Electrocinétique Effets des charges électriques qui sont en mouvement, sans prendre en considération les champs magnétiques créés.

Vecteur densité de courant nq Définitions On appelle vecteur densité de courant le vecteur v est la vitesse à un instant donné d'un porteur de charge q, en un point M où le nombre de porteur de charge par unité de volume est n. rM= nq densité volumique de charges mobiles au point M S'il existe plusieurs porteurs de charge 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Intensité de courant v.dt On appelle intensité de courant I, le flux du vecteur densité de courant à travers une surface S : v.dt Considérons le mouvement des porteurs de charges entre les instants t et t+dt  chaque porteur s'est déplacé de v dt. i S La quantité I dt est le volume du cylindre de base S et de longueur dl . Il représente la quantité de charge mobile dQ contenue dans le cylindre entre les instants t et t+dt : 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Mobilité du porteur de charge Dans un milieu conducteur, le mouvement des porteurs de charge ne peut être provoqué que par un champ électrique E crée par une source externe. Sous l'effet du champ E, les porteurs de charge sont accélérés et atteignent une vitesse moyenne limite v qui dépend du milieu conducteur et du champ E. La direction de la vitesse limite v est celle de du champ: m est appelée mobilité du porteur de charge. Comme chaque porteur de charge a la vitesse vk, alors la densité de courant s'écrit: 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Conductivité. Forme locale de la loi d'Ohm Forme locale de la loi d'Ohm; s s'exprime en (Wm)-1 la résistivité du milieu conductivité du matériau indépendante de E le coefficient de proportionnalité s est appelé la conductivité du milieu. La conductivité est une grandeur locale positive, dépendant uniquement des propriétés du matériau Dans le cas particulier d’un cristal composé d’ions immobiles (dans le référentiel du laboratoire) et d’électrons en mouvement, on a où e est la charge élémentaire et ne la densité locale d’électrons libres. La densité de courant (donc le sens attribué à I) est dans le sens contraire du déplacement réel des électrons. 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Résistance Considérons un morceau de conducteur de conductivité s , constitué d'un tube de courant limité par deux surfaces équipotentielles, aux potentiels VA et VB VB VA dS A B i la circulation étant prise le long d'une ligne de courant; i et E sont colinéaires avec dl. l'intensité parcourant un tube élémentaire de courant, de section ds Car le courant est le même en tout point du tube: 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Résistance - Résumé La différence de potentiel aux extrémités d'un conducteur est proportionnelle au courant I qui le parcourt: Le coefficient de proportionnalité R est appelé résistance du conducteur. La résistivité r est définie comme l'inverse de la conductivité s. Dans le Système International d'unités la résistance s'exprime en Ohm, (symbole W). Un ohm est la résistance d'un tronçon de conducteur qui, parcouru par un courant d'un ampère, possède, entre ses extrémités une d.d.p. de un volt. 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Conductance On définit aussi la conductance G d'une portion de conducteur comice l'inverse de sa résistance : Une conductance s'exprime en W-1 ou Siemens On schématise la résistance entre deux points A et B d'un conducteur par la représentation symbolique: 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Association de résistances Résistances en série: Différents tronçons consécutifs d'un même tube de courant ; ils sont parcourus par la même intensité I. A1 A2 A3 An-1 An R1 R2 Rn A1 A2 A3 An-1 An Appliquons la loi d'Ohm à chaque résistance: Dans un groupement en série les résistances s'ajoutent. 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Association de résistances Groupement en parallèle Dans ce groupement, plusieurs conducteurs sont connectés aux mêmes points de potentiels VA et VB . A B Pour chaque branche k on a Comme en régime permanent, le flux de la densité de courant est conservatif: Dans un groupement en parallèle les conductances s'ajoutent. 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Eléments d’un circuit électrique Définitions : Un circuit électrique est constitué d’un ensemble de dispositifs appelés dipôles, reliés entre eux par un fil conducteur et formant ainsi une structure fermée. Un nœud d’un circuit est une interconnexion où arrivent 3 fils ou plus. Une branche est un tronçon de circuit situé entre deux nœuds. Une maille est un ensemble de branches formant une boucle fermée. Un dipôle s’insère dans un circuit par l’intermédiaire de deux pôles, l’un par où s’effectue l’entrée du courant (borne plus), l’autre la sortie (borne moins). Il est caractérisé par sa réponse à une différence de potentiel U entre ses bornes : c’est à dire la courbe caractéristique I=f(U). Un dipôle passif a une courbe passant par l’origine. Un dipôle actif fournit un courant (positif ou négatif) même en l’absence dune tension. Un dipôle linéaire tout dipôle dont la courbe caractéristique est une droite. 