Chapitre 2 Écoulements externes

© R.Toupin, G.Soucy, H.Cabana Références Unit Operations of Chemical Engineering par W.L. McCabe, J.C. Smith et P. Harriott (7ième édition) Chapitre 7 Ces acétates ont été créées suivant une adaptation des notes de cours des années précédentes © R.Toupin, G.Soucy, H.Cabana

Mise en situation Jusqu’à maintenant : Toutefois: Possibilités: Comportement du fluide Toutefois: Intérêt pour solide immergé Possibilités: Fluide immobile – solide mobile Solide immobile – fluide mobile À la fois le solide et le fluide - mobiles

Effet sur la compréhension Inutile de savoir QUI bouge Important de savoir la différence de vélocité

Coefficient de trainée Force exercée par le fluide dans la direction de l’écoulement: Trainée Quand la parois est parallèle à l’écoulement: La seule force de trainée: τw (contraintes des cisaillement à la parois)

Plaque mince immergée La seule force de trainée: τw (contraintes des cisaillement à la parois)

Autrement Plus souvent: Une autre contribution à la traînée: Object placé en angle p/r à l’écoulement On aura donc plusieurs contributions à la traînée Provenant du τw à différents angles p/r à la parois Une autre contribution à la traînée: Pression du fluide Dans la direction de l’écoulement Trainée totale: Contribution de la pression et du cisaillement

Trainée reliée à la pression La seule force de trainée: pression

Coefficient de trainée (Drag coefficient) Nous avons parlé de f: Coefficient de friction de Fannings Pour les liquides immergés: Coefficients de traînée (CD) FD: Trainée totale Ap: Surface projetée Uo: Vélocité du fluide approchant ρ: densité du fluide On l’assume habituellement constant

En images

Écoulement autour d’objets Il y a plusieurs opérations unitaires qui impliquent un écoulement externe tels que: Lit fixes (bioréacteurs, résines échangeuses, etc.) Lits fluidisés Décantation / sédimentation Échangeur de chaleur Membranes Etc...

Géométrie des particules La géométrie des particules est importante Pour les particules autres que sphériques: Une dimension caractéristique Les autres dimension sont proportionnelles Par exemple un cylindre: important c’est d Longueur est exprimé en ration L/D

Cyclindres D L/D Ap = LDp D L/D Ap = πDp / 4

CD vs. nRe CD = φ(Rep)

Graphique CD en f(x) de Rep Courbes valables seulement quand l’orientation est maintenue

Comportement des solides Lorsqu’un solide tombe par gravité: Tourne de différentes façons Modifie le coefficient de trainée Surtout pour: Disques et cylindres Pour les sphères Tombe en spirale

Loi de Stoke Pour de faibles nombre de Reynolds On parle de sous l’unité Loi de Stoke s’applique Le mouvement de la sphère: Affecte le fluide même a bonne distance

Pour des nRep > 1 L’écoulement derrière la sphère: Devient différent Règle de Stoke ne s’applique plus Pour des nRep > 100 Les remous recouvrent plus de ½ de la sphère Provoque une tombée de pression importante Perte en raison de l’E affectée aux tourbillons

Pour nRep 200-300 Les tourbillons se désengagent du sillage On forme des ‘rues de Vortex’

nRep élevés Coefficient de trainée est presque constant: Pour: 0.40 à 0.50 Pour: Rep entre 103 et 105 Encore laminaire

Rep ≈ 300000 Le point de séparation se déplace: Il se rend à l’arrière de la sphère L’angle de séparation passe de 85-140o CD passe de 0.45 – 0.10

Coefficient de traînée Pour des objets sphériques Stokes Intermédiaire Newton Trans-critique Rep = Dp uo ρ / μ

Trainée de forme et aérodyanisme La trainée due à la forme peut être minimisée On force la séparation vers l’arrière de l’objet Aérodynamisme: Permet ceci: L’augmentation graduelle de pression Dans la couche limite Évite la séparation

Point de stagnation Le fluide est séparé en deux Une partie en bas l’autre en haut Au centre se trouve le point non divisé Point de stagnation

Vélocité convertie en pression Au point de stagnation: Énergie cinétique Convertie en énergie de pression On fait abstraction de la friction Ps: pression de stagnation P0: pression du fluide inaltéré U0:Vélocité du fluide inaltéré ρ = densité du fluide

Écoulement – lit de solide Situations ou ceci s’applique: Filtration Écoulement 2 phases contre-courant Dans les filtrations: Lit de solide: Petites particules enlevées par tamis ou papier filtre Autre exemple: Lit fluidisé

