Théorie électromagnétique Théorie de la ligne de transmission Lignes de transmission et guide d’ondes Analyse de réseau de micro-ondes Adaptation et réglage d’impédance Résonateur à micro-ondes Diviseur de puissance et coupleur directionnel Filtres à micro-ondes Théorie et conception des composants ferrimagnétique Bruit et distorsion non linéaire Dispositif actif RF et micro-ondes Conception d’amplificateur de micro-ondes Oscillateurs et mélangeurs Introduction aux systèmes de micro-ondes

Théorie électromagnétique Equation de maxwell :

. Signification physique des équations de Maxwell *La première équation, dite équation de Maxwell-Gauss exprime le fait que le flux de champ électrique à travers une surface fermé est relié à la charge électrique contenue à l’intérieur de cette surface. *La troisième équation exprime que le flux du champ magnétique à travers n’importe quelle surface fermée est nul. Il n’existe pas de monopôles magnétiques. *La quatrième équation, dite de Maxwell-Ampère, exprime la relation entre la circulation du champ magnétique sur un contour fermé et le flux de courant à travers une surface s’appuyant sur ce contour *Enfin la deuxiéme équation, dite de Maxwell-Faraday, donne la relation entre la circulation du champ électrique sur un contour fermé et la variation temporelle du flux du champ magnétique à travers une surface qui s’appuie sur ce contour. C’est le phénomène d’induction

Ondes planes S’il existe un repère tel que l’onde ne dépende plus que d’une seule coordonnée cartésienne d’espace alors l’onde est dite plane.

*Ondes planes progressives *Ondes sphériques progressives Le concept d’onde sphérique est plus réaliste car il correspond physiquement à une émission isotrope d’un signal à partir d’une source ponctuelle * Ondes sinusoïdales (ou monochromatiques ou harmoniques) OPPH très utilisée dans les problèmes de propagation d’ondes : *Ondes planes stationnaires une superposition de deux ondes planes progressives harmoniques (OPPH) :

L’équation d’onde et les solutions d’ondes de base

Condition de continuité

Onde incidente polarisée ⊥

Onde incidente polarisée //

Théorie de la ligne de transmission Ligne de transmission *Câble coaxial *Deux fils

Plaques parallèles Microruban Coplanaire

Modélisation d’une ligne de transmission On analyse une petite section ∆z de la ligne. On utilise des éléments idéaux pour modéliser la ligne. Loi de Kirchhoff

On relie la tension et le courant à z et z + ∆z, et dans la limite où ∆z → 0, on obtient : On solutionne : où Lien entre la tension et le courant : L’impédance caractéristique Z0 représente le rapport entre la tension et le courant sur la ligne.

Ligne sans pertes *Sans pertes : R = G = 0 *Les équation se simplifient : On obtient aussi :

Paramètres des lignes de transmission La constante diélectrique d’un milieu peut être complexe : tan δ est le facteur de pertes diélectriques

*Résistance de surface: Rs est la résistance du conducteur en supposant que tout le courant circule à une profondeur égale à la profondeur de pénétration δs. -Plus la fréquence augmente, plus le courant circule près de la surface d’un conducteur. -La densité de courant diminue en se rapprochant du centre du conducteur. -La profondeur `a laquelle la densité atteint 37% (1/e) de sa valeur à la surface est : * Effet de peau:

*Transport de puissance Ligne sans pertes : puissance transportée par les champs électriques et magnétiques aucune puissance transportée dans les conducteurs. *Ligne avec pertes : une partie de la puissance entre dans le conducteur dissipation sous forme de chaleur.

