1 Genèse des grandes révolutions de la Géométrie interprétée en microgéométrie par Fernand Lemay

2 Euclide

3 Genèse virtuelle des grandes révolutions de la géométrie interprétées en microgéométrie Cette reconstruction miniature de la géométrie permet toutes les audaces, fantaisies, risques, insolences et catastrophes qui alimentent les jeux denfants et stimulent leur créativité.

4 La géométrie … est affaire de points et dalignements Le Nil, la crue des eaux, larpentage, la géodésie, un désert de neige, la stéréométrie, les navettes et véhicules spatiaux …

5 Charte euclidienne. (A1) Possibilité de saligner sur deux points. (A2) Possibilité de prendre la direction d'une droite; où que lon soit. (A3) Minimum d'étalement, de dispersion. (Pas de dégénérescence en simple ligne). Des crises auront lieu au cours de lHistoire [ lincommensurabilité, le parallélisme, etc ] Euclide hérite de Thalès et nous livre une magistrale synthèse qui traversera les millénaires … Qui rappelleront Hilbert à la ptite école:

6 Hilbert fait ses devoirs! … «Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about nor whether what we are saying is true.» « Let us consider three distinct (!) systems of things. The things composing the first system, we will call points … ; those of the second, we will call straight lines … » et Russell vient nous provoquer! Aucune indication sur la nature des objets! (Things!)

7 Les mauvaises manières, la dissidence … Suivre la lettre mais non lesprit Première dissidence:Things! The essence of mathematics lies in its freedom. «Things» ça pourrait être autre chose que des droites!

8 Géométrie d'un faisceau de cercles Faisceaux superposés de droites et de cercles Issus dun même point

9 Ça ne marche pas … Voyez: deux lignes par la paire de points rouges!

10 A moins de perforer les cercles!

11 Cette fois ça ira! Voici lunique parallèle (noire) à la droite bleue passant par le point rouge:

12 Une autre dissidence extrême: le site des géométries finies! Si la géométrie, est affaire de points et d'alignements … le «tic-tac-to» aussi: Est-ce une géométrie?

13 Quen dirait Euclide? Jouerait-il au tic-tac-to? Mais ça sarrange : La première condition nest pas réalisée:

14 Hommage à Rutherford Et on en tire une élégante … géométrie

15 Faire de la géométrie? « … les plaisirs du géomètre s'alimentent à la contemplation des figures et sont redevables à l'œil … » Action ou Contemplation? Comme la géométrie elle-même, les actions sont conceptuelles; ce seront des "applications" de l'ensemble des points en lui-même. Les 9 atomes (points) nous ensevelissent déjà sous plus d'un tiers de milliard (99 = ) d'applications. Cest insuffisant! Il faudra des bijections. Il en existe 9! = permutations ! La conservation de la matière» impose des bijections Il faut opérer sans casser la structure. La plupart des permutations fracassent tout:

16 Permutation brutale! La plupart des quelque permutations font voler les droites en éclats. Voici une permutation brutale qui les casse toutes sans exception:

17 Lidée de colinéation Le caractère géométrique du site doit subsister. Qu'est-ce que cela signifie? Tous les alignements devront être respectés Définition.- Une colinéation f est une permutation de conservant l'ensemble des lignes: Alors f(, ) = (, )

18 Recherche de colinéations au hasard. Brainstorming. Isométries:

19 Symétries diagonales Rotations:

20 Jumelage d'écrans Périodicité dans un champ de «pixels»

21 Changement de représentants.- Compactage dans lécran espion:

22 Idée.- Déplacement de caméra. Espionnage:

23 Idée.- Fugues hors de l'écran Espionnage

24 Dilatation et contraction

25 Colinéations dordre maximal? Pourrait-on en avoir dordre 9 ?

26 Puissance du groupe des actions? Transition des atomes (points) des segments ? des triangles ? des quadruplets ? Conjecture: Toute action géométrique (colinéation) est déterminée par son effet sur un triplet de points libre: Card C = = 432 Cest de la certitude que surgit le besoin de démonstration. Nicolet

27 Descartes

28 Opposition entre géométries grecque et française Echo du miracle grec « … toute la nature et les cieux sont en symboles de géométrie ». [ Pythagore et Platon.] «Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht; alles andere ist Menschenwerk.» [Kronecker}

29 Un substrat nouveau "Tout est nombre …." Création des nombres naturels., { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}, … Quest-ce que «créer» ?

30 Les droites nont que trois points … 3 nombres devront suffire ! En particulier on note 2 = -1 Cest le corps des entiers définis à multiple de 3 près. Réduction cyclique {… -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 … }

31 Le corps des couleurs (Z 3,, ).- Multiplication des couleurs!

32 Un ensemble de «points». –Avec ces trois "atomes numériques" ;on engendre des "molécules" = {(0,0), (0,1), (0,2), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (2,2)}

33 Un ensemble de «lignes» Les «droites» seront des complexes de molécules Trois points (couples) x, y, z, dont la somme (terme à terme) est nulle x + y + z = 0 forment une droite

34 Caractérisation numérique …

35 Ce système est-il régi par la charte? – (A 1 ) Chaque couple se retrouve-t-il dans un trio unique? (A 2 ) A-t-on accès en chaque point à toutes les directions? (A 3 ) Se trouvent-il des points non alignés? Peut-on définir ce que sont les "directions"?

36 Paramétrisation. Coordonées Conciliation avec Euclide?

37 Exemple 2 Recherche de colinéations Nouveau mode daction Lalgèbre remplace la combinatoire géométrique Exemple 1 Exemple 3

38 Gauss

39 Tragédie métrique : Quelle est la distance du bout du monde? Sans recourir à Pythagore: On trouve le côté dun carré sur la diagonale!

40 Quel nombre saura produire 2 ? On les essaye tous. = 2 ? Aucune solution! Lécart du centre au coin est incommensurable! Cest la seconde tragédie (… un autre meurtre?)

41 Pour nous « 2 » cest « (-1) » «I met a man recently who told me that, so far from believing in the square root of minus one, he did not even believe in minus one. This is at any rate a consistent attitude. (E. C. Titchmarsh.) Cest-à-dire un nombre «imaginaire» Insuffisance du corps Z 3 Propulsion dans limaginaire!

42 Création dun corps de nombres mini-complexes Recette de fabrication.- Se procurer des polynômes a n X n +a n-1 X n-1 + … a 1 X+a 0 Les choyer en substituant «i» à «X» Décantez tous les (i 2 +1) Le résidu est un élégant corps de mini- complexes K={ 0, 1, 2, i, i+1, i+2, 2i, 1+2i, 2+2i }

43 Un beau vrai corps! Les interventions seront algébriques! Pas de problème de « fractions ». Des tables + -

44 Défis pressentis! Ce corps présente un retournement sur lui-même, la conjugaison, qui est un véritable automorphisme et une colinéation de la «géométrie de Gauss» annonçant les plus subtiles explorations … (chez von Staudt en particulier)

45 Dividendes géométriques Il y a 9 de ces nouveaux nombres cest-à-dire autant quil y a de points en géométrie euclidienne ou cartésienne. Ce qui offre une géométrie super numérique dont les points ne sont soumis quà une seule coordonnée Cest le plan de Gauss et tous les jeux que proposent les nombres complexes.