3 et les quatre autres sommets de même degré pair. (exercice 11 page 241 Déclic) 4) Construire un graphe dont les sommets ont pour degré respectif (4, 4, 5, 5, 5, 5, 6)

Et les coups de pieds aux fesses ? C’est un graphe orienté… Avec des élèves, il peut être intéressant de décrypter la situation… Une flèche peut s’interpréter, soit comme un coup de pied donné, soit comme un coup de pied reçu. d+(Albert) = 3 et d-(Albert) = 1 et d(Albert) = 4. Somme des degrés sortant = somme des degrés entrant = nombre d’arêtes nombre de coups de pieds donnés = nombre de coups de pieds reçus = nombre d’arêtes (orientées)

Troisième étape : représenter un graphe par sa matrice

Matrice d’adjacence d’un graphe simple La matrice est symétrique. La somme des nombres d’une même ligne (ou d’une même colonne) donne le degré du sommet correspondant. La diagonale ne contient que des zéros.

Matrice d’adjacence d’un graphe orienté La matrice n’est plus symétrique. La somme des nombres d’une ligne donne le degré sortant du sommet correspondant ; la somme des nombres d’une colonne donne le degré entrant du sommet correspondant. Ces deux nombres ne sont plus forcément égaux. La trace de la matrice donne le nombre de boucles du graphe.

Quatrième étape : cheminer dans les graphes

Quand elle n’utilise pas plusieurs fois la même arête, la chaîne est dite simple. Une chaîne… Attention, la chaîne ou le cycle peuvent être beaucoup plus tordus que cela… Au sens du programme, un cycle est une chaîne simple qui revient à son point de départ.

Les ponts de Königsberg

Contenu : chaîne, cycle, chaîne et cycle eulériens

Théorème d’Euler 1) Un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degré pair. 2) Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si le nombre de ses sommets de degré impair est 0 ou 2.

Principe de la construction d’un cycle eulérien Premier pas : cycle S1 S2 S4 S3 S1 Deuxième pas : cycle S1 S2 S6 S7 S2 S4 S3 S1 Troisième pas : cycle S1 S2 S6 S7 S5 S1 S7 S2 S4 S3 S1

Les dominos Peut-on aligner tous les dominos d’un jeu ?

Prolongement : à quelle condition un graphe complet admet-il un cycle eulérien ?

Est-il possible de tracer les figures suivantes sans lever le crayon et sans repasser deux fois par le même trait ? Expliquer pourquoi. http://www.ac-bordeaux.fr/Pedagogie/Maths/peda/lyc/graphes.htm

Est-il possible de tracer une courbe, sans lever le crayon, qui coupe chacun des 16 segments de la figure suivante ?

Dénombrement de chaînes en utilisant la matrice d’adjacence Soit le graphe de matrice d’adjacence M. Le nombre de chaînes de longueur p joignant le sommet Si au sommet Sj est égal au coefficient aij, situé à la ie ligne et à la je colonne de M p. Attention aux éléments de la diagonale : Ils dénombrent les chaînes de longueur p qui reviennent à leur point de départ, et non pas les cycles au sens du programme (voir par exemple les exercices 39-40-41 page 244 du Déclic).

Un exemple proposé par Michel Zehler, sur le site de l’académie de la Réunion (http://www.ac-reunion.fr) Ci-dessous est donné le plan d’un parcours de santé : il est constitué de chemins à sens unique et de points de repère, distants les uns des autres de 800 mètres. E désigne l’entrée du parcours et S la sortie. Combien y a-t-il de trajets différents ayant 1,6 Km ? 3,2 Km ? 8 Km ?

Cinquième étape : colorier les graphes

Déclic page 250 Contenu : nombre chromatique

Coloriage d’un graphe complet  = 3  = 2  = 4  = 5 Le nombre chromatique d’un graphe complet est égal à son ordre. Si un graphe contient un sous-graphe complet d’ordre p, alors le nombre chromatique est supérieur ou égal à p. Important

Comment colorier un graphe ? On utilise l’algorithme de Welsh et Powell… Les sommets ont été ordonnés par numéro.

