Sélection génétique de moutons par croisements. Un gène nommé Fec contrôle le niveau dovulation Il existe un allèle Fec B qui cause une hyperovulation Sélectionner les femelles : aucun pb (mesurer le taux dovulation) Sélectionner les mâles ? On veut faire une sélection entre deux types : et [Fec B, Fec + ] [Fec +, Fec + ] On dispose de plus dun marqueur génétique : le dosage en hormone FSH Présence de Fec B Concentration + importante en Hormone FSH

Technique utilisée : On effectue un dosage de lhormone FSH sur la descendance. ? + [Fec +, Fec + ] ???? … MF

2 hypothèses sont possibles : H 0 : Père [Fec +, Fec + ]Enfants [Fec +, Fec + ] H 1 : Père [Fec B, Fec + ]Enfants [Fec B, Fec + ] et [Fec +, Fec + ] (1-p) N (0,1)+p N (θ,1) H 1 : La concentration en hormone de la descendance suit une loi de mélange : H 0 : La concentration en hormone de la descendance suit une loi N (0,1) (après normalisation)

Modèle théorique : H0 :H0 : H1 :H1 : X ~ N (0,1) X ~ (1-p) N (0,1)+p N (θ,1) H 1 : H 0 : N (0,1) (0.7) N (0,1)+0.3 N (3,1) Au vu des données (mesures), on désire savoir laquelle de ces deux hypothèses est la plus vraisemblable. Théorie des tests statistiques

On décide H 1 si R t α On décide H 0 si R t α R est une fonction des observations (données, mesures). t α est une valeur seuil à déterminer dépendant de R et du niveau de confiance α (fixé). Pour ce type de problème : Où T(θ) est un processus gaussien de fonction dautocovariance : On fixe le niveau de confiance α On désire calculer t α

On a alors besoin de calculer u tel que : En pratique, on ne dispose que de cette inégalité (Davies) : Où : Problème : Calculer cette intégrale Et :

Première analyse avec Maple Il a lair dy avoir un problème en 0.

Le graphique napporte pas beaucoup dinformation, si ce nest que le problème en 0 a lair « grave ». Tentons une approche graphique plus précise : Évidemment, Maple nest pas capable dintégrer directement. Nous allons devoir adopter une approche numérique. MATLAB

numérateur Dénominateur Lapproche graphique avec Matlab.

Gros problème dintégration en perspective On utilise un développement limité en 0 ! (Maple savère à nouveau utile…) En 0, on peut utiliser lapproximation par le DL pour lintégration. Où sarrêter pour ne pas perdre en précision ? Jusquoù peut on intégrer de manière fiable ? Quelle est la perte effective ?

Quelles sont les fonctions dintégration numérique disponibles sous MATLAB ? - Fonction « quad » de Matlab - Routines NAG développées pour le FORTRAN Quelles sont leurs performances sur le cas présent ?

QUESTIONS CONCLUSIONS Erreurs numériques commises ? Fiabilité du calcul de lintégrale ? Évolution vers des langages compilés (FORTRAN, C) ? Ingénieur comme Chercheur : Loutil informatique est primordial Nécessité de maîtriser plusieurs outils complémentaires Maple + Matlab + Fortran + ??