Le bipotentiel Mécanique du contact Plasticité des sols Après la mécanique du contact, intéressons nous à, la plasticité des sols, un domaine où les lois non associées sont très présentes. Plasticité des sols

contrainte déviatorique LE MODELE DE DRUCKER-PRAGER NON ASSOCIE ... angle de frottement angle de dilatance contrainte déviatorique cohésion contrainte hydrostatique surface d’écoulement Voici un modèle très utilisé, celui de Drücker-Prager. Il a 3 paramètre : la cohésion ‘c’, l’angle de frottement ‘phi’ donnant l’inclinaison du cône, et l’angle de dilatance ‘theta’ spécifiant la direction de l’écoulement. Au sommet du cône, la vitesse de déformation plastique est confinée dans le cône d’inclinaison ‘theta’. Nous avons pu montrer que ce modèle admet un bipotentiel. Sans entrer dans trop de détails, disons qu’il contient des fonctions indicatrices permettant d’imposer des conditions d’admissibilité sur les contraintes et les vitesses, et un terme dit de ‘couplage’, dépendant des 2 variables duales. Ce bipotentiel permet d’écrire la loi d’écoulement sous la forme d’une loi de sous-normalité implicite. ... ADMET UN BIPOTENTIEL critère de plasticité terme de couplage fonction indicatrice (puit de potentiel) condition cinématique K terme de sommet loi de sous- normalité implicite

Matrice de rigidité structurale : de Saxcé & Berga (1994) METHODE DE NEWTON MODIFIEE compatibilité: équilibre: loi de comportement: Théorème des fonctions implicites : Matrice tangente locale: matrice hessienne matrice de couplage symétrique définie positive Dans l’étude de la courbe de chargement, par le calcul pas-à-pas, on utilise souvent la méthode de Newton. Dans sa forme classique, la matrice de rigidité tangente est souvent mal conditionnée à cause de la perte de normalité. Nous en proposons une version modifiée. On impose les condition de compatibilité et d’équilibre au sens de la méthode des éléments finis. Aux points de Gauss, on doit satisfaire la loi de comportement, sous la forme d’une loi de normalité implicite dérivant d’un bipotentiel incrémental. L’utilisation du théorème de dérivation des fonctions implicites conduit à une factorisation de la matrice tangente locale. Le premier facteur dit de ‘couplage’ est une matrice quelconque. Le second est la matrice hessienne du bipotentiel, donc symétrique et définie-positive en raison des propriétés de convexité du bipotentiel. Elle est donc mieux conditionné et c’est celle que nous utiliseront pour construire la matrice de rigidité structurale. Matrice de rigidité structurale :

de Saxcé & Berga (1994) Mécanisme de ruine ( ) Loi associée ( ) Examinons le problème de la stabilité d’un tunnel. A droite, on a représenté les courbes de chargement. La plus haute correspond à la loi associée (‘theta’ = ‘phi’ = 20°). Dans les cas non-associés (‘theta’ = 10 et 0°), quand le défaut de normalité augmente, la capacité portante diminue. Le mécanisme de ruine de la loi associée, à gauche, est sensiblement modifié par la non associativité, comme on le voit à droite. Concernant les temps de calcul, le gain obtenu en modifiant la méthode de Newton grâce au bipotentiel est d’environ 30 %. Mécanisme de ruine ( ) Loi associée ( ) Loi non associée( )

BIFONCTIONNELLE bipotentiel du matériau bipotentiel de contact Et le Calcul des Variations ? Il s’étend assez naturellement. On invente un nouvel objet, la bifonctionnelle. C’est une une fonctionnelle à deux champs, par exemple ceux des vitesses et des contraintes dans un problème aux vitesses. On la construit en intégrant le bipotentiel du matériau sur le solide, et celui de contact sur le bord. On y ajoute les termes classiques associés aux actions extérieures, forces et déplacements imposés. bipotentiel de contact potentiel des actions extérieures

+ BIFONCTIONNELLE Pour les solutions du problème aux limites. : INEGALITE FONDAMENTALE DU BIPOTENTIEL + On combine alors l’inégalité fondamentale du bipotentiel et le principe classique des puissances virtuelles. On montre alors que pour tout champs de vitesse cinématiquement admissible, et tout champ de contraintes statiquement admissible, la valeur de la bifonctionnelle est positive ou nulle. En outre, pour les solutions exactes du problème de structure, elle est exactement nulle. Ces propriétés de la bifonctionnelle sont précieuses. PRINCIPE DES PUISSANCES VIRTUELLES Pour les solutions du problème aux limites. :

