Cosmos

Univalence de la géométrie Défi: établir un isomorphisme entre la géométrie du polyèdre (disque, tore, Peano) et (K3/ )* Idée: jumeler le disque avec une "courbe de Peano" dans (K3/ )* ( graphe d’une colinéation d’ordre maximal )

Colinéation d’ordre maximal dans (K3/ )* Les colinéations de (K3/)* ont la forme: Elles sont par millions! Circonscrire un champ de prospection où dénicher une matrice d'ordre 91 Réduction au cas de la transformation du quadruplet "unitaire" en un quadruplet libre quelconque

Polariser la prospection. On lance le quadruplet [i, j, k, e] sur lui-même et on le fait dévier … pour voir!

On en tire une expression matricielle de la forme Et le champ de prospection passe de 91×90×81×64 = 42,456,960 essais à …  81

Compilation des résultats (avec une HP 48G) Collecte de 24 matrices d’ordre 91!

Lancement en orbite de O = [1, 0, 0 ] Miracle! Les occurrences des points de la droite <O,f(O)> sont les mêmes que sur le disque: { 0, 1, 3, 9, 27, 49 , 56, 61, 77, 81 } Les géométries de Peano et de Monge sont isomorphes.

Importer de (K3/ )* en géométrie de Peano Projets d’espionnage Importer de (K3/ )* en géométrie de Peano L’orthogonalité, «» La métrique Les points cycliques La structure vectorielle «» de (K3/)* etc

Le rapt de la structure vectorielle de (K3/)* Installer une métrique suppose qu'on sache diffuser une longueur dans toutes les directions, ce qui pourrait être possible si on détient un "cercle" ou si on possède une relation ""

Cercle de (K3/)* Conique des auto-conjugués

Genome

Analyse stellaire, Après avoir recherché les actions les plus puissantes cherchons les plus fines, les plus discrètes … les «quanta» afin d’analyser les actions complexes

Étincelles- "atomes d'action" par métaphore nous dirons des quanta

Étincelles primitives Étincelles dont l’axe et le centre appartiennent au repère. Quelles sont les actions engendrées par ces 6 étincelles ?

Puissance des étincelles … Comment la mesurer? En examinant la transitivité dans  Action sur les atomes Sur les couples Sur les triplets Sur les n-uplets etc

Caractère ludique des études de transitivité! Il s’agit par exemple de propulser un point du bord en l’un des sommets … La manière: transformer un quadruplet libre en une cible …

"Base". Système de générateurs minimal.-

Fission nucléaire! D’où l’élimination de l’une d’entre elles. Un quantum se décompose en d’autres. L'étincelle  , par exemple, peut être reconstituée au moyen de  et . D’où l’élimination de l’une d’entre elles.

Cosmos énergétique! La puissance de l'ensemble des étincelles , , ,  et , est totale Chacune des quelque 42 millions de colinéations projectives peut être régénérée à l'aide de cinq étincelles. Un des beaux exemples est certainement celui de la courbe de Peano.

Génome de la colinéation, , de Peano (Nombreux pas)  = 5 o 2 o 4 o 2 o 3 o 7 o 2 o  o  o 2

Harmonie cosmique.- Les millions d'actions possibles dans l'univers géométrique se décomposent en étincelles {., , , , ,  } Malgré son extrême sobriété, ce système de générateurs est surabondant et peut se réduire à cinq étincelles seulement. Ainsi nous est accordée la possibilité de représenter toute action géométrique par une mélodie écrite sur les 5 lignes d'une portée musicale: Nous rejoignons ainsi l'harmonie des sphères proposée par Platon dans sa vision du Cosmos.

Le rêve de von Staudt

Le rêve de von Staudt.- «The question arises as to whether or not a pure geometric approach might be made to these imaginary points … The older geometers, Poncelet and Steiner, were never clear on this point.» Klein

Réalisations insuffisantes aux yeux de von Staudt:

La matière primitive originale Les 9 points du tic-tac-to. Les 13 atomes de la géométrie arguésienne donnent lieu à 78 paires, donc avec 13+78=91 éléments.

 : site de von Staudt [Analogue pour les droites] Nouveau substrat: Les 91 ensembles {x, y} où x, y viennent de la géométrie arguésienne. Si x=y, ce sont les éléments "réels" Si xy, ce sont les "imaginaires". [Analogue pour les droites]

Double défi! 1) Importation par isomorphisme depuis (K3/)* Il existe 13! = 6 227 020 800 bijections possibles avec les 91 éléments de (K3/)* Comment choisir? 2) Création directe d’une structure géométrique intrinsèque sur 

Charge d'une droite réelle. 6 points doubles «imaginaires» 4 points

Charge d'une droite imaginaire.- Un point réel 9 imaginaires ou points doubles

Charge d'un point imaginaire. Les 9 droites imaginaires (doubles) par une point double Un point imaginaire (double) et sa droite réelle

La droite par 2 points imaginaires (le noir et le rouge) Un cas plus subtil

Conjuguée d’une droite imaginaire