Ligne sans pertes terminée par une charge On applique une onde a la ligne, àz < 0 La charge peut être n’importe quoi : transistor, antenne, etc Le rapport tension-courant sur la ligne est égal à Z 0 Une partie de l’onde est réfléchie sur la ligne pour que le rapport tension courant à la charge soit ZL ( si Z L ≠ Z 0 )

Tension sur la ligne L’onde réfléchie est : L’onde totale sur la ligne : se propage vers la charge (onde incidente) se propage vers la source (onde réféchie) Coefficient de réflexion Le coefficient de réflexion est le rapport entre l’onde réfléchie et l’onde incidente : ≺ 1

La tension sur la ligne est : Rapport d’onde stationnaire: C’est le rapport entre Vmax et Vmin 1 ≤ SWR ≤ ∞ Puissance moyenne sur la ligne : Si ZL ≠ Z0, la puissance de la source ne se rend pas toute à la charge. Ce sont les pertes par réflexion : Return Loss

Impédance d’une ligne de transmission L’impédance vue `a l’entrée de la ligne de transmission : Equation très importante : la ligne transforme l’impédance de la charge. *Plusieurs cas spéciaux Charge : circuit ouvert (ZL = ∞), court-circuit (Z L = 0) Longueur : λ/4, λ/2, infinie

Ligne branchée à une autre ligne Réflexion :Transmission : Abaque de Smith Outil graphique très utile Permet de visualiser le comportement des lignes de transmission et des circuits micro-ondes. Développé en 1939 par P. Smith C’est un graphe polaire de Γ

Abaque de Smith

Désadaptation à la source Qu’arrive-t-il si la source n’est pas adaptée à la ligne (Z 0 ≠ Z g ) ? Il y a réflexion à l’entrée de la ligne. La puissance à la charge est :

Paramètres S *A des fréquences élevées ( > 100MHz environ), il est difficile d’obtenir des bons circuits ouverts ou court- circuit pour mesurer les caractéristiques d’un circuit. *Il est aussi difficile de mesurer des tensions et courants à des fréquences élevées. *Par contre, il est relativement facile de mesurer des ondes à l’aide de coupleurs directionnels. *Pour ces raisons, on utilise une matrice de dispersion (scatteringmatrix) pour caractériser les circuits hyperfréquences. *On applique une onde au circuit, et on mesure l’onde réfléchie

Paramètres S Pour obtenir les paramètres : Définition des paramètres :

Les paramètres S dépendent du plan de référence : la distance à laquelle ils sont mesurés. Cependant, si on veut déplacer le plan de référence, il suffit de modifier la phase du paramètre S : Pour le cas général, si on connaît les paramètres S et la charge,

Les paramètres S permettent de rapidement déduire le comportement d’un circuit en fonction de la fréquence. * S11, on peut voir si le circuit est bien adapté. *S21 permet de voir le gain (ou perte) à chaque fréquence. *S22 permet de voir l’adaptation à la sortie.

Guides d’onde Solutions générales des ondes TEM, TE et TM: On suppose que les champs électriques et magnétiques sont harmoniques dans le temps, et que la propagation se fait selon l’axez. Les champs électriques et magnétiques peuvent être écrits selon : e¯(x, y) et h ¯(x, y) les composantes transversalese z et h z sont les composantes longitudinales les équations de Maxwell peuvent être écrites selon :

le nombre d’onde de coupure le nombre d’onde du matériau du guide d’onde *Ondes TEM Les ondes TEM sont caractérisées par E z = H z = 0 A partir des équations(*),on obtient que tous les champs transversaux sont nuls, a moins que (*) k c = 0 pour les ondes TEM Les ondes TEM peuvent seulement exister lorsque deux ou plusieurs conducteurs sont présents. L’impédance de l’onde TEM est donnée par :

Ondes TE Les ondes TE sont caractérisées par Ez = 0 et Hz ≠ 0 Dans ce cas-ci, kc ≠ 0, et est fonction de la fréquence et de la géométrie du guide d’onde. L’impédance de l’onde TE est : ´ Ondes TM Les ondes TM sont caractérisées par Hz = 0 et Ez ≠ 0. Dans ce cas-ci, kc ≠ 0, et est fonction de la fréquence et de la géométrie du guide d’onde. L’impédance de l’onde TM est : Atténuation due aux pertes diélectriques L’atténuation dans un guide d’onde peut être causée par les pertes dans le diélectrique (α d ) ou les pertes dans le conducteur (α c ). L’atténuation totale est la somme des deux atténuations, α = αc + αd.

