Périodicité, Apériodicité, Universalité et autres petits problèmes… Pavages Périodicité, Apériodicité, Universalité et autres petits problèmes…

Principes de bases Principaux résultats Recherches actuelles

1. Principe de Base Une Tuile est un carré orienté, aux bordures colorées.

Règles d’assemblage Deux tuiles s’assemblent si leur couleur a leur bord commun est la même.

Système de Tuiles Un système de tuiles est un ensemble de tuiles coloriées sur un ensemble de couleurs C.

Énumération des systèmes Tout comme pour les Machines de Turing, ont peut coder les systèmes de tuiles. On parlera donc de Ti comme étant le ième système de tuiles.

Est-ce qu’un système de tuiles Ti pave le plan? Les Problèmes Les problèmes qu’on se pose sont de la forme: Est-ce qu’un système de tuiles Ti pave le plan?

Périodicité Un pavage est périodique s’il existe un vecteur de translation horizontal et vertical pour toutes tuiles. Théorème: Si un système de tuiles pave le plan et que ce pavage admet un vecteur de translation pour toutes tuiles, alors ce système pave le plan périodiquement.

Exemple de pavage périodique

Tout système de tuiles qui pave le plan admet-il un pavage périodique? La Question Tout système de tuiles qui pave le plan admet-il un pavage périodique?

2. Principaux Résultats Théorème: (Berger) Le problème de savoir si un système de tuiles pave le plan est indécidable. Corollaire : Il existe des systèmes de tuiles qui pavent le plan uniquement de manière non périodique.

Corollaire: Les machines de Turing et les pavages sont équivalents. Pour toute machine de Turing Mi, et toute entrée w, il existe un pavage Ti qui pave le plan si et seulement si Mi s’arrête sur w.

Motifs Un motif est un sous-ensemble de tuiles bien assemblées.

Quasipériodicité Un pavage du plan est dit quasipériodique si pour tout motif de taille n du pavage, il existe un f(n), tel que dans tout carré de côté f(n), apparaisse au moins une fois le motif.

Exemple

Fonction de quasipériodicité Théorème: Si un système de tuiles pave le plan, alors il le pave de manière quasipériodique. On appelle fonction de quasipériodicité d’un pavage la fonction qui relie aux motifs de taille n du pavage le plus petit f(n) tel que dans tout carré de côté f(n) apparaisse au moins une fois les motifs.

Type de fonction Quel que soit une fonction f récursive, il existe un système de tuiles qui pave le plan et dont la fonction de quasipériodicité ressemble a f. Il existe des fonctions de quasipériodicité qui croissent plus vite que n’importe quelle fonction récursive.

Classification actuelle des pavages Pavages finis Pavages Périodiques Pavages auto-similaires Pavages récursifs, ni 1,2 ou 3 Pavages non-récursifs

3. Recherches Actuelles Classification des pavages périodiques Théorème de Rice pour les pavages Pavage universel

Périodique peut être dur

Fonction de périodicité G Ce qu’on sait: G est non récursive G croît plus vite que n’importe quelle fonction récursive G est croissante Ce qu’on ne sais pas: G est strictement croissante?

Classification des périodiques avec les jeux Pour un système de tuiles, une pièce de jeu est un polygone aux bords coloriés, de taille limitée, qui est pavable.

Initialisation du jeu J1 choisit les pièces du jeu et les réparties entre lui et J2. J1 J2

Le Jeu Les joueurs posent les pièces chacun à leur tour, de manière à ce que toutes nouvelles zones soient Ti-pavables

Score final et but du jeu Quand un joueur passe son tour il ne peut plus jouer. Le score final est la différence entre la zone de J1 et celle de J2 compris entre –m(i) et m(i). Le but de J1 est de faire le plus petit score possible, celui de J2 est d’empêcher la formation d’une période.

Classification et Objectifs Le score le plus petit que peut obtenir J1 est la complexité de périodicité. Plus elle est petite, plus la période est simple. Le but est d’étudier les différentes complexités qu’ont peut obtenir pour classifier les pavages périodiques.

Théorème de Rice En calculabilité, le théorème de Rice dit que: L={ i | L(Mi) satisfait P } est non récursif si P est non triviale (P est triviale si tout (resp. aucun) langage satisfait à cette propriété).

Lacet sur le plan Un lacet sur le plan est une application récursive bijective:

Nombre et pavage La valeur d’un pavage relativement à un lacet l est le nombre réel dont la ième décimale est le code de la tuile se trouvant sur la case l(i). Ps 1 2 3

Propriété sur les pavages Une propriété sur les pavages est un sous ensemble P de [0,1]. Un système de tuile satisfait à P s’il existe un pavage du plan L, un lacet l, et une numérotation des tuiles du système de manière à ce que V(L) soit dans P.

Rice pour les pavages Étudier les propriétés P qui sont triviales au sens de Rice. Étudier les propriétés P qui peuvent générer des ensembles récursivement énumérables. Montrer que les propriétés sont indépendantes du lacet l pris en compte.

Universalité Objectif: avoir une définition d’universalité adaptée aux pavages, et qui s’éloigne de celle liée aux machines de Turing. On va voir trois définitions d’universalité

Universalité forte directe Un pavage PFD est universel fort direct si pour tout système de tuile Ti qui pave le plan, il existe un pavage du plan Pj par ce système et une correspondance entre les tuiles de Ti et les motifs de PFD de manière à ce que le pavage PFD réduit aux motifs soit équivalent à Ti.

Pavage universel FD

Universalité forte indirecte Un pavage PFi est universel fort indirect si pour tout système de tuile Ti qui pave le plan, il existe un pavage du plan Pj par ce système et une correspondance entre les motif de Pi et les motifs de PFi de manière à ce que le pavage PFi réduit aux motifs soit équivalent à Pj réduit aux motifs.

Pavage universel FI

Pavage universel faible Un pavage Pwi est universel fort indirect si pour tout système de tuile Ti qui pave le plan, il existe un pavage du plan Pj par ce système et une correspondance entre les tuile de Pi et les motifs de PuF de manière à ce que dans le pavage PuF réduit aux motifs, tout motif de Pj apparaisse au moins une fois.

Questions Ou… Apéros?