PRINCIPES VARIATIONNELS COUPLES Approche cinématique Les principes variationnels subsistent mais ils sont couplés, dans le sens suivant. Dans l’approche cinématique, le champ de vitesse exact ‘u’ peut être obtenu en minimisant la bifonctionnelle parmi tous les champs de vitesse ‘u’ point prime cinématiquement admissibles, l’autre argument ‘sigma’ étant le champ exact. En pratique, il n’est pas connu et on peut le remplacer par une approximation, réactualisée dans un algorithme itératif. Par échange des rôles des 2 champs, on peut obtenir une approche statique similaire. Approche statique

Analyse Limite étendue de Saxcé & Bousshine (1995) Analyse Limite étendue Hypothèses: 1. loi de normalité implicite 2. chargement proportionnel : condition de normalisation : Passons aux théorèmes de borne de l’analyse limite. Ils trouvent un cadre d’application plus vaste grâce précisément à la normalité, faible mais retrouvée sous la forme d’une relation implicite entre contraintes et vitesses de déformation plastiques. On souhaite déterminer directement la charge limite d’une structure élastoplastique sous chargement proportionnel. Suivant une approche due notamment à Mandel, on peut déduire des principes variationnels les théorèmes de bornes mais ils seront couplés. Par exemple, le facteur cinématique sera égale à la puissance dissipée dans la structure, dépendant non seulement du mécanisme choisi mais aussi du champ de contrainte à la ruine. Approche de Mandel Théorèmes de bornes couplés principe en vitesses dualité principe en contraintes

De Saxcé & Hjiaj (1999) charge limite d’une fondation contrainte équivalente Dans cet exemple problème classique de la charge portante d’un massif semi-infini, la charge limite est obtenue indirectement, par un calcul incrémental, une problème de minimisation étant résolu à chaque pas, ou directement par minimisation du facteur cinématique. La charge limite décroît quand l’écart à la normalité croît. La carte de la contrainte équivalente est donnée ici pour des valeurs de l’angle de dilatance ‘theta’ égales, de haut en bas, à 30° , 20 et 10°. Sous la charge, la contrainte est constante dans un triangle. Pour le cas associé, son inclinaison est égale à 45° + ‘phi’ demi, ce qui correspond à la solution théorique de Prandtl-Hill. Dans le cas associé, il n’existe pas de solution analytique, mais cette carte nous donne des indications précieuses pour sa construction. L’inclinaison est proche de 45° + ‘theta’ demi : l’angle de dilatance remplace celui de frottement.

L’écrouissage non linéaire Le bipotentiel Mécanique du contact L’approche du bipotentiel est souple. Elle s’applique à des lois plus complexes faisant intervenir d’autres variables internes, Pour décrire par exemple les phénomènes d’écrouissage en Plasticité cyclique des métaux. Plasticité des sols L’écrouissage non linéaire

... ADMET UN BIPOTENTIEL contrainte loi d’écoulement généralisée Armstrong & Frederick (1966), Chaboche & Lemaitre (1988) LA REGLE D’ECROUISSAGE CINEMATIQUE NON LINEAIRE ... traction surface limite contrainte s contrainte limite surface de charge back-stress X X déformation plastique seuil courant R stabilized cycle ... ADMET UN BIPOTENTIEL critère de plasticité terme de couplage déformation plastique isotrope cinématique écrouissage contrainte seuil courant back stress fonction indicatrice (puit de potentiel) écrouissage isotrope K Les boucles d’hystérésis observées expérimentalement peuvent être ainsi décrites de manière très réaliste grâce à une règle d’écrouissage cinématique non linéaire due à Armstrong et Frederick, popularisée en France notamment par le livre de Chaboche et Lemaitre. La surface d’écoulement (en rouge) reste confinée à l’intérieur d’une surface limite (en bleu). Son centre ‘X’ se déplace dans une direction qui dévie de celle de la vitesse plastique. Cette déviation en fait une loi non associée, Mais elle admet un bipotentiel que je ne détaillerai pas. Observons toutefois que la loi d’écrouissage cinématique est typiquement une relation implicite entre contrainte ‘X’ et vitesses. L’ensemble complet des lois d’écoulement et d’écrouissage peut être mis sous la forme compacte d’une loi de sous-normalité implicite. écrouissage cinématique loi d’écoulement généralisée

erreur en loi de comportement de Saxcé & Hjiaj (1999) bifonctionnelle On va pouvoir exploiter la notion d’erreur en loi de comportement pour estimer la qualité d’un maillage élément fini (sans connaître la solution exacte). La bifonctionnelle étant positive pour tout champ admissible, et nulle pour les champs exacts, c’est un indicateur naturel de l’erreur. On peut perfectionner l’idée en construisant, suivant des techniques connues, un champ de contrainte en équilibre et une erreur relative. Pour une plaque trouée en traction élastoplastique, on compare trois maillage. On a reporté l’erreur en fonction des numéros de pas de chargement, pour chaque maillage. Ceci nous apprend que : le maillage grossier est à rejeter avec une erreur finale de plus de 50 %. Le maillage intermédiaire est acceptable avec une erreur inférieure à 5 %, Le maillage très fin n’apporte pas de gain de précision sensible, tout en étant très coûteux en temps de calcul.

