10. La modulation FM à large bande ELG3575 10. La modulation FM à large bande

La modulation de fréquence à large bande (« Wideband FM » - WBFM) La modulation FM à bande étroite exige que bF << 1. Alors tous les signaux FM pour lesquelles ce n’est pas vrai sont considérés d’être la modulation à large bande. Cependant, typiquement bF > 1 Pour la modulation FM à large bande, la largeur de bande du signal modulé est plus large que la modulation des signaux FM à bande étroite parce que Dfmax est plus grande. Alors, le spectre d’un signal FM à large bande est non zéro sur une plus grande gamme de fréquences.

Signal WBFM pour m(t) = Amcos2pfmt et son enveloppe complexe. Prenons l’exemple où m(t) = Amcos2pfmt. Le signal FM est :

La série de Fourier de l’enveloppe complexe du signal WBFM pour m(t) = Amcos2pfmt. L’enveloppe complexe du signal FM dans ce cas est un signal périodique avec fréquence fondamentale fm. où

La série de Fourier de l’enveloppe complexe du signal WBFM pour m(t) = Amcos2pfmt. En remplaçant 2pfmt par x, devient La fonction de Bessel du premier genre d’ordre n, Jn(b) est donnée par : Alors

La série de Fourier de l’enveloppe complexe du signal WBFM pour m(t) = Amcos2pfmt. Alors l’enveloppe complexe peut être exprimé par Et le signal FM est:

Le spectre du signal WBFM quand m(t) = Amcos2pfmt. Le spectre de ce signal est : Cette expression démontre que le spectre du signal FM consiste d’un nombre infini d’impulsions aux fréquences f = fc+nfm. Alors la largeur de bande théorique d’un signal FM est infinie. Cependant, des propriétés de la fonction de Bessel du premier genre, la plupart des impulsions de l’expression ci-dessus ne contribuent pas beaucoup à la puissance du signal FM. Nous définissons la largeur de bande pratique d’un signal d’être la largeur de bande qui au moins 99% de la puissance totale du signal.

La fonction Jn(b)

Les propriétés de Jn(b) 1) Si n est un entier : Jn(b) = J-n(b) pour n paire et Jn(b) =-J-n(b) pour n impaire Quand b << 1 J0(b) ≈ 1 J1(b) ≈ b/2 Jn(b) ≈ 0, n > 1 4) Im{Jn(b)}=0 2) 3)

Puissance du signal FM La puissance d’un signal FM est : Si on trouve la puissance à partir de l’expression ci-dessus, on trouve:

Filtrage d’un signal FM pour limiter sa largeur de bande. Nous voulons choisir B pour que la puissance de x(t) soit au moins 0.99× la puissance de sFM(t). où X est la plus grande valeur de n qui satisfait les relations : et

La puissance de x(t) est : Alors, on doit choisir X pour que : On sait que Jn2(bF) = J-n2(bF). Alors

Valeurs de la fonction Jn(b). 0.997 0.99 0.938 0.765 0.224 -0.2601 -0.178 -0.246 1 0.05 0.1 0.242 0.44 0.577 0.3391 -0.323 0.043 2 0.001 0.005 0.031 0.115 0.353 0.4861 0.047 0.255 3 2×10-5≈0 1.6×10-4 0.0026 0.02 0.129 0.3091 0.365 0.058 4 0.002 0.034 0.1320 0.391 -0.220 5 0.007 0.0430 0.261 -0.234 6 0.0114 0.131 -0.014 7 0.0025 0.053 0.217 8 0.018 0.318 9 0.006 0.292 10 0.207 11 0.123 12 0.063 13 0.029

Exemple Le signal m(t) = Amcos(2pfmt) va être transmis en utilisant la modulation FM. Trouvez la largeur de bande pratique pour (a) Am = 5V, fm = 20 Hz et kf = 4 Hz/V (b) Am = 10V, fm = 400 Hz et kf = 200 Hz/V. SOLUTION (a) Dans cette exemple, bF = (5)(4)/(20) = 1. On doit trouver X pour que S = . Du tableau, si X = 1, S = (0.7652+2×0.442)=0.9648. Si X = 2, S = 0.9648+2×0.1152 = 0.9912. Alors X = 2 et B = 4fm. (b) Ici, bF = (10)(200)/(400) = 5. Il faut que X = 6, pour que S = 0.994. Alors B = 12fm.

La règle de Carson (*****) Pour m(t) = Amcos(2pfmt), si nous évaluons la largeur de bande pour chaque b où b est un entier, on trouve que X = b+1. Alors, on estime la largeur de bande pratique du signal FM B = 2(bF+1)fm. Pour n’importe quel signal m(t) avec valeur maximum Am et largeur de bande Bm, la largeur de bande du signal modulé est difficile à trouver. Mais le pire cas, c’est quand c’est quand le spectre du signal m(t) est concentré autour de la fréquence f = Bm (comme une onde sinusoïdale). Alors, la largeur de bande d’un signal FM, BFM, qui transmet le signal m(t) est estimée par la loi de Carson qui dit : (*****)