Les sommets ont été ordonnés par numéro…

Les sommets ont été ordonnés par ordre décroissant de leurs degrés Attention, l’algorithme de Welsh-Powell ne donne pas forcément le nombre chromatique…

Notion d’algorithme Un algorithme peut être défini comme un processus, une suite d'instructions permettant la résolution d'un problème donné dans toute sa généralité et en particulier quelle que soient les données du problème. Le terme algorithme tire son origine du nom du mathématicien Al-Khwarizmi, né vers 780 dans la région du Kharezm (d'où son nom d'ailleurs), située au sud de la mer d'Aral, et mort vers 850.

Quelques exemples classiques d’utilisation organisation d’examens ; organisation de conseil de classes (Bréal 59 page 251) ; coloriage de cartes (Bréal 57 page 250) ; incompatibilité d’humeur (Déclic TD4 page 258) ; approvisionnement de chantiers par différentes routes (Déclic 53 page 289).

Sixième étape : pondérer les graphes

Diamètre d’un graphe = la plus grande distance entre deux sommets. Longueur d’une chaîne d’un graphe quelconque = nombre des arêtes qui la constituent. Distance entre deux sommets = longueur de la plus courte chaîne joignant ces sommets. Diamètre d’un graphe = la plus grande distance entre deux sommets. Sur une carte routière : Longueur = nombre d’étapes entre deux villes ; Poids = distance totale entre ces villes. Poids (ou valeur) d’une chaîne d’un graphe pondéré (ou valué) = somme des poids des arêtes qui la constituent.

L’algorithme de Moore permet de déterminer la distance entre deux sommets.

L’algorithme de Dijkstra permet de déterminer une chaîne de poids mimum reliant deux sommets.

Dire deux mots de l’existence de plusieurs chemin de poids minimum. La marque d’un sommet donne la longueur d’une chaîne de poids minimal reliant le point A de départ à ce sommet.

Plusieurs chaînes de poids minimum sont parfois possibles : voir par exemple Déclic numéro 9 page 282.

Septième étape : travailler avec des graphes probabilistes

Etude d’une situation (à partir de l’exercice 36 page 244 du Bréal) On dispose d’une urne rouge contenant une boule rouge et quatre boules noires. On dispose aussi d’une urne noire contenant trois boules rouges et une boule noire. On effectue une suite de tirage d’une boule selon les règles suivantes : 1) le premier tirage a lieu dans l’une des deux urnes choisies au hasard ; 2) après chaque tirage dans une urne, la boule est remise dans la même urne ; 3) après chaque tirage, on tire dans l’urne qui a la couleur de la boule tirée. Modéliser cette situation. Avoir fait les probas et les suites. Les élèves n’arrivent pas la tête vide mais connaissent notamment les arbres. Urne rouge Urne noire

Première idée : l’arbre de probabilité Choix de l’urne Premier tirage Deuxième tirage … 1/5 br br UR 1/5 bn 4/5 UR 3/4 br 4/5 bn UN 1/2 Urne rouge bn 1/4 1/2 1/5 br br UR 3/4 bn 4/5 UN 3/4 br 1/4 bn UN Urne noire bn 1/4

ne tirage (n + 1)e tirage 1/5 br br UR pn bn 4/5 3/4 br qn bn UN bn 1/4 (probabilités conditionnelles) (probabilités simples) On en déduit que :

Si la suite (pn) a une limite p, elle vérifie nécessairement : Ce qui donne p = 15/31 (et donc q = 16/31). Travaillons donc avec pn – 15/31. La relation de récurrence donne : La suite (pn – 15/31) est géométrique de raison – 11/20 : elle converge vers 0, et ce quel que soit le choix de p0.

Deuxième représentation : le graphe probabiliste Deux états possibles : premier état, boule rouge ; deuxième état, boule noire. Quatre probabilités conditionnelles : probabilité d’avoir une boule rouge sachant qu’au tirage précédent, on a eu une boule noire, etc. Un graphe pondéré (le graphe probabiliste) qui visualise cette situation 4/5 1/4 1/5 3/4 La matrice de transition du graphe probabiliste : M = se traduit par :

Problème : comment calculer M n ? À l’aide de la matrice, on peut calculer simplement les probabilités pn et qn et voir comment elles évoluent. Vers quoi cela semble converger… avec une calculatrice. Problème : comment calculer M n ? Le résultat général d’une situation à deux états est au programme (deux démonstrations dans les manuels : par les suites, comme dans notre exemple, ou par le calcul explicite de Mn par la formule du binôme, comme dans le document d’accompagnement.)