Chargement proportionnel: Analyse limite Chargement variable répété: Adaptation plastique charge 1 charge 2 domaine de charge domaine de charge de référence Ruine incrémentale Rochet Fatigue plastique Accommodation Charge d’adaptation Adaptation plastique Tout à l’heure je parlait de l’analyse limite, valable pour les chargements proportionnels. Elle peut se généraliser aux chargement variables répétés. C’est la théorie de l’adaptation plastique. On part d’un domaine de charge de référence. On imagine qu’il peut se dilater en contrôlant sa taille par un facteur de charge ‘alpha’. Le chemin de chargement est quelconque mais confiné dans ce domaine. L’expérience nous apprend que si facteur de charge en service est supérieur à une certaine valeur critique, la ruine survient, après une phase transitoire, par rochet ou par fatigue plastique. S’il est inférieur à la charge critique dite d’adaptation plastique, la structure redevient élastique grâce à la présence de contraintes résiduelles. La théorie permet de calculer directement la charge d’adaptation plastique sans suivre l’histoire réelle du chargement cyclique.

EPROUVETTE SOUS TRACTION CONSTANTE & TORSION CYCLIQUE ALTERNEE charge morte X histoire de charge cyclique rochet en traction cisaillement alterné Considérons une éprouvette sous traction constante et torsion cyclique, en état de déformations planes. Au cours du chargement cyclique, le centre ‘X’ de la surface d’écoulement, qui fait office de contraintes résiduelles internes, évolue. Si la charge de cisaillement cyclique n’est pas trop élevée, l’éprouvette s’adapte, après un nombre de cycle infini. Le problème est de déterminer : quelle est le maximum de l’amplitude du cycle garantissant l’adaptation plastique ? Il faut d’abord identifier le type de ruine. On sait qu’elle survient par rochet, ce qui donne des indications pour un calcul manuel. Quel est le maximum de l’amplitude du cycle en adaptation plastique?

De Saxcé, Bouby, Tritsch (2003) déformations planes On a reporté ici le maximum de l’amplitude du cycle en torsion en fonction de la contrainte de traction ‘sigma’. Entre le domaine élastique et le domaine limite, on a déterminé le bord elliptique du domaine d’adaptation plastique, Par une formule analytique obtenue grâce à l’extension des théorèmes de bornes aux matériaux standards implicites. En annulant le coefficient de Poisson ‘nu’, on retrouve, pour le cas particulier de l’état de contraintes planes, la formule publiée (sans démonstration) dans le livre de Chaboche et Lemaitre. Nous en avons ainsi donné une preuve rigoureuse. rochet domaine d’adaptation plastique domaine élastique contraintes planes Lemaitre, Chaboche (1988)

CONCLUSIONS : le bipotentiel AUTRES BIPOTENTIELS Cam-clay (de Saxcé, 1995) Lois coaxiales (Vallée et al., 1997) Endommagement plastique ductile de Lemaitre (Bodovillé, 1999) CONCLUSIONS : le bipotentiel est une méthode constructive pour concevoir de nouveaux algorithmes - est un outil théorique - fournit une extension naturelle du calcul des variations Citons d’autres matériaux dont nous avons déterminé le bipotentiel : En mécanique des sols, le modèle du cam-clay, développé pour les argiles. Les lois coaxiales, un peu plus générales que les lois isotropes. Et enfin, la loi d’endommagement plastique ductile de Lemaitre. Le champ d’application de l’approche du bipotentiel aux matériaux semble donc assez vaste et encore à découvrir. En conclusion, le bipotentiel fournit une extension naturelle du calcul des variation, est un outil théorique, notamment pour étendre les théorèmes de bornes, et est une méthode constructive pour concevoir de nouveaux algorithmes numériques. Des questions importantes restent toutefois ouvertes, concernant l’unicité et l’existence d’un bipotentiel pour une loi de comportement donnée. QUESTIONS OUVERTES - unicité du bipotentiel - existence du bipotentiel