Lit de particules La résistance à l’écoulement: Dépend aussi: Sommation de trainée de toutes les particules Dépend aussi: nRe DpG0/μ Écoulement laminaire, turbulent… Trainée de forme, séparation et sillage

Tombée de pression Calculer la tombée de pression dans un lit: Estimer la trainée totale de toutes les particules Dans les canaux tortueux formés La canaux sont: Irréguliers Ont des diamètres variables Sont interconnectés

Calculer les canaux On estime: La surface totale: Mais plus facile: Le lit a plusieurs canaux Ces canaux sont équivalents La surface totale: Surface par particule Multipliée par le nombre de particules Mais plus facile: D’estimer en fonction du volume

Fraction volumique des particules Ratio Surface-Volume Sphère

Autres particules Φs Peu importe la particule: Ratio surface/volume: On inclut un paramètre de sphéricité: Φs Ratio surface/volume: Sphère de diamètre Dp Divisé par le ratio surface-volume pour un particule de diamètre nominal Dp

Valeurs de sphéricité, voir Tableau 7.1 p. 164 Équations reliées à Φs Valeurs de sphéricité, voir Tableau 7.1 p. 164

ε Représente la porosité des cavités Pores généralement trop petits: Pour permettre un écoulement à travers Incidemment: ε est l’absence de matière à l’extérieur Et non le total des porosités

Diamètre équivalent Dans un lit de particules: Il est pensable de calculer le Déq Pour le calculer on considère: n canaux parallèles L est la longueur des canaux On le considère: Équivalent au ratio surface-volume Multiplié par le volume de la particule

Déq Le volume vide est le même que le volume total de n canaux En combinant les deux équations

Vélocité moyenne La vélocité est maintenant exprimée en termes que nous pouvons mesurer Il est possible d’ajuster pour: Éqn. de Hagen-Poiseuille

Insertion dans Hagen-Poiseuille λ est inséré comme facteur de correction Pour combler pour: Les canaux ne sont pas linéaires Non plus que parallèles

Équation de Kozeny-Carman Simplifications Si on simplifie: Et comme 72λ = 150 (empiriquement) Équation de Kozeny-Carman

Pour un écoulement turbulent En simplifiant…

Pour haut Rep Pour Rep > 1000 Équation de Burke-Plummer

Équation de Ergun Pratique car: Couvre tout les rendements d’écoulement Peut être obtenu en assumant: Pertes visqueuses et perte d’énergie cinétique sont sommatives

Équation de Ergun Fonctionne pour: Sphères Cylindres Solides broyés Si le lit est soumis à des vibrations: Fraction de vide inférieure de quelques %

Pour anneaux de Rashig et Berl L’équation de Ergun: En bas de ce qui est trouvé expérimentalement Difficile à estimer et donc: Tableau 18.1 ou ref. du manufacturier

Mélange de particules Deux équations envisageables: Où Ni représente le nombre de particule de chaque taille Où xi représente la fraction de masse de particule de chaque taille

Particules dans un fluide Mouvement d’une particule dans un fluide: Dépend d’une force externe Qui agit sur la particule Hypothèse: Différence de densité Champ magnétique ou électrique Ici: Gravité et centrifuge

Forces agissant sur une particule Les forces externes: Gravitationnelle ou centrifuge Poussée d’Archimède Agit parallèle aux forces externes Dans le sens inverse Force de trainée Apparaissant dès qu’il y a mouvement: Entre l’objet et le fluide

Particule dans un fluide 1D Fe Particule Masse Accélération Fb FD

Fe, Fb et FD Fe: Force externe m: masse de l’objet ae: Accélération de la particule FD: Force de trainée CD: Coefficient de trainée u02: Vélocité u ρ: Densité Ap: Surface projetée de la particule Fb: Poussée d’Archimède m: masse de l’objet ae: Accélération de la particule ρ: Densité du fluide ρP: Densité de particule

En combinant / simplifiant

Si la Fe est g On peut donc appliquer cette équation: Si la particule est en chute libre verticalement Dans un fluide

Champ de centrifugation Dans le cas précédent: Accélération donnée par g Pour un champ de centrifugation: ae = rω2 (ou r est le rayon du trajet et ω est la vélocité angulaire (en rad/s). Ainsi:

Vélocité terminale L’accélération aura tendance à diminuer En fonction du temps Approchera une valeur nulle Particule atteindra une vélocité constante Aussi appelée vélocité terminale (ut) Trouvée quand g est impliquée: Lorsque du/dt = 0

Vélocité terminale Sous l’effet de la gravité (g)

