EPFL, LESO-PB, septembre Caractéristiques thermiques dynamiques (version remise à jour, octobre 2008)

EPFL, LESO-PB, septembre Equation de la chaleur n Considérer un cube élémentaire situé en un point (x,y,z), de taille ( x, y, z) de volume V = x· y· z n Flux de chaleur (équation de Fourier): x y z x y z q x (x+ x) q x (x)

EPFL, LESO-PB, septembre Equation de la chaleur Conservation de l'énergie dans le cube élémentaire: (q x (x+ x) - q x (x)) · y · z + (q y (y+ y) - q y (y)) · x · z + (q z (z+ z) - q z (z)) · x · y = - · c · V · d /dt n Remplacer: q x = - /x q y = - /y q z = - /z n Equation de la chaleur (sans source interne):

EPFL, LESO-PB, septembre Equation de la chaleur n Equation de la chaleur, avec une source interne additionnelle, de puissance Q(t,x,y,z) :

EPFL, LESO-PB, septembre Equation de la chaleur n Paramètres significatif pour les phénomènes de diffusion de la chaleur à travers un solide: Exemple: béton a = m 2 /s = m (période = 1 jour)

EPFL, LESO-PB, septembre Equation de la chaleur (cas particuliers) Cas stationnaire (équation de Poisson): 2 = 0 Cas unidimensionnel non stationnaire: d /dt = a · 2 /x 2 n Réponse à un saut unité, cas unidimensionnel non stationnaire: transformée de Laplace n Régime harmonique, cas unidimensionnel non stationnaire: solution de type (x,t) = c (x) · cos( ·t + )

EPFL, LESO-PB, septembre Milieu semi-infini, réponse indicielle n Milieu semi-infini (par exemple mur très épais) n Comment se propage une variation soudaine de température en x=0 dans le milieu, en fonction du temps t et de la distance x à la surface ? x x=0

EPFL, LESO-PB, septembre Milieu semi-infini, réponse indicielle n Hypothèses: pour t=0, l'ensemble du milieu est à une température =0 en t=0, on applique un saut de température de 0 à 0 au plan x=0

EPFL, LESO-PB, septembre Milieu semi-infini, réponse indicielle Transformée de Laplace solution: x = / 0 = 0.157

EPFL, LESO-PB, septembre Milieu semi-infini, réponse indicielle Représentation graphique de / 0 en fonction du temps, pour diverses valeurs du paramètre k = x/sqrt(a) [s 1/2 ] : (les valeurs de k calculées en fonction de x sont données pour du béton)

EPFL, LESO-PB, septembre Milieu semi-infini, réponse indicielle Même graphique mais à une échelle temporelle plus étendue

EPFL, LESO-PB, septembre Milieu semi-infini, réponse harmonique n Conditions aux limites: (0,t) = 0 ·cos( ·t) (,t) = 0 période considérée typiquement: 1 jour = s = 2 /T = [1/s] n Solution:

EPFL, LESO-PB, septembre Milieu semi-infini, réponse harmonique Cas particulier x = (profondeur de pénétration): atténuation de l'amplitude: ( ) = 1/e · 0 = · 0 différence de phase: T/2 = 3.82 heures

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Pour l'élément #n, en tout point x de cet élément (x compris entre 0 et e n = épaisseur de l'élément): (x,t) = 0 (x) + c · cos( t – (x)) q(x,t) = q 0 (x) + q c · cos( t – q (x)) n Notation en nombres complexes: (x,t) = (x) · e j t q(x,t) = q(x) · e j t Les représentations complexes (x) et q(x) incluent le déphasage (respectivement et q ) et l'amplitude (resp. c et q c ), mais pas la dépendance au temps (comprise dans le terme e j t ), ni les valeurs moyennes dans le temps (resp. 0 (x) et q 0 (x))

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Matrice de Heindl de l'élément n: n Interprétation: z11 = relation (amplitude et phase) entre les variations de température sur les deux faces de l'élément, en l'absence de flux "entrant" (q 1 =0) z21 = densité de flux thermique sur la face 2 ("sortie") résultant d'une variation de température sur la face 1 ("entrée"), en l'absence de flux "entrant" (q 1 =0) [W/m 2 K] z12 = variation de température sur la face 2 résultant d'un flux thermique sur la face 1, en l'absence de variation de température 1 [m 2 K/W] z22 = relation entre les flux thermiques sur les deux faces de l'élément, en l'absence de variation de température 1

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Cas général d'une couche homogène: z 11 = z 22 = cosh(y) cos(y) + j · sinh(y) sin(y) z 12 = - /2 · [(sinh(y) cos(y) + cosh(y) sin(y) + j · (cosh(y) sin(y) - sinh(y) cos(y))] z 21 = - · [(sinh(y) cos(y) - cosh(y) sin(y) + j · (sinh(y) cos(y) + cosh(y) sin(y))] avec: = (a · T / ) ½ = profondeur de pénétration [m] a = / ( c) = diffusivité thermique [m 2 /s] = conduction thermique [W/mK] = densité [kg/m 3 ] c = chaleur spécifique [J/kg] y = d/ (d = épaisseur de la couche [m])