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Puissance électrique disponible Soit une portion AB d’un circuit, parcourue par un courant I allant de A vers B. L’existence de ce courant implique que le potentiel en A est supérieur à celui en B. Cette différence de potentiel se traduit par l’existence d’un champ électrostatique E produisant une force de Coulomb F=q E capable d’accélérer une charge q soit Pq = F v la puissance nécessaire pour communiquer une vitesse v à une particule de charge q quelconque. Sachant que dans ce conducteur il y a n porteurs de charge par unité de volume, la puissance totale P mise en jeu dans la portion AB parcouru par un courant I est 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Puissance électrique disponible Cette puissance est donc la "puissance électrique" disponible entre A et B, car il y a un courant I. Si nous considérons un dipôle comme la résistance, pour laquelle nous avons U=RI , alors la puissance disponible à l'intérieur de celui-ci est donné par la "puissance joule": 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Puissance électrique disponible – circuit fermé Appliquons le raisonnement précédent à un circuit fermé : Soit un circuit parcourue par un courant I allant de A vers A. la puissance totale fournie entre A et A par la force de Coulomb  il ne peut y avoir de courant permanent qui circule dans le circuit Mais comme il y a un courant  la force de Coulomb n’est pas responsable du mouvement global des porteurs de charge dans un conducteur. Champ non coulombien 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Force électromotrice Analogie avec courant eau l’eau s’écoule dune région plus élevée vers une région plus basse l’eau s’écoule d’un potentiel gravitationnel plus haut vers un autre plus bas. Mais si l’on veut constituer un circuit fermé, alors il faut fournir de l’énergie (grâce à une pompe) pour amener l’eau à une plus grande hauteur, et le cycle peut alors effectivement recommencer. Si nous voulons qu'un courant permanent circule il faut qu'une force autre que la force électrostatique permette aux charges de fermer le circuit. le "générateur électrique" 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Force électromotrice- Générateur Champ électromoteur Un champ électrostatique ne peut maintenir un courant dans une courbe fermé. champ moteur Le champ E est dû à : champ électrostatique Ee un champ « non électrostatique » Em force électromotrice Le champ moteur se trouve localisé dans un générateur : dispositif dans lequel les charges sont soumises à des forces qui ne sont pas de nature électrostatique . 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Modèles de générateurs Supposons que le générateur soit de forme cylindrique dans lequel existe un champ moteur uniforme et parallèle à l’axe du cylindre. A B Milieu Conducteur + - Le cylindre est terminé par des plaques métalliques formant ses bornes. Sous l’effet du champ les charges se déplacent :  l’accumulation des charges et donc la naissance d’un champ électrostatique On atteint un équilibre lorsque :  champ total 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Calculons la circulation de Ee: Force électromotrice A l’extérieur du générateur A B Milieu Conducteur + - Soit G un contour fermé : G2  extérieur intérieur G Calculons la circulation de Ee: or la force électromotrice À l’équilibre 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

ddp entre les bornes d'un générateur La différence de potentielle aux bornes d’un générateur est égale à la f.e.m développée par le générateur. Si le générateur débite un courant  entre les bornes A et B (à l’extérieur) il y a un conducteur. A l’extérieur le courant circule de A vers B et à l’intérieur de B vers A. Si s est la conductivité du milieu du générateur, alors : Comme les charges se déplacent, le champ le champ moteur 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

ddp entre les bornes d'un générateur La force électromotrice Si le générateur à une forme cylindrique La différence de potentielle entre les bornes d'un générateur, de résistance interne Ri , qui débite un courant I est: + - I A B Ri E 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Lois de Kirchhoff Il existe deux lois simples qui permettent de calculer les courants et les différences de potentiel dans un circuit : ce sont les lois de KIRCHHOFF Nœud : Un point où plusieurs éléments sont reliés (au moins trois) Maille: Lorsque plusieurs éléments forment un contour fermé, on dit que l'on a une boucle ou une "maille" 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Lois de Kirchhoff Les deux lois de KIRCHHOFF s'énoncent comme suit 1. La somme algébrique de toutes les intensités de courant en un noeud doit être nulle. 