Vélocité terminale Sous l’effet centrifuge: Vélocité dépend du rayon L’accélération n’est pas constante: Si la particule est en mouvement Dans ce cas on va négliger l’effet du/dt Nous permettra d’aller chercher ut

Vélocité terminale Ainsi:

Estimer CD sans calculs La plupart des calculs précédents: Requiert la détermination de CD Peut être reproduit par une courbe Courbes à usages limités: La particule doit être solide La particule doit être éloignée des autres La particule doit être éloignée des parois Elle doit être à ut

Coefficient de trainée

Estimer CD sans calculs En réalité: Particule tombant dans un fluide immobile Prend + de temps à atteindre ut que prévu Si on emploie les équation de CD à l’équilibre Aussi: Même principe si particule dans un écoulement rapide Les coefficients de trainée sont inférieur à ce qui est escompté

Ainsi… Pour les processus impliquant: Petites particules Gouttelettes Le temps nécessaire pour atteindre ut Petit On le négligera

Stabilisation libre Quand la particule est à distance appréciable: Des autres particules De la parois du conduit Sa chute n’en sera pas altérée On appelle ceci: Stabilisation libre Si ce n’est pas le cas: Stabilisation altérée

Minuscules particules Si les particules sont très petites: Apparition du mouvement brownien Mouvement aléatoire provenant de collisions: Entre les particules Avec les molécules du fluide Devient important : particule de 2-3 μm Encore pire: particule sous 0.1 μm Le mouvement aléatoire contre g Stabilisation ne se produit plus

Mouvement particules sphériques

À faible nRe Coefficient de trainée: Inversement proportionnel à Rep Ceci apporte des versions modifiées: CD, FD et ut

Pour 1000< Rep < 200000 À ces valeurs CD: Approximativement constant

En résumé Sphére dans un fluide newtonien

Critères pour régime stable Pour identifier intervalle: Dans lequel le mouvement de la particule se place On substitue la vélocité dans le calcul de Rep Pour que la loi de Stoke s’applique Rep < 1 Facteur pour régime stable (K): Utile pour déterminer quels calculs prévalent

Facteur K Si K représente moins de 2.6 Loi de Stoke s’applique Si K représente + de 68.9 mais moins que 2360 Loi de Newton s’applique

Si K > 2360 Dans un cas où K > 2360

Stabilisation altérée Ici le gradient de vélocité de chaque particule: Altérée par la particule voisine Ainsi les corrélations de trainée: Ne s’appliquent plus De plus la particule en se stabilisant: Déplace le fluide qui s’écoule vers le haut Rend la vélocité relative du fluide plus grande que la vélocité de stabilisation

Suspension uniforme La vélocité de stabilisation (us) Peut être estimée de la vélocité terminale Équation empirique (Maude et Whitmore) L’exposant n: 4.6 dans le domaine de la loi de Stoke 2.5 dans le domaine de la loi de Newton

Stabilisation et montée de bulles et gouttelettes Contrairement aux particules solides: Gouttelettes dispersées liquide et gaz Change de forme lorsqu’en mouvement Trainée de forme aplatit Tension de surface oppose l’aplatissement Sinon les gouttelettes et bulles < 0.5: Se comportent come des sphères solides

Gouttes Les gouttes allant de 1 à plusieurs mm Par exemple la pluie Son aplaties dans la direction de l’écoulement Ainsi: Tomberont plus lentement qu’une sphère qui posséderait le même volume De façon générale: Augmentation du diamètre affecte la vélocité

Vélocité en f(x) diamètre

Pour liquides non-miscibles

Réponse du système en fonction de la vitesse superficielle Vitesse superficielle “peu élevée” Le fluide ne circule pas à une vitesse suffisamment élevée pour créer une force de traînée supérieure à la force gravitationnelle: les particules restent en place. C’est un Lit Fixe. Vitesse superficielle “élevée” Le fluide circule à une vitesse suffisamment élevée pour créer, potentiellement avec la force de flottabilité, une force de traînée supérieure à la force gravitationnelle: le lit de particules prend de l’expansion. C’est un Lit Fluidisé.

