Représentation des systèmes dynamiques dans l’espace d’état © Guy Gauthier ing. Ph.D

Équations différentielles Les systèmes industriels peuvent être représentés par une série d’équations différentielles ordinaires. Cette série d’équation peut être mise sous une forme matricielle. Cette représentation matricielle est appelée représentation dans l’espace d’état. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Forme générale des modèles dymanique Ensemble d’équations différentielles du 1er ordre : Variables d’état Variables d’entrées Paramètres (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Représentation vectorielle Équation : Si les paramètres sont constants, on peut écrire : S’il n’y a pas d’entrées (u=0), le système est dit « autonome ». (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Solutions en régime permanent Les solutions sont très simples, puisqu’en régime permanent le système n’évolue plus (ce qui implique que les dérivées sont nulles): Donne les valeurs des états xs, des entrées us et des paramètres ps. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Représentation matricielle Équations : La matrice A est nommée la matrice Jacobienne : Détermine la stabilité du système; Détermine la vitesse de la réponse. Valeurs propres (eigenvalues). (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Il peut arriver que f(x,u,p) et/ou g(x,u,p) ne soient pas linéaires. Comment analyser un tel système ? Linéarisation (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Linéarisation Permet de transformer une équation non-linéaire en une équation linéaire applicable autour d’un point d’opération donné : En xs, us (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas avec une seule variable Équation non-linéaire : La série de Taylor permet de linéariser : On néglige les termes d’ordre plus élevés ! (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas avec une seule variable (suite) Le point d’opération autour duquel on linéarise le système est le point atteint en régime permanent, donc : En conséquence : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas avec une seule variable (suite) Comme : On peut poser : Et écrire : Puisque xs constant (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas une entrée/une variable d’état Équation non-linéaire : La série de Taylor permet de linéariser : Les termes d’ordre supérieur seront négligés (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas 1 entrée/1 variable d’état (suite) On pose : Donc : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas 1 entrée/1 variable d’état (Ajout d’une sortie) Équation non-linéaire : La série de Taylor permet de linéariser : Les termes d’ordre supérieur seront négligés La sortie en régime permanent (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas 1 entrée/1 variable d’état (Ajout d’une sortie - suite) En posant : On obtient pour la sortie linéarisée : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple #1 Hauteur d’un réservoir avec écoulement de sortie non-linéaire : Série de Taylor : Négligeant les termes d’ordre supérieur (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple #1 (suite) En dérivant : En régime permanent : Permet d’obtenir hs à partir de Fs et des paramètres… (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #1 (suite) Écart Écart Donc : Ou encore : a b (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas une entrée/deux variables d’état/une sortie Équations non-linéaires : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas 1 E/2 V.E./1 S (suite) Pour linéariser l’ensemble : Les termes d’ordre supérieur seront négligés (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Cas 1 E/2 V.E./1 S (suite) Pour linéariser l’ensemble : Avec : Les termes d’ordre supérieur seront négligés (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Cas 1 E/2 V.E./1 S (suite) Comme : On écrit : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Cas 1 E/2 V.E./1 S (suite) Et : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Généralisant Système ayant n états, m entrées et p sorties: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Définitions des éléments des matrices de linéarisation Élément de la matrice Jacobienne (A) : Élément de la matrice B : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Définitions des éléments des matrices de linéarisation Élément de la matrice C : Élément de la matrice D : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Forme après la linéarisation Équation d’état : Forme habituelle: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 Deux réservoirs en interaction : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 (suite) Équations du système : Si la sortie h2 nous intéresse : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 (suite) Posons : Calcul de la Jacobienne : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 (suite) Calcul de la Jacobienne : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 (suite) Calcul de la matrice B : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 (suite) Calcul de la matrice C : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 (suite) Bilan : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Système du deuxième ordre Exemple Soit un système du deuxième ordre qui est représenté par : Posant : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Système du deuxième ordre Alors on peut réécrire sous cette forme : Ou encore : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Système du deuxième ordre Pour la sortie : Ou encore : Fin (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Système à 2 entrées et 2 sorties Exemple Soit un système représenté par : Posant : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Système à 2 entrées et 2 sorties Donc : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Système à 2 entrées et 2 sorties Alors on peut réécrire sous cette forme : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Système à 2 entrées et 2 sorties Fin (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Pendule inversé Exemple Soit un pendule inversé monté sur un chariot motorisé. Les déplacements du chariot doivent permettre de conserver la tige du pendule dans sa position verticale. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Position du centre de gravité La position du centre de gravité de la tige : x : position du chariot; l : demi-longueur de la tige du pendule; θ : Angle de la tige avec la verticale. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Dynamique angulaire du pendule Le moment angulaire autour du centre de gravité est : I : moment d’inertie de la tige par rapport à son centre de gravité. CG V H (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Dynamique horizontale du pendule Le mouvement horizontal du centre de gravité de la tige est représenté par : Non-linéaire (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Dynamique verticale du pendule Le mouvement vertical du centre de gravité de la tige est représenté par : Non-linéaire (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Dynamique du chariot Le mouvement horizontal du chariot est représenté par : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Simplification Si l’angle θ est très petit, alors : Linéaire (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Simplification [2] Réécrivons les équations (I=0) : Posant : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Passage aux équations d’état Les sorties qui nous intéressent sont : position du chariot angle de la tige du pendule (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Passage aux équations d’état Les équations sont : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Équations d’état (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple numérique M = 2 kg, m = 0.1 kg, l = 0.5 m : Fin (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Solution pour des entrées nulles L’équation générale d’un modèle dans l’espace d’état est : Si l’entrée est nulle (u = 0), alors on peut écrire : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Cas à une variable Pour un système représenté par : La solution est : Elle converge si a<0. Alors, le système est dit stable. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Cas multivariable Par extension, la solution d’un système ayant plusieurs variables d’état sera : Problème : Comment calculer l’exponentielle d’une matrice ? (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Méthode de la transformation de similarité Prenons en exemple une matrice A de taille 2x2. Les valeurs propres de cette matrice (eigenvalue) sont les racines de l’équation caractéristique de la matrice A. Cette équation caractéristique est obtenue comme suit: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Valeurs propres (Exemple) Soit la matrice A suivante : L’équation caractéristique est : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Valeurs propres (Exemple - suite) Les valeurs propres de A sont –1 et –5. Fonction sur MATLAB : eig(A) (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Méthode de la transformation de similarité (suite) Associé à la valeur propre li, il y a le vecteur propre xi. Un vecteur propre est un vecteur xi qui est solution de : pour la valeur propre correspondante li. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Vecteurs propres (Exemple - suite) Pour λ1 = -1, le vecteur propre sera la solution de : Une solution possible est : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Vecteurs propres (Exemple) Pour λ2 = -5, le vecteur propre sera la solution de : Une solution possible est : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Méthode de la transformation de similarité (suite) On peut généraliser en écrivant : Avec : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Méthode de la transformation de similarité (suite) On peut écrire : En multipliant par t et en faisant l’exponentielle, on trouve : Avec : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Solution du système Ainsi : Toutes les valeurs propres de A doivent être inférieures à 0 pour que la réponse soit stable. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Fin de l’exemple Solution : Ou encore (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Effet de la direction de la condition initiale Pour faciliter l’analyse, on peut s’assurer que les variables d’état soient indépendantes les unes des autres. Ainsi, définissons une nouvelle variable d’état z, en posant : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Solution de ce système La solution est (si 2x2) : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Condition initiale #1 Si la condition initiale est de la forme : Alors la réponse est : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Condition initiale #1 La condition initiale : Donne une réponse dont la vitesse est associée à λ1. La réponse est dite « dans la direction de λ1 ». (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Condition initiale #1 Si on revient dans la variable originale : De même pour λ2  (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple Solution : Si z(0) = [1 0]T : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple Si z(0) = [0 1]T : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple Sous espace lent Sous espace rapide (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Solutions de la forme générale L’équation générale d’un modèle dans l’espace d’état est : Cette fois-ci, considérons que l’entrée u(t) n’égale pas 0. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Cas à une variable Pour un système représenté par : La solution est : Pour u(t) = constante = u(0). (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Cas multivariable Toujours par extension, la solution d’un système ayant plusieurs variables d’état sera : Avec : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. u(t) pas constant Si u(t) n’est pas constant, on peut faire un calcul numérique à chaque tranche de temps: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Méthode plus précise Calcul de l’état: Réponse à entrée nulle Réponse à condition initiale nulle (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Méthode plus précise Calcul de l’état: Calcul de la sortie: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Observabilité (Définition) Un système est dit observable à l’instant t0, si connaissant l’état du système x(t), il est possible, à partir de l’observation de la sortie y(t) sur un intervalle de temps fini (de t0 à t), de déterminer l’état x(t0). (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Observabilité Il est possible de vérifier à partir des équations d’état si l’ensemble des états sont observables ou non. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Observabilité Exemple: Le système est observable. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Contrôlabilité (Définition) Un système est dit contrôlable à l’instant t0, si connaissant l’état initial du système x(t0), il est possible d’appliquer une commande u(t) amenant ce système vers tout autre état sur un intervalle de temps fini. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Contrôlabilité Il est possible de vérifier à partir des équations d’état si l’ensemble des états sont contrôlables ou non. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Contrôlabilité Exemple: Le système est contrôlable. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple #1 (Observabilité/Contrôlabilité) Système : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple #1 (Observabilité/Contrôlabilité - suite) Observable (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple #1 (Observabilité/Contrôlabilité - suite) Contrôlable (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple #2 (Observabilité/Contrôlabilité) Système : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple #1 (Observabilité/Contrôlabilité - suite) Observable (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple #2 (Observabilité/Contrôlabilité - suite) Non-Contrôlable (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Stabilité d’un système représenté par des équations d’état Le système est stable si : possède des valeur propres à partie réelle négative. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Stabilité Ainsi : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Analyse de la stabilité Se fait en calculant les racines de l’équation caractéristique de la matrice A : Valeurs propres (eigenvalues). (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple (réservoirs indépendants) Équation d’état : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple (réservoirs indépendants) Ce système est stable car les valeurs propres sont toutes négatives. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Vecteurs propres Les vecteurs propres peuvent servir à définir le comportement d’un système représenté dans l’espace d’état. Les vecteurs propres sont associées aux valeurs propres. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple (réservoirs indépendants) Vecteur propre #1 : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple (réservoirs indépendants) Vecteur propre #2 : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Valeurs propres, vecteurs propres et plan des phases (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #1 Équations d’état: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #1 Valeurs propres et vecteurs propres : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Trajectoires Les vecteurs propres définissent des bissectrices: Nœud stable (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 Équations d’état: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 Valeurs propres et vecteurs propres : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Trajectoires Effet de la valeur propre positive : Point de selle (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #3 Équations d’état: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #3 Valeurs propres et vecteurs propres : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Trajectoires Nœud stable (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #4 Équations d’état: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #4 Valeurs propres et vecteurs propres : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Trajectoires Point de selle (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #5 Équations d’état: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #5 Valeurs propres et vecteurs propres : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Trajectoires Nœud instable (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #6 Équations d’état: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #6 Valeurs propres et vecteurs propres : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Trajectoires Cycle limite (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Cas non-linéaires Voici quelques exemples de trajectoires non-linéaires. Un système non-linéaire peut avoir plusieurs points d’équilibre. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #1 Système bi-linéaire : Points d’équilibre : Cas trivial : Cas non-trivial : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #1 Linéarisant : Cas trivial : Instable (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #1 Cas non-trivial : Stable (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #1 (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 Réacteur biologique avec cinématique de type Monod : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 Variables : X1 = biomasse (cellules) [gr/l] X2 = substrat (nourriture des cellules) [gr/l] X2f = substrat entrant [gr/l] Y = rendement (cellules produites vs substrat consommé) D = taux de dilution (temps pour renouveler le contenu du réservoir) [hr-1] μ = taux de croissance [hr-1] x1 et x2 sont des concentrations (masse/volume) dans le réservoir X2f = concentration de substrat entrant dans le réservoir (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 Taux de croissance : Si μmax = 0.53, km = 0.12, Y = 0.4 et x2fs = 4.0 x1 et x2 sont des concentrations (masse/volume) dans le réservoir X2f = concentration de substrat entrant dans le réservoir (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 Linéarisant : Points d’équilibre : Cas trivial : Cas non-trivial : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 Cas trivial : Instable (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple #2 Cas non-trivial : Stable (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Fin de la présentation (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exponentielle d’une matrice D’où vient cette équation ? Exponentielle d’une matrice (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exponentielle d’une valeur scalaire Soit une valeur scalaire . Alors on peut écrire la série de l’exponentielle comme suit: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exponentielle d’une matrice Par extension, soit . Alors, on peut écrire la série suivante: Ce qui peut être long à calculer… (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Transformation de similarité (exemple) Soit . On peut obtenir les deux valeurs propres de cette matrice: . Et leur vecteur propre correspondant: . (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Transformation de similarité (exemple) Ainsi: Que l’on peut réécrire: . V est la matrice des vecteurs propres: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Transformation de similarité (exemple) Et... Λ est la matrice des valeurs propres: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Transformation de similarité Ainsi on peut écrire cette transformation comme étant: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Retour sur l’exponentielle Utilisant la transformation de similarité, on peut écrire la série exponentielle comme suit: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Il semble que l’on ne gagne rien, mais… Voyons le terme: On peut l’écrire: Puisque . On peut répéter ce manège pour les puissances supérieures… (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Et en plus… Λk est une matrice diagonale. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Effet sur la série Et puisque : (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Effet sur la série Ou encore: Reconnaissez vous le terme entre parenthèses: (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exponentielle d’une matrice diagonale L’exponentielle d’une matrice diagonale peut s’écrire: Chaque élément de la diagonale peut être vu comme un scalaire. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

(c) Guy Gauthier ing.Ph.D. Exemple numérique Soit: Les valeurs propres sont: -3, -4 et -5. (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple numérique (suite) Les vecteurs propres correspondants sont: Sur MATLAB®: A = [0 1 0;0 0 1;-60 -47 -12] [S,V]=eig(A) (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.

Exemple numérique (suite) L’exponentielle de Λt sera: Et: . (c) Guy Gauthier ing.Ph.D.