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Lame d'air plane: on néglige la capacité thermique on inclut dans la résistance thermique R a (par m 2 de surface de la couche d'air) la conduction, la convection et le rayonnement la même équation peut être utilisée pour des matériaux légers tels que les isolants thermiques légers

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Cas d'une paroi multicouches (transmission intérieur extérieur): Z = Z ae · Z n · Z n-1 ·... · Z 1 · Z ai avec: Z ai = matrice de Heindl de la couche d'air intérieure Z j = matrice de Heindl de la couche no j (j=1: 1 ère couche depuis l'intérieur) Z ae = matrice de Heindl de la couche d'air extérieure

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Application: le modèle peut être utilisé pour les variations journalières de température, la température extérieure suivant approximativement une sinusoïde avec un maximum vers 15 ou 16 h et un minimum vers 3 ou 4 h du matin n Exemples: pour un mur entre intérieur et extérieur, la température intérieure peut être approximativement considérée comme constante, et le modèle peut être utilisé pour calculer les variations du flux de chaleur pour le même mur, mais avec une température intérieure approximée par une courbe sinusoïdale, le modèle permet de calculer l'amplitude de la variation de température intérieure due aux variations de température extérieure, en l'absence de chauffage ou de refroidissement

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches Capacité thermique effective, méthode 1 n En général, la capacité thermique d'un objet peut être définie par: le flux de chaleur intégré incident sur l'objet E = q(t) dt = q a t (q a [W] = valeur moyenne du flux de chaleur durant l'intervalle de temps t) la différence de température durant l'intervalle de temps t considéré la capacité thermique C [J/K] est définie par le rapport entre les 2 quantités E et C · = E = q a · t

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Pour un élément de construction multicouches, on peut utiliser une définition similaire: c = amplitude de la variation périodique de température 2 c = variation de température totale (crête à crête) flux de chaleur intégré sur une demi-période: E = q c T/ (T = période, q c = amplitude de la variation de flux) la capacité thermique C h en régime harmonique est le rapport des deux termes E and 2 c : C h · 2 c = q c T/ C h = T/2 · q c / c [J/m 2 K] (capacité effective par m 2 d'élément de construction) les valeurs de q c and c sont données par la matrice de Heindl

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Deux possibilités pour les conditions extérieures, lorsque l'on considère l'élément depuis l'intérieur: température extérieure fixée ( ext = 0), et calcul de la sensibilité des variations de température intérieure ( int ) aux variations de flux thermique intérieur (q int ): température extérieure libre et flux thermique extérieur fixé (q ext = 0), et calcul de la même quantité que ci-dessus:

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches Capacité thermique effective, méthode 2 (polycopié) n On définit la matrice des conductances thermiques périodiques par lexpression ci- contre: (contrairement au polycopié, il sagit ici de flux périodiques par unité de surface) n Relations entre la matrice Z et la matrice L:

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Les capacités thermiques effectives, vues respectivement de lintérieur (côté 1) et de lextérieur (côté 2) sont données par les expressions ci-contre: Remarque: résultats semblent peu réalistes, à prendre avec des pincettes !

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Exemple numérique: mur de façade comportant les couches suivantes (de l'intérieur vers l'extérieur): matériau [W/mK] [kg/m 3 ] c [J/kg K] épaisseur d [m] R [m2 K/W] lame d'air intérieure béton polystyrène expansé crépi lame d'air extérieure

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Matrice de Heindl (intérieur extérieur): |Z 11 | = [-] (phase 9.23 h) |Z 12 | = 20.3 [m 2 K/W] (phase 20.4 h) |Z 21 | = 89.2 [W/m 2 K] (phase 1.19 h) |Z 22 | = 14.9 [-] (phase 12.4 h) Méthode 1: ext = 0 C 1 = T/2 · |Z 11 |/|Z 12 | = 82.2 kJ/m 2 K q ext = 0 C 1 = T/2 · |Z 21 |/|Z 22 | = 82.3 kJ/m 2 K n Comparaison 1: capacité interne statique = 528 kJ/m 2 K C 1 correspond à 3.1 cm de béton n Comparaison 2: les formules de la méthode 2 (polycopié) donnent C 1 = 383 kJ/m 2 K et C 2 = 12.6 kJ/m 2 K

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Matrice de Heindl (extérieur intérieur): |Z 11 | = 14.9 [-] (phase 12.4 h) |Z 12 | = 20.3 [m 2 K/W] (phase 20.4 h) |Z 21 | = 89.2 [W/m 2 K] (phase 1.19 h) |Z 22 | = [-] (phase 9.23 h) Méthode 1: ext = 0 C 1 = T/2 · |Z 11 |/|Z 12 | = 10.1 kJ/m 2 K q ext = 0 C 1 = T/2 · |Z 21 |/|Z 22 | = 10.1 kJ/m 2 K n Comparaison: capacité externe statique = 7.5 kJ/m 2 K C 1 correspond à 0.7 cm de crépi

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches Mais si lon ne considère pas les couches limites, les résultats sont passablement différents: n Matrice de Heindl (intérieur extérieur): |Z 11 | = [-] (phase 9.13 h) |Z 12 | = 5.82 [m 2 K/W