Fluidisation Quand un liquide ou un gaz: Passé à faible vélocité dans un lit de particule Les particules ne bougent pas La tombée de pression: Équation de Ergun

Fluidisation Si la vélocité du fluide est augmentée: Éventuellement La tombée de pression augmentera Tout comme le coefficient de trainée des particules Éventuellement Les particules se mettront en mouvement Se retrouveront en suspension dans le fluide

Fluidisation Quand une particule est complètement en suspension: Lit fluidisé Les suspensions de particules: Se comportent comme des fluides denses Si on le penche le liquide reste horizontal De larges objets pourront flotter à la surface

Conditions pour fluidisation Soit le montage suivant: Tube vertical partiellement remplis d’un matériel granulaire (ex. cata.) Tube ouvert en haut Plaque poreuse au bas pour supporter le cata. Sert à laisser passer le fluide Sert à retenir le catalyseur Le fluide (ici air) entre par le bas

Si les particules sont fines L’écoulement entre les particules: Laminaire La tombée de pression: Proportionnelle à la vélocité superficielle

Augmentation de la vélocité L’augmentation graduelle de la vélocité: Tombée de pression augmente Les particules ne bougent pas La hauteur du lit reste la même À une certaine valeur de vélocité: La tombée de pression comble pour g Toute augmentation de vélocité: Provoque le mouvement des particules

Graph représentatif Fluidisation Hauteur du lit fluidisé Si on décroît la vélocité, la hauteur du lit sera + grande que originalement Si on décroît la vélocité, la tombée de pression sera + petite que originalement Tombée de pression Vitesse de fluidisation minimale

Vitesse de fluidisation minimale Pour trouver la vélocité de fluidisation minimale: On fixe la tombée de pression à travers le lit Égale à la masse du lit Par unité de surface de section transversale Permettant ainsi: La poussée d’Archimède du fluide déplacé

Aussi On change ε pour εM On parlera de la porosité minimale de fluidisation Ou l’espace vaquant au sein des particules

En combinant

Petites particules Pour de petites particules: On s’occupe seulement de la partie écoulement laminaire de l’équation de Ergun Avec Rep < 1

Avec Rep < 103

Types de fluidisation Fluidisation de particules Fluidisation bouillonnante Fluidisation turbulente Lit fluidisés circulant

Fluidisation de particules Exemple: Fluidisation du sable dans l’eau Le mouvement des particules devient plus vigoureux proportionnellement à une augmentation de vélocité Expansion large mais uniforme du lit à haute vélocités

Fluidisation bouillonnante A des vélocités supérieures à u0M: Le fluide passe au travers du solide en ‘bulles’ Ces bulles sont pour la plupart exemptes de solides Les particules bougent aléatoirement La fraction d’espace libre demeure toutefois comparable à la fluidisation minimale

Le slugging Généralement observé avec colonnes de faible diamètre Le bulles peuvent croitre: Assez pour remplir tout une section transversale On observe alors: Des bulles qui occupent de grands volumes Séparées par des couches de solides

Types de fluidisation Quand la vélocité est très supérieure à u0M: On assiste à une transition: Entre les bouillons Et une phase dispersée On assiste a la formation d’un lit dispersé Avec des petites régions de: Hautes densités Basses densités

Lit fluidisés circulant À haute vélocité: Les particules sont entraînées avec le gaz Mais on les récupère: Cyclone On les retourne au bas Le volume de solide dans le gaz: Habituellement faible

Généralités Liquides: Gaz: Pas complètement vrai Fluidisation particulaire Gaz: Fluidisation bouillonnante Pas complètement vrai Dépend amplement des densités

Expansion des lits fluidisés Que ce soit pour fluidisations: Particulaires Bouillonnantes Le lit prend de l’expansion: En même temps que la vélocité augmente Pour ce qui est de la tombée de pression Demeure constante La tombée de pression aura tendance à diminuer: Proportionnellement à une augmentation de ε

Fluidisation particulaire Nous employons l’équation d’Ergun On la considère adéquate: Pour lits légèrement en expansion

Hauteur totale Il est aussi possible de calculer L La hauteur totale du lit fluidisé En fonction de la quantité d’espaces libre dans le lit particulaire vs. la porosité minimale pour la fluidisation

Fluidisation bouillonnante L’expansion du lit provient: Espace occupé par les bulles (ou bouillons) Car: Les particules denses prennent peu ou pas d’expansion Il en ressort l’équation suivante: Fraction du lit occupé par les bulles Vélocité moyenne des bulles

Hauteur du lit étendu En combinant: On obtient:

Propriétés physico-chimiques des particules Geldart propose de regrouper les solides en 4 catégories: Poudres fines et cohésives, fluidisation difficile (cat.C); Particules fines à fluidisation relativement facile (cat.A); Particules à fluidisation très facile (cat.B); Grosses particules dont la fluidisation nécessite une vitesse relativement importante (cat.D)

Classe A: les poudres fusantes Fluidisation particulaire: forte expansion du lit avec la croissance de la vitesse de fluidisation et apparition du bullage quand la vitesse est nettement supérieure à la vitesse minimale de fluidisation; Désaération lente: lorsque la fluidisation est interrompue, ces poudres restent longtemps fluides; Tendance au fusage lors de la vidange d’une trémie (écoulement de type fluide à travers l’obturateur).

