RACINES CARREES Définition Développer avec la distributivité Produit 1 2 1 2 3 4 Quotient 1 2 Développer avec les identités remarquables Somme 1 Différence 1 2 Forme a b 1 2 1 2 3 4 Produit sous la forme a b Equation x² = a 1 2 1 2 3 4 Somme algébrique 1 2 3 4 Cas général

Définition

49 est le carré de 7 7 49 7 est la racine carrée de 49 7 49 =

0 est le carré de 0 0 est la racine carrée de 0 =

La racine carrée d'un nombre impossible -4 La racine carrée de -4 n'existe pas La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas

s'appelle le radical 9 ( )² 9 = 7 ( )² 7 = a ( )² a avec a positif =

5² = 5 8² = 8 a² a = avec a positif

Définition On appelle carré parfait un entier positif dont la racine carrée est un entier. 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 Est-ce que 529 est un carré parfait ? 529 = 23 Oui

Produit et quotient de racines carrées

Si a  0 et b  0 ab a  b = 32 2  = 64 = 8 1

Si a  0 et b  0 a  b ab = 169 = 16  9  = 4 3 = 12 2

a b a b Si a  0 et b > 0 = 48 12 = 48 12 = 4 = 2 1

a b a b Si a  0 et b > 0 = 64 49 64 49 = 8 7 = 2

Somme et différence de racines carrées

16 + 9 = 4 3 + = 7 16 + 9 25 = = 5 Il n’y a aucune règle pour la somme et la différence de deux racines carrées 16 + 9 = 4 3 + = 7 16 + 9 25 = = 5 1

25 - 9 = 5 3 - = 2 25 - 9 16 = = 4 Il n’y a aucune règle pour la somme et la différence de deux racines carrées 25 - 9 = 5 3 - = 2 25 - 9 16 = = 4 1

36 - 100 = 6 10 - = -4 n'a pas de 36 - 100 sens car 36 -100 = -64 Il n’y a aucune règle pour la somme et la différence de deux racines carrées 36 - 100 = 6 10 - = -4 n'a pas de 36 - 100 sens car 36 -100 = -64 2

Ecrire un radical sous la forme a b avec a et b entiers et b le plus petit entier positif possible.

avec b entier le plus petit possible 12 Ecrire sous la forme a avec b entier le plus petit possible b 12 4  3 = 1 = 4  3 = 2 3 9 4 1

avec b entier le plus petit possible 72 Ecrire sous la forme a avec b entier le plus petit possible b 72 36 2 = 2 = 36  2 = 6 2 64 49 36

donner le résultat sous entier le plus petit possible Calculer un produit et donner le résultat sous la forme a avec b entier le plus petit possible b

le résultat sous la forme a avec b entier le plus petit possible Calculer et donner le résultat sous la forme a avec b entier le plus petit possible 6 18  b 6  18 =   = 3 2  9 2 2 ( )²  3  3 =  3 2  3 = 6 3 1

le résultat sous la forme a avec b entier le plus petit possible Calculer et donner le résultat sous la forme a avec b entier le plus petit possible 10 15  b 10  15 =   = 2 5  3 5 5 ( )²  6 = 6  5 = 5 6 2

Calculer et réduire une somme algébrique

Réduire : 6 7 - 11 7 + 3 7 = -2 7 1

Réduire : 3 7 - 2 5 + 5 7 = 8 7 - 2 5 2

3 5 + 2 45 - 20 7 8 - 3 2 + 72 Calculer et réduire et donner le résultat sous la forme a b : 3 5 + 2 45 - 20 7 8 - 3 2 + 72

2 3 5 + 45 - 20 = 3 3 5 + 2 95 - 45 = 3 5 + 2 9  5 - 4  5 = = 3 5 + 2  3  5 - 2  5 3 5 + 6 5 - 2 5 = 7 5

3 7 8 - 2 + 72 = 4 - 7 3 + 362 = 42 2 - 3 2 7 4  2 + 36  2 = 7  2  2 - 3 2 + 6  2 = 14 2 - 3 2 + 6 2 = 17 2

Développer un produit et réduire si c’est possible

Développer et réduire avec la distributivité simple et double : ( ) 2 + = 7 7 ( ) 5 6 - 7 = 6 ( 2 + 3 ) ( 1 - 2 ) = ( 5 - 4 ) ( 3 - 5 ) =

( ) 2 + = 7 7 ( )² = 2 + 7 7 2 + 7 7 1

( ) 5 6 - 7 = 6 = 5 ( )² 6 - 7 6 5  6 - 7 6 = 30 - 7 6 2

( 2 + 3 ) ( 1 - 2 ) = ( )² - 2 + 3 - 3 2 = 2 2 - 2 + 3 - 3 2 = 1 - 2 2 3

( 5 - 4 ) ( 3 - 5 ) = ( )² 3 - 5 - 12 + 4 5 = 5 3 5 - 5 - 12 + 4 5 = -17 + 7 5 4

avec les identités remarquables : Développer et réduire avec les identités remarquables : ( 3 - 11 )² = ( )² 5 = 7 + ( ) ( ) 3 3 = 5 + 5 - ) ( 2 ) ( 2 7 + 5 = 7 - 5

( 3 - 11 )² = ( )² 9 - 6 11 + 11 = 9 - 6 11 + 11 = 20 - 6 11 1

( )² 5 = 7 + 25 ( )² + 10 7 + = 7 7 + 10 7 + 25 = 32 + 10 7 2

( ) ( ) 3 3 = 5 + 5 - - ( )² 9 5 = 5 - 9 = -4 3

) ( 2 ) ( 2 7 + 5 = 7 - 5 (2 )² - 25 = 7  4 7 - 25 = 28 - 25 = 3 4

Equations x² = a

Résoudre x² = 49 x = 7 ou x = -7 L'équation a deux solutions 7 et -7 1

Résoudre x² = 11 x = ou 11 x = - 11 L'équation a deux solutions et - 2

Résoudre x² = 0 x = 0 L'équation a une solution 0 3

Résoudre x² = -16 L'équation n'a pas de solution car -16 est négatif 4

Equation x² = a Si a>0 l'équation a 2 solutions : a et a - Si a=0 l'équation a une seule solution : Si a<0 l'équation n'a pas de solution

Fin !