Deux méthodes incrémentales pour le maintien dun arbre de connexion Nicolas Thibault Christian Laforest LaMI, équipe OPAL, Université dEvry ALGOTEL 2004

INTRODUCTION Données : Un réseau sous-jacent. Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). ALGOTEL 2004

INTRODUCTION Données : Un réseau sous-jacent. Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique). ALGOTEL 2004

INTRODUCTION Données : Un réseau sous-jacent. Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique). ALGOTEL 2004

INTRODUCTION Données : Un réseau sous-jacent. Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique). ALGOTEL 2004

INTRODUCTION Données : Un réseau sous-jacent. Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique). ALGOTEL 2004

INTRODUCTION Données : Un réseau sous-jacent. Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique). ALGOTEL 2004

INTRODUCTION Données : Un réseau sous-jacent. Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique). ALGOTEL 2004

INTRODUCTION Données : Un réseau sous-jacent. Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique). ALGOTEL 2004

INTRODUCTION Données : Un réseau sous-jacent. Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique). ALGOTEL 2004

INTRODUCTION Données : Un réseau sous-jacent. Des participants sont dévoilés au fur et à mesure (online). Objectif : Incrémenter une structure couvrante (construction dynamique). ALGOTEL 2004

INTRODUCTION : Les contraintes structurelles Contrainte Arbre : La structure couvrante doit être un arbre à chaque étape. Facilité du routage. ALGOTEL 2004

INTRODUCTION : Les contraintes structurelles Contrainte Arbre : La structure couvrante doit être un arbre à chaque étape. Facilité du routage. Contrainte Emboîtement : Les arbres successifs doivent être imbriqués les uns dans les autres. Ne pas perturber les communications en cours. Ne pas reconstruire larbre. ALGOTEL 2004

INTRODUCTION : Qualité de services Contraintes de qualité de services : Minimiser le temps de transmission moyen entre membres dans larbre. Minimiser le temps de transmission maximum entre membres dans larbre. ALGOTEL 2004

INTRODUCTION : Qualité de services Contraintes de qualité de services : Minimiser le temps de transmission moyen entre membres dans larbre. Minimiser le temps de transmission maximum entre membres dans larbre. Contraintes dencombrement du réseau : Minimiser le poids de larbre. ALGOTEL 2004

PLAN Définitions et notations Limites de toute approche online Deux algorithmes : sommet-ajout et plus-proche-ajout. Synthèse et perspectives ALGOTEL 2004

DEFINITIONS ET NOTATIONS : Modélisation G = (V, E,w) un graphe tel que : V représente les machines du réseau. E représente les liens entres machines. w (e) représente le coût associé à larête e appartenant à E d G (u,v) : La distance entre u et v dans G v u ALGOTEL 2004

DEFINITIONS ET NOTATIONS : Incrémentalité Notations : i le nombre de sommets ajoutés. M 0 M 1 … M i … les i groupes successifs ( i = | M i | ). T i larbre couvrant M i construit à la i ème étape. ALGOTEL 2004

DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser La somme des distances entre tout couple de membres de M dans G : C G ( M ) = Σ d G ( u,v ) u,v M ALGOTEL 2004

DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser La somme des distances entre tout couple de membres de M dans G : Le diamètre de M dans G : C G ( M ) = Σ d G ( u,v ) u,v M D G ( M ) = max { d G (u,v) : u,v M } ALGOTEL 2004

DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser La somme des distances entre tout couple de membres de M dans G : Le diamètre de M dans G : C G ( M ) = Σ d G ( u,v ) u,v M D G ( M ) = max { d G (u,v) : u,v M } Le poids de larbre T = ( V T, E T,w ) couvrant M : W ( T ) = Σ w (e) e E T ALGOTEL 2004

DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser Un algorithme a un rapport de compétitivité c s pour la somme des distances ssi : i, C T i ( M i ) c s.C G ( M i ) ALGOTEL 2004

DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser Un algorithme a un rapport de compétitivité c s pour la somme des distances ssi : Un algorithme a un rapport de compétitivité c d pour le diamètre ssi : i, C T i ( M i ) c s.C G ( M i ) i, D T i ( M i ) c d.D G ( M i ) ALGOTEL 2004

