Représentation des systèmes dynamiques dans l’espace d’état © Guy Gauthier ing. Ph.D

Équations différentielles Les systèmes industriels peuvent être représentés par une série d’équations différentielles ordinaires. Cette série d’équation peut être mise sous une forme matricielle. Cette représentation matricielle est appelée représentation dans l’espace d’état. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Forme générale des modèles dymanique Ensemble d’équations différentielles du 1er ordre : Variables d’état Variables d’entrées Paramètres (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Représentation vectorielle Équation : Si les paramètres sont constants, on peut écrire : S’il n’y a pas d’entrées (u=0), le système est dit « autonome ». (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Solutions en régime permanent Les solutions sont très simples, puisqu’en régime permanent le système n’évolue plus (ce qui implique que les dérivées sont nulles): Donne les valeurs des états xs, des entrées us et des paramètres ps. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple Soit un pendule modélisé par: Paramètre Angle Couple (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple Soit un pendule modélisé par: États: Position (Angle) Vitesse (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple Équations d’état: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple Si T(t) = 0, on trouve deux positions d’équilibre, en posant f1 et f2 égaux à 0. Ce qui mène à: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple Si T(t) = a2, on trouve la position d’équilibre, en posant f1 et f2 égaux à 0. Ce qui mène à: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Les sorties de ce système Les p sorties du système dynamique sont représentées par ces équations: Sorties Variables d’entrées Paramètres (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Les sorties de ce système On peut mettre les équations des sorties sous forme vectorielle: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Diagramme bloc du système C’est un schéma bloc général, puisque f et g peuvent être non-linéaires. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Représentation matricielle Équations : La matrice A est nommée la matrice Jacobienne : Détermine la stabilité du système; Détermine la vitesse de la réponse. Valeurs propres (eigenvalues). (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Il peut arriver que f(x,u,p) et/ou g(x,u,p) ne soient pas linéaires. Comment analyser un tel système ? Linéarisation (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Linéarisation Permet de transformer une équation non-linéaire en une équation linéaire applicable autour d’un point d’opération donné : En xs, us (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas avec une seule variable Équation non-linéaire : La série de Taylor permet de linéariser : On néglige les termes d’ordre plus élevés ! (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas avec une seule variable (suite) Le point d’opération autour duquel on linéarise le système est le point atteint en régime permanent, donc : En conséquence : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas avec une seule variable (suite) Comme : On peut poser : Et écrire : Puisque xs constant (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas une entrée/une variable d’état Équation non-linéaire : La série de Taylor permet de linéariser : Les termes d’ordre supérieur seront négligés (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas 1 entrée/1 variable d’état (suite) On pose : Donc : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas 1 entrée/1 variable d’état (Ajout d’une sortie) Équation non-linéaire : La série de Taylor permet de linéariser : Les termes d’ordre supérieur seront négligés La sortie en régime permanent (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas 1 entrée/1 variable d’état (Ajout d’une sortie - suite) En posant : On obtient pour la sortie linéarisée : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #1 Réservoir cylindrique dont on mesure le niveau: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple #1 Hauteur d’un réservoir avec écoulement de sortie non-linéaire : Série de Taylor : Négligeant les termes d’ordre supérieur (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple #1 (suite) En dérivant : En régime permanent : Permet d’obtenir hs à partir de Fs et des paramètres… (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #1 (suite) Écart Écart Donc : Ou encore : a b (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas une entrée/deux variables d’état/une sortie Équations non-linéaires : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas 1 E/2 V.E./1 S (suite) Pour linéariser l’ensemble : Les termes d’ordre supérieur seront négligés (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas 1 E/2 V.E./1 S (suite) Pour linéariser l’ensemble : Avec : Les termes d’ordre supérieur seront négligés (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Cas 1 E/2 V.E./1 S (suite) Comme : On écrit : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Cas 1 E/2 V.E./1 S (suite) Et : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple pendule Rappel de l’équation d’état non-linéaire (avec entrée nulle): (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple pendule À x1s = x2s = 0 (pendule vers le bas): (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple pendule À x1s = π, x2s = 0 (pendule vers le haut): (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Généralisant Système ayant n états, m entrées et p sorties: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Définitions des éléments des matrices de linéarisation Élément de la matrice Jacobienne (A) : Élément de la matrice B : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Définitions des éléments des matrices de linéarisation Élément de la matrice C : Élément de la matrice D : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Forme après la linéarisation Équation d’état : Forme habituelle: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 Deux réservoirs en interaction : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 (suite) Équations du système : Si la sortie h2 nous intéresse : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 (suite) Posons : Calcul de la Jacobienne : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 (suite) Calcul de la Jacobienne : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 (suite) Calcul de la matrice B : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 (suite) Calcul de la matrice C : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 (suite) Bilan : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Solution pour des entrées nulles L’équation générale d’un modèle dans l’espace d’état est : Si l’entrée est nulle (u = 0), alors on peut écrire : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Cas à une variable Pour un système représenté par : La solution est : Elle converge si a<0. Alors, le système est dit stable. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Cas multivariable Par extension, la solution d’un système ayant plusieurs variables d’état sera : Problème : Comment calculer l’exponentielle d’une matrice ? (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Méthode de la transformation de similarité Prenons en exemple une matrice A de taille 2x2. Les valeurs propres de cette matrice (eigenvalue) sont les racines de l’équation caractéristique de la matrice A. Cette équation caractéristique est obtenue comme suit: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Valeurs propres (Exemple) Soit la matrice A suivante : L’équation caractéristique est : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Valeurs propres (Exemple - suite) Les valeurs propres de A sont –1 et –5. Fonction sur MATLAB : eig(A) (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Méthode de la transformation de similarité (suite) Associé à la valeur propre li, il y a le vecteur propre xi. Un vecteur propre est un vecteur xi qui est solution de : pour la valeur propre correspondante li. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Vecteurs propres (Exemple - suite) Pour λ1 = -1, le vecteur propre sera la solution de : Une solution possible est : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Vecteurs propres (Exemple) Pour λ2 = -5, le vecteur propre sera la solution de : Une solution possible est : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Méthode de la transformation de similarité (suite) On peut généraliser en écrivant : Avec : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Méthode de la transformation de similarité (suite) On peut écrire : En multipliant par t et en faisant l’exponentielle, on trouve : Avec : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Solution du système Ainsi : Toutes les valeurs propres de A doivent être inférieures à 0 pour que la réponse soit stable. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Fin de l’exemple Solution : Ou encore (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Effet de la direction de la condition initiale Pour faciliter l’analyse, on peut s’assurer que les variables d’état soient indépendantes les unes des autres. Ainsi, définissons une nouvelle variable d’état z, en posant : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Solution de ce système La solution est (si 2x2) : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Condition initiale #1 Si la condition initiale est de la forme : Alors la réponse est : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Condition initiale #1 La condition initiale : Donne une réponse dont la vitesse est associée à λ1. La réponse est dite « dans la direction de λ1 ». (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Condition initiale #1 Si on revient dans la variable originale : De même pour λ2  (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple Solution : Si z(0) = [1 0]T : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple Si z(0) = [0 1]T : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple Sous espace lent Sous espace rapide (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Solutions de la forme générale L’équation générale d’un modèle dans l’espace d’état est : Cette fois-ci, considérons que l’entrée u(t) n’égale pas 0. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Cas à une variable Pour un système représenté par : La solution est : Pour u(t) = constante = u(0). (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Cas multivariable Toujours par extension, la solution d’un système ayant plusieurs variables d’état sera : Avec : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. u(t) pas constant Si u(t) n’est pas constant, on peut faire un calcul numérique à chaque tranche de temps: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Méthode plus précise Calcul de l’état: Réponse à entrée nulle Réponse à condition initiale nulle (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Méthode plus précise Calcul de l’état: Calcul de la sortie: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Observabilité (Définition) Un système est dit observable à l’instant t0, si connaissant l’état du système x(t), il est possible, à partir de l’observation de la sortie y(t) sur un intervalle de temps fini (de t0 à t), de déterminer l’état x(t0). (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Observabilité Il est possible de vérifier à partir des équations d’état si l’ensemble des états sont observables ou non. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Contrôlabilité (Définition) Un système est dit contrôlable à l’instant t0, si connaissant l’état initial du système x(t0), il est possible d’appliquer une commande u(t) amenant ce système vers tout autre état sur un intervalle de temps fini. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Contrôlabilité Il est possible de vérifier à partir des équations d’état si l’ensemble des états sont contrôlables ou non. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Stabilité d’un système représenté par des équations d’état Le système est stable si : possède des valeur propres à partie réelle négative. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Stabilité Ainsi : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Analyse de la stabilité Se fait en calculant les racines de l’équation caractéristique de la matrice A : Valeurs propres (eigenvalues). (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple (réservoirs indépendants) Équation d’état : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple (réservoirs indépendants) Ce système est stable car les valeurs propres sont toutes négatives. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Vecteurs propres Les vecteurs propres peuvent servir à définir le comportement d’un système représenté dans l’espace d’état. Les vecteurs propres sont associées aux valeurs propres. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple (réservoirs indépendants) Vecteur propre #1 : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple (réservoirs indépendants) Vecteur propre #2 : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Fin de la présentation (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exponentielle d’une matrice D’où vient cette équation ? Exponentielle d’une matrice (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exponentielle d’une valeur scalaire Soit une valeur scalaire . Alors on peut écrire la série de l’exponentielle comme suit: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exponentielle d’une matrice Par extension, soit . Alors, on peut écrire la série suivante: Ce qui peut être long à calculer… (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Transformation de similarité (exemple) Soit . On peut obtenir les deux valeurs propres de cette matrice: . Et leur vecteur propre correspondant: . (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Transformation de similarité (exemple) Ainsi: Que l’on peut réécrire: . V est la matrice des vecteurs propres: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Transformation de similarité (exemple) Et... Λ est la matrice des valeurs propres: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Transformation de similarité Ainsi on peut écrire cette transformation comme étant: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Retour sur l’exponentielle Utilisant la transformation de similarité, on peut écrire la série exponentielle comme suit: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Il semble que l’on ne gagne rien, mais… Voyons le terme: On peut l’écrire: Puisque . On peut répéter ce manège pour les puissances supérieures… (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Et en plus… Λk est une matrice diagonale. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Effet sur la série Et puisque : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Effet sur la série Ou encore: Reconnaissez vous le terme entre parenthèses: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exponentielle d’une matrice diagonale L’exponentielle d’une matrice diagonale peut s’écrire: Chaque élément de la diagonale peut être vu comme un scalaire. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple numérique Soit: Les valeurs propres sont: -3, -4 et -5. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple numérique (suite) Les vecteurs propres correspondants sont: Sur MATLAB®: A = [0 1 0;0 0 1;-60 -47 -12] [S,V]=eig(A) (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple numérique (suite) L’exponentielle de Λt sera: Et: . (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.