La visualisation de la limite peut être faite avec une calculatrice : dans notre exemple, Mn semble avoir pour limite : On démontre que c’est bien la limite en utilisant une des deux méthodes précédemment exposées.

L’état limite est indépendant des probabilités des états initiaux…

Quelques définitions : Matrice stochastique : matrice dont les coefficients sont positifs et dont la somme sur chaque ligne vaut 1. C’est le cas par exemple de la matrice de transition d’un graphe probabiliste. Chaîne de Markov : on les rencontre quand on a affaire à un système qui peut prendre un nombre fini d’états et qui évolue par étapes successives d’un état à un autre. La probabilité qu’à une étape donnée le système soit dans un état ne dépend que l’état précédent. Plus précisément, une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires (Xn), chacune prenant pour valeurs les différents états possibles. Graphe probabiliste : graphe orienté à k sommets, pondéré par des nombres positifs tels que la somme des poids des arêtes sortant de chaque sommet vaut 1. Chacun des poids peut s’interpréter comme une probabilité conditionnelle. A illustrer avec l’exemple des urnes…

Andrei A. MARKOV 1856-1922

Résultat général On considère un graphe probabiliste à k états (numérotés de 1 à k). On appelle M la matrice de transition de ce graphe (mij est la probabilité de passer de l’état i à l’état j) et on suppose que les mij sont tous strictement positifs. On note Pn le vecteur à une ligne et k colonnes donnant les probabilités des k états à l’étape n. 1) La suite (Pn) admet une limite P, indépendamment du vecteur initial P0. 2) La suite (Mn) converge vers une matrice M, dont les k lignes sont identiques, la somme des termes d’une ligne valant 1. 3) P M = P. 4) P M = P. (On dit que P est un état stable de la matrice M)

Remarques sur les puissances de matrice… L’habitude pour calculer la puissance n-ième d’une matrice M (stochastique ou non) est de la réduire en calculant ses valeurs propres c’est-à-dire en cherchant les nombres réels ou complexes tels que : MV = V Si la matrice M est diagonalisable, on peut écrire : donc Et la limite de Dn, et de Mn, est facile à obtenir. Que sait-on des valeurs propres d’une matrice stochastique ? 1 est toujours valeur propre, associée au vecteur propre constitué d’une colonne de 1 ; si les coefficients de la matrice M sont tous strictement positifs, 1 est valeur propre simple et les autres valeurs propres ont un module strictement inférieur à 1. et la limite de Dn est facile à déterminer.

Voir aussi l’exemple de Gérard Grancher… (Kevin et ses retards au lycée) http://www.univ-rouen.fr/upresa6085/Persopage/Grancher/cdm2001.html

       Kévin n’arrive pas toujours à l’heure au lycée : il n’est jamais en retard ou en avance deux jours consécutifs ; s’il était en retard la veille, il sera en avance une fois sur deux ; quand un jour il est en avance, le lendemain Kévin sera en retard une fois sur quatre ; Kévin a la même probabilité d’être en retard, ponctuel ou en avance, quand la veille il était à l’heure.  P      R A 

Questions : Kévin était en avance le jour de la rentrée, que peut-on prévoir pour le troisième jour ? Quand il est en retard, Kévin doit venir chercher un billet de retard auprès du conseiller principal d’éducation. Avec quelle fréquence Kévin visitera le bureau du CPE ? Au troisième retard, un avertissement sera décerné à Kévin. En moyenne, au bout de combien de jours, cet événement se réalisera-t-il ? Jérémie, le copain de Kévin, fréquente lui aussi assez régulièrement le bureau du CPE. Pouvez-vous aider le CPE à estimer la matrice de transition modélisant le comportement de Jérémie ?