DEFINITIONS ET NOTATIONS : Critères à minimiser Un algorithme a un rapport de compétitivité c s pour la somme des distances ssi : Un algorithme a un rapport de compétitivité c d pour le diamètre ssi : Soit T*( M i ) un arbre couvrant M i de poids minimum. Un algorithme a un rapport de compétitivité c w pour le poids ssi : i, C T i ( M i ) c s.C G ( M i ) i, D T i ( M i ) c d.D G ( M i ) i, W ( T i ) c w.W ( T* ( M i )) ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES ALGOTEL 2004

Pour le poids, tout algorithme est au moins : Ω(log i)-compétitif [M. Imase et B. Waxman, 1991] BORNES INFERIEURES ALGOTEL 2004

Pour le poids, tout algorithme est au moins : Ω(log i)-compétitif [M. Imase et B. Waxman, 1991] Pour le diamètre, tout algorithme est au moins : 2-compétitif BORNES INFERIEURES ALGOTEL 2004

Pour le poids, tout algorithme est au moins : Ω(log i)-compétitif [M. Imase et B. Waxman, 1991] Pour le diamètre, tout algorithme est au moins : 2-compétitif Pour la somme des distances, tout algorithme est au moins : Ω(i)-compétitif BORNES INFERIEURES La preuve utilise un adversaire adaptatif, qui choisit le nouveau membre à insérer en fonction de la réponse de lalgorithme à létape précédente. ALGOTEL 2004

n n BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances ALGOTEL 2004

n n BORNES INFERIEURES : Pour la somme des distances | M | = 2n + log 2 (n) C T (M ) : n 3 C G (M ) : n 2 ALGOTEL 2004

DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout ALGOTEL 2004

DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans larbre. ALGOTEL 2004

DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans larbre r r ALGOTEL 2004

DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans larbre r r ALGOTEL 2004

DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans larbre r r ALGOTEL 2004

DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans larbre r r ALGOTEL 2004

DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans larbre r r ALGOTEL 2004

DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans larbre r r ALGOTEL 2004

DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans larbre r r ALGOTEL 2004

DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans larbre r r ALGOTEL 2004

DEUX ALGORITHMES : sommet-ajout et plus-proche-ajout sommet-ajout Sommet-ajout construit un arbre de plus courts chemins enraciné en r, le premier sommet révélé. plus-proche-ajout [M. Imase et B. Waxman, 1991] Plus-proche-ajout branche chaque nouveau sommet u par un plus court chemin entre u et le sommet le plus proche dans larbre r r ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT Analyse de sommet-ajout ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT bornes inférieures (rappel) Pour la somme des distances : Ω(i)-compétitif Pour le diamètre : 2-compétitif Pour le poids : Ω(log i)-compétitif ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT sommet-ajout Pour la somme des distances : (i+1)-compétitif (optimal) Pour le diamètre : 2-compétitif (optimal) Pour le poids : i-compétitif (non optimal) bornes inférieures (rappel) Pour la somme des distances : Ω(i)-compétitif Pour le diamètre : 2-compétitif Pour le poids : Ω(log i)-compétitif ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT sommet-ajout … r KKKK ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT sommet-ajout … r KKKK ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT sommet-ajout … r KKKK ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT sommet-ajout … r KKKK ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT sommet-ajout … r KKKK ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT sommet-ajout … r KKKK ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT sommet-ajout … r KKKK ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT sommet-ajout … r KKKK ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT sommet-ajout … r KKKK i ème sommet ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT sommet-ajout … r KKKK i ème sommet ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT sommet-ajoutoptimum … r KKKK … r KKKK i ème sommet ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT sommet-ajoutoptimum … r KKKK … r KKKK W (T ) = i.KW (T*) = i-1+K i ème sommet ALGOTEL 2004

SOMMET-AJOUT sommet-ajoutoptimum … r KKKK … r KKKK W (T ) = i.KW (T*) = i-1+K Si K >> i : W (T ) W (T*) i ème sommet : i ALGOTEL 2004

PLUS-PROCHE-AJOUT Analyse de plus-proche-ajout ALGOTEL 2004

PLUS-PROCHE-AJOUT bornes inférieures (rappel) Pour la somme des distances : Ω(i)-compétitif Pour le diamètre : 2-compétitif Pour le poids : Ω(log i)-compétitif ALGOTEL 2004

PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout Pour la somme des distances : 2i-compétitif (optimal) Pour le diamètre : i-compétitif (non optimal) Pour le poids : log 2 (i+1) -compétitif (optimal) [M. Imase et B. Waxman, 1991] bornes inférieures (rappel) Pour la somme des distances : Ω(i)-compétitif Pour le diamètre : 2-compétitif Pour le poids : Ω(log i)-compétitif ALGOTEL 2004

PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r 1- ε ALGOTEL 2004

PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r 1- ε ALGOTEL 2004

PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r 1- ε ALGOTEL 2004

PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r 1- ε ALGOTEL 2004

PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r 1- ε ALGOTEL 2004

PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r 1- ε ALGOTEL 2004

PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r 1- ε ALGOTEL 2004

PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r 1- ε ALGOTEL 2004

PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r 1- ε ALGOTEL 2004

PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r 1- ε ALGOTEL 2004

PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajout r i ème sommet 1- ε ALGOTEL 2004

PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajoutoptimum r i ème sommet 1- ε r ALGOTEL 2004

PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajoutoptimum r Si ε 0 +, D (T ) : i D (T*) = 2 i ème sommet 1- ε r ALGOTEL 2004

PLUS-PROCHE-AJOUT plus-proche-ajoutoptimum r Si ε 0 +, D (T ) : i D (T*) = 2 D (T ) D (T*) i ème sommet : i 1- ε r ALGOTEL 2004

SYNTHESE ALGOTEL 2004

SYNTHESE : Les rapports de compétitivité Bornes inférieures Sommet-ajoutPlus-proche-ajout Somme des distancesΩ(i)Ω(i)(i+1)2i Diamètre22i PoidsΩ(log i)ilog 2 (i+1) ALGOTEL 2004

AUTRES TRAVAUX Somment-ajout est un cas particulier de lalgorithme median-ajout : Prend en compte un groupe de départ statique. Permet dobtenir un rapport de compétitivité constant pour la somme des distances lorsque le groupe de départ est suffisamment grand. ALGOTEL 2004

AUTRES TRAVAUX Somment-ajout est un cas particulier de lalgorithme median-ajout : Prend en compte un groupe de départ statique. Permet dobtenir un rapport de compétitivité constant pour la somme des distances lorsque le groupe de départ est suffisamment grand. Relâchement de la contrainte emboîtement afin daméliorer les résultats : Permet dobtenir un rapport de compétitivité constant pour la somme des distances avec ( log i ) reconstructions (résultat optimal). ALGOTEL 2004

AUTRES TRAVAUX Somment-ajout est un cas particulier de lalgorithme median-ajout : Prend en compte un groupe de départ statique. Permet dobtenir un rapport de compétitivité constant pour la somme des distances lorsque le groupe de départ est suffisamment grand. Relâchement de la contrainte emboîtement afin daméliorer les résultats : Permet dobtenir un rapport de compétitivité constant pour la somme des distances avec ( log i ) reconstructions (résultat optimal). Il y existe des situations dans lesquelles tout algorithme doit effectuer Ω(i) reconstructions pour maintenir un rapport de compétitivité constant pour le poids. ALGOTEL 2004

PERSPECTIVES Avoir un algorithme qui soit optimal pour les trois critères (pour linstant, toutes les tentatives avant dans cette direction ont échoué). ALGOTEL 2004

PERSPECTIVES Avoir un algorithme qui soit optimal pour les trois critères (pour linstant, toutes les tentatives avant dans cette direction ont échoué). Obtenir des résultats (si possible théoriques) autres que dans le pire cas, par exemple en réfléchissant sur une définition pertinente de rapport de compétitivité moyen. ALGOTEL 2004

QUESTIONS

Pourquoi se comparer aux distances dans le graphe? On montre que : C G ( M ) C T opt ( M ) 2 C G ( M ) Que lon se compare C G ( M ) ou à C T opt ( M ), tout algorithme est au moins Ω(i)-compétitif (lordre de grandeur du résultat ne change pas). Se comparer à C G ( M ) rend lanalyse plus direct. ALGOTEL 2004