En utilisant la constante diélectrique complexe ( ɛ = ɛr ɛ0 (1−tanδ)) on peut écrire la constante de propagation selon : De façon générale, les pertes diélectriques dont faibles, et donc tan δ ≺≺ 1 Si les pertes sont faibles, la constante de phase β est la même, et l’attênuation est : pour les ondes TE ou TM Pour les ondes TEM(β = k)

Guide parallèle plan W ≻ ≻ d Pour le mode TEM, l’impédance du milieu est donnée par : Pour le mode TM, la fréquence de coupure du mode n est obtenue par la condition k = k c, ce qui donne Pour le mode TE, la même condition s’applique pour calculer la fréquence de coupure, et on obtient, pour le mode n :

Cette figure montre l’atténuation due au conducteur pour les modes TEM, TM1 et T E1. Noter que l’atténuation tend vers l’infini au fur et à mesure que l’on s’approche de la fréquence de coupure.

Guide rectangulaire Le guide rectangulaire est un guide ayant un seul conducteur Mode TE Pour le mode TE, la constante de propagation est : qui est réel seulement lorsque k > k c On appelle ces modes ( f c > f ) évanescents ´ Mode TM Le mode TM possède la même constante de propagation et la même fréquence de coupure que le mode TE Le plus bas mode TM qui se propage est TM11

Cable coaxial Puisque le câble coaxial contient deux conducteurs, il peut supporter un mode TEM. Son atténuation est Modes supérieurs Le prochain mode a se propager sur un câble coaxial (après le mode TEM) est le mode TE 11

Ligne a ruban Une solution exacte peut être obtenue pour la constante de propagation et l’impédance en utilisant une technique appelee ´ mappage conforme L’impédance Z 0 de la ligne est :où Design Lors du design d’une ligne a ruban, il est souvent nécessaire de trouver la largeur w de la ligne, étant donné l’impédance caractéristique. Les équations nécessaire sont : où

Ligne microruban Pour la plupart des applications, le diélectrique est électriquement mince ( d ≺≺ λ),et on dit que le mode de propagation est quasi-TEM L’impédance de la ligne peut être calculée selon : Design où

Adaptation d’impédances L’adaptation d’impédances permet de transformer une impédance d’entrée à une autre impédance. On utilise des éléments localisés (inductance, capacitance) ou des stubs. Facteurs qui peuvent influencer le choix d’un réseau d’adaptation : Complexité : Typiquement, le design le plus simple est le meilleur. Design simple : moins coûteux, plus fiable, moins de pertes. Largeur de bande : Tous les réseaux peuvent théoriquement donner une adaptation parfaite (Γ = 0) à une seule fréquence. Cependant, il faut souvent une large bande d’adaptation. Implantation : Selon le type de ligne de transmission, certain circuits sont plus faciles à implanter. Ex : des stubs s’intègrent bien dans des guides rectangulaires.

Adaptation avec éléments localis´es Le réseau le plus simple est le réseau L. Deux configurations sont possibles. Les réactances peuvent être des condensateurs ou des inductances. Il y a 8 configurations possibles. Comment savoir quel réseau choisir ? -Le choix se fait en fonction du lieu de Γ sur l’abaque de Smith. -Les éléments se déplaceront sur des cercles de résistance ou conductance constante.

Réseau L Selon le premier élément utilisé, la procédure est : -Parallèle :. Se déplacer sur des cercles de conductance constante, jusqu’au cercle z = 1 + jX.. Ajouter une réactance −jX en série pour atteindre le centre de l’abaque. -Série :. Se déplacer sur des cercles de résistance constante, jusqu’au cercle y = 1 + jB.. Ajouter une réactance −jB en parallèle pour atteindre le centre de l’abaque -- Pour bien comprendre l’adaptation d’impédances à l’aide de l’abaque de Smith, il faut bien comprendre le comportement des inductances et capacitances sur l’abaque. -- Il faut comprendre dans quelle direction se d´eplace le point, sur quelle ligne.