Classe B: les poudres sableuses Fluidisation aggrégative avec une faible expansion du lit tant que la vitesse minimale de fluidisation, à laquelle apparaissent déjà les premières bulles de gaz, n ’est pas atteinte; Bulles exemptes de solides qui grossissent rapidement par coalescence; Désaération quasi-instantanée lorsque la fluidisation est interrompue.

Classe C: les poudres fines cohésives Les forces de surface interparticulaires sont du même ordre de grandeur que les forces aérodynamiques. La conséquence est que ces poudres sont très difficiles à fluidiser et sont le siège de renardages (channeling) pour les lits de grand diamètre et de pistonnages pour les plus petits lits. La fluidisation est parfois possible avec un apport mécanique (vibration ou agitation).

Classe D: les poudres granuleuses Les particules sont de grande taille, avec un diamètre supérieur au millimètre, ou alors de masse volumique élevée; Elles se caractérisent par une vitesse de fluidisation élevée (lits geysers) et une fluidisation turbulente avec « explosion » de bulles en surface du lit.

Propriétés physico-chimiques des particules

Exemples d’application du lit fluidisé Séchage par lit fluidisé Lit fluidisé granulateur Bioréacteur à lit fluidisé

Séchage en lit fluidisé Le courant gazeux traverse de bas en haut une grille fixe sur laquelle se trouve le produit. La vitesse du gaz est telle que le milieu à sécher acquiert les propriétés hydrodynamiques d’un fluide.

Séchage en lit fluidisé

Séchage par atomisation et en lit fluidisé Séchoir à lit fluidisé

Séchage par atomisation et en lit fluidisé (équipement intégré) Équipement intégrant: Séchage par atomisation Séchoir à lit fluidisé Filtre à manchons

Séchage en lit fluidisé Avantages: Bonne cinétique d ’évaporation du liquide (libre et lié); Attrition faible à modérée du solide; Équipement compact, simple et facile à nettoyer; Refroidissement possible en fin de séchage; Élimination possible des fines (envolement); Fonctionnement continu ou discontinu.

Séchage en lit fluidisé Inconvénients: Le matériau doit être fluidisable, c’est-à-dire pulvérulent et peu humide; L’entrainement des fines nécessite un dispositif efficace de séparation solide-gaz; La grille de fluidisation est un élément critique de l’ensemble: son encrassement peut nuire au fonctionnement adéquat; Il y a un risque d’explosion de poussières lors du séchage sous air de certaines matières.

Lit fluidisé granulateur Principe: On effectue la pulvérisation d’un liant sur (ou dans) un lit fluidisé de séchage. Il permet de réaliser plusieurs des opérations suivantes: Mélange des poudres; Mouillage permettant une nucléation; Granulation par coalescence ou par enrobage; Séchage; Pelliculage éventuel, suivi d’un autre séchage; Classification.

Granulation

Types de Particules Poudres: Particules primaires, existant individuellement ou adhérant faiblement l’une à l’autre. Agglomérats: Particules de taille moyenne issue de l’agglomération de particules primaires. L’identité des particules est encore visible. Granules: Grosses particules issues de l’élargissement progressif des particules primaires jusqu ’au point où leur identité originale n’est plus détectable. «Pellets »: Particules sphériques produites par un ou plusieurs procédés mécaniques.

Lit fluidisé granulateur Grande souplesse d’alimentation (solution, suspension, gâteau, boue, solide fondu); Grande souplesse de production (taille, forme et porosité des produits); Bonnes performances de qualité et de coût; Opération discontinue (batch) préférable. Utilisation fréquente dans l’industrie pharmaceutique pour la fabrication de lots de produits. Un appareil peut permettre le séchage à l’air tiède (50-80°C.) et l’emploi subséquent d’un liant de nature différente de celle des particules.

Lit fluidisé granulateur Inconvénients: Sphéricité médiocre du produit obtenu; Impossibilité de traiter les poudres cohésives et les mélanges sujets à ségrégation; Conduite difficile (know-how requis); Mauvais rendement thermique (chaleur perdue avec l’air); Une matière active présente en faible proportion doit être ajoutée via le liquide pour obtenir une répartition satisfaisante.

Bioréacteur à lit fluidisé