2. La somme algébrique de toutes Les différences de potentiel Le long d'une maille est nulle. Lorsqu'on traverse une résistance dans le sens du courant  une diminution de potentiel Quand on traverse un générateur en passant de la borne positive à la borne négative  diminution de potentiel. R E R E R E R E -E+RI E-RI E+RI -E-RI 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Résolution d'un circuit et méthode de travail Les problèmes posés comporteront un certain nombre de données et d'inconnues. Connaître un circuit, c'est disposé de tous les paramètres des éléments du circuit et des intensités des courants qui les traversent. Méthode de travail 1. Tracer le schéma du circuit en y représentant tous les éléments présents et les fils qui les relient. 2. Sur ce schéma • Attribuer une lettre à chaque noeud, puis compter le nombre de noeuds N du circuit. • Compter le nombre de branches B, puis indiquer les courants qui passent dans chacune d'elles sans oublier de leur donner arbitrairement un sens. 3. Appliquer la première loi de Kirchhoff aux noeuds, (on obtient N - 1 équations indépendantes). 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Méthode de travail 4. Appliquer la deuxième loi de Kirchhoff pour les mailles  faut un nombre d'équations indépendantes égal au nombre d'inconnues: (N – 1) équations indépendantes tirées de la première loi. Il faut donc B - (N - 1) équations de la deuxième loi (mailles). Elles doivent être choisies de façon à obtenir des équations indépendantes (tous les courants doivent intervenir dans ces équations au moins une fois). 5. Résoudre le système d'équations et en tirer les réponses demandées. 6. Ne pas oublier de vérifier si les résultats obtenus sont plausibles : par exemple, la somme des différences de potentiel au long d'une maille doit être nulle, de même que la somme des courants doit s'annuler en chaque noeud. 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Exemple 1 Il faut évaluer les tensions et les courants dans ce circuit. Le sens des courants dans chaque élément est inconnu  choix arbitraire. Après calcul, une valeur positive  le sens choisi initialement était correct une valeur négative  le sens choisi dans le cas contraire. Appliquons la première loi de KIRCHHOFF aux noeuds A, B et C; le noeud D est une combinaison linéaire des trois précédentes. 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Exemple 1 la seconde loi aux trois mailles 1, 2 et 3 en les parcourant dans le sens de la flèche. Nous sommons les différences de potentiel, en notant que celles-ci sont positives si le potentiel s'accroît et négatives si le potentiel diminue. On pourrait encore écrire une équation pour la maille passant par A, B , D et la branche inférieure : ce serait une combinaison linéaire des trois précédentes. 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Exemple 2 On choisit un sens arbitraire de parcours de la maille F A B C D E F i1 i2 i3 On choisit un sens arbitraire de parcours de la maille Maille ABEFA: Maille BCDEB: A résoudre: 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Introduction aux théorèmes généraux Pour étendre le comportement de la résistance, on utilise l'impédance qui sera notée Z. Cet élément relie la tension et le courant en généralisant la loi d'Ohm: U = ZI Théorème de superposition Puisque les circuits étudiés sont linéaires, la réponse globale d'un montage est la somme des réponses partielles. L'intensité du courant circulant dans une branche d'un réseau contenant plusieurs branches est égale à la somme algébrique des intensités créées dans cette branche par chaque générateur supposé seul (les autres étant éteints). 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Exemple: Théorème de superposition Il y a autant de cas à superposer que de générateurs intervenant dans le réseau. Z1 Z2 Z E1 E2 I A Z1 Z2 Z E2 ib A B i2 Z1 Z2 Z E1 ia A B i1 2 1 + 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Exemple: Théorème de superposition Z1 Z2 Z E1 ia A B i1 i1 Z1 Ze E1 Kirchoff 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Exemple: Théorème de superposition Z1 Z2 Z E2 ib A B i2 i2 Z2 Ze E2 Kirchoff 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Exemple: Théorème de superposition Z1 Z2 Z E2 ib A B i2 Z1 Z2 Z E1 ia A B i1 2 1 + Superposition: 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Association de générateurs Générateurs en série Dans l'association en série, la borne négative d'un générateur est connectée à la borne positive du suivant, de sorte que les forces électromotrices s'additionnent: Les résistances internes, étant en série, s'additionnent également. 