Inductance en série Soit une charge quelconque, dont on ajoute une inductance série. Quel est l’effet sur Γ ? Le point se déplace dans le sens horaire, sur un cercle de résistance constante. Une grande inductance implique un grand déplacement, et vice-versa

Capacitance en s´erie Soit une charge quelconque, dont on ajoute une capacitance série. Quel est l’effet sur Γ ?Le point se déplace dans le sens anti-horaire, sur un cercle de résistance constante. Une grande capacitance implique un petit déplacement, et vice-versa

Inductance en parallèle Soit une charge quelconque, dont on ajoute une inductance parallèle. Quel est l’effet sur Γ ? Le point se déplace dans le sens anti-horaire, sur un cercle de conductance constante. Une grande inductance implique un petit déplacement, et vice-versa.

Capacitance en parallèle Soit une charge quelconque, dont on ajoute une capacitance parallèle. Quel est l’effet sur Γ ? Le point se déplace dans le sens horaire, sur un cercle de conductance constante. Une grande capacitance implique un grand déplacement, et vice-versa.

Adaptation avec 1 stub -On utilise une ligne de transmission de longueur d, -On ajoute ensuite un stub (série ou parallèle). -Presque le même principe que le réseau L.. On fait une rotation sur un cercle de Γ constant en premier, au lieu d’une rotation de r constant.

Rappel : Γ constant Soit une charge quelconque, dont on ajoute une ligne. Le point z i fait une rotation de d, sur un cercle de Γ constant autour du centre de l’abaque.

Adaptation avec 1 stub parallèle Etape 1 : ajouter une ligne. 2 solutions possibles. Etape 2 : annuler la susceptance ±jb’ avec un stub parallèle de ± jb’ On lit la longueur de la ligne sur l’abaque. l 1 = stub court-circuit.

La technique est presque la même que celle du stub parallèle. On ajoute une longueur de ligne de sorte à se rendre jusqu’au cercle r = 1, plutôt que celui g = 1. Il y a 4 solutions possibles : 2 solutions pour la longueur de ligne, et 2 solutions pour le type de stub.

Adaptation avec 1 stub série Etape 1 : ajouter une ligne. 2 solutions possibles. Etape 2 : annuler la réactance ±jx’ avec un stub série de ± jx’.

On lit la longueur de la ligne sur l’abaque. l 1 = stub court-circuit. On lit la longueur de la ligne sur l’abaque. l2 = stub circuit ouvert. Adaptation à 2 stubs : permet d’obtenir un réseau d’adaptation où la distance entre la charge et les stubs n’est pas importante. Cependant, on ne peut pas adapter toutes les charges. Adaptation `a 3 stubs : Permet d’adapter toutes les charges. Ces circuits d’adaptation sont peu utilisés en pratique.

Adaptation λ/4 On peut utiliser une ligne λ/4 pour transformer une charge réelle à une autre impédance réelle. Il faut cependant annuler la réactance de la charge, avec des stubs ou inductance ou capacitance.

Diviseurs de puissance et coupleurs directionnels Des diviseurs de puissance et coupleurs directionnels sont des composants utilises pour combiner ou diviser de la puissance -Propriétés de base -Réseaux à 3 ports qui est un réseau avec deux entrées et une sortie. La matrice S générale contient 9 éléments. Si tous les ports sont adaptés, S11 = S22 =S33 = 0, et que le réseau est réciproque, on obtient :

si le réseau n’est pas réciproque, on peut avoir un systéme adaptè aux 3 ports qui est aussi sans pertes. On appelle ceci un circulateur idéal. ces dispositifs permettent seulement a la puissance de circuler en une direction Circulateur horaireCirculateur anti-horaire

Réseaux à 4 ports (coupleurs directionnels) On considére maintenant un réseau à4 ports, adaptée aux 4 ports Si le réseau est sans pertes, on obtient 10 équations à partir des équations de conservation d’énergie Pour simplifier la matrice encore plus, on choisit des reférences de phase sur 3 des 4 ports, de sorte que : Pour ce coupleur directionnel sans pertes, la matrice S devient :