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Association de générateurs Générateurs en opposition Si deux générateurs sont reliés comme dans un montage en série mais avec les pôles de même signes connectés ensemble, on dit qu'ils sont en opposition et les forces électromotrices se retranchent. Générateurs en parallèle les bornes positives ensemble les bornes négatives ensemble. Normalement on ne met en parallèle que des générateurs de même force électro­motrice E : la force électromotrice de l'ensemble reste E 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Théorèmes de Thévenin et Norton Dans des réseaux complexes, on peut remplacer une portion du circuit par son équivalent limité à une branche composée d'une source et d'une impédance en série ou en parallèle. Suivant que l'on assimile le réseau à une source de tension ou de courant, on distingue deux théorèmes : Thévenin et Norton. Théorème de Thévenin Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à un générateur indépendant de tension parfait ETh en série avec le dipôle composé ZTh. ETh représente la tension UAB lorsque la portion de réseau débite dans un circuit ouvert (tension à vide). ZTh est l'impédance entre les points A et B lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes. A B ? UAB ZTh ETh 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Exemple: On recherche la source de Thévenin entre les points A et B A Z1 Z2 Z E1 E2 Z1 Z2 E1 E2 A B i B ZTh A B Z1 Z2 A B 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Théorème de Norton Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à une source indépendante de courant réelle IN en parallèle avec un dipôle d'impédance ZN. IN est le courant électromoteur, c'est à dire lorsque la portion de réseau débite dans un court-circuit. ZN est obtenue lorsque toutes les sources indépendantes sont éteintes (comme pour Thévenin). A B ? UAB ZN IN 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Exemple: On recherche la source de Norton entre les points A et B Z1 ZN IN Z ZN A B B Z1 Z2 E1 E2 A i1 IN i2 Z1 Z2 A B 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Equivalence et passage Thévenin-Norton Les schémas équivalents de Thévenin et de Norton sont transposables l'un à l'autre. A B ZN IN ZTh ETh Thevenin Norton Sources éteintes : A vide : UAB =ETh =ZTh IN En court-circuit : ETh /ZTh = IN 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Théorème de Millman Le théorème de Millman, appelé aussi théorème des noeuds, permet de déterminer le potentiel d'un noeud où aboutissent des branches composées d'un générateur de tensions. La démonstration de ce théorème consiste à transformer chaque branche en source de courant, de courant électromoteur E1 E2 E3 En Z1 Z3 Zn Z2 A B V Z1 Z2 Z E1 E2 I A B 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

des intensités - Ampèremètre L'ampèremètre est un instrument devant mesurer l'intensité d'un courant électrique; on le branche en série dans le circuit. Soit R la résistance totale du circuit avant d'y intercaler l'ampèremètre; le courant est: Quand on branche l'ampèremètre, de résistance ra, l'intensité de courant sera: Pour que I'=I il faut que ra= 0  L'ampèremètre doit avoir une résistance très petite. 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Effet Joule Ampèremètre "shunté" Lorsqu'on veut mesurer une intensité de courant plus forte que celle que l'ampèremètre peut normalement mesurer, on fait usage du "shunt", c-à-d d'une résistance placée en parallèle sur l'ampèremètre. Soit I le courant à mesurer, ia courant traversant l'ampèremètre de résistance ra, is le courant traversant le shunt rS : 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Equation de conservation de charge Considérons une surface fermée S limitant un volume V, et soit I l'intensité qui la traverse: Soit la densité volumique totale de charges mobiles et liées. La quantité d'électricité Q contenue à l'instant t à l'intérieur de la surface S est donnée par: Le flux sortant du volume V est: On en déduit que: 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Première loi de KIRCHHOFF Si r, i, v sont indépendantes du temps on dit que le régime est permanent, et donc l'intensité est la même en tous les points d'un circuit filiforme dans un circuit comportant des dérivations, l'intensité dans le conducteur principale est la somme des intensités dans les dérivations. I I1 I2 Un ensemble de conducteurs reliés entre eux constituent un réseau On appelle nœud du réseau un point où aboutit plusieurs conducteurs. I1 I5 I4 I3 I2 Première loi de KIRCHHOFF : La somme des intensités de courants qui se dirigent vers un nœud est égal à la somme des intensités de courants qui s'en éloignent 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

Effet Joule . Puissance Lorsqu'un courant d'intensité I traverse une résistance pendant le temps t, la quantité d'électricité q=It subit la chute de potentielle V=VA-VB. Le travail de la force électrique est Ce travail apparaît sous forme de chaleur cédée à la matière conductrice: effet Joule. La puissance d'effet Joule est Puissance dissipée par unité de volume Considérons un élément de tube de courant de longueur dl et de section dS. Il est parcouru par l'intensité dI=idS. La puissance dissipée par effet joule dans le volume dv=dl dS, est : La puissance dissipée par unité de volume est 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun

VB VA dS A B i 17/01/2019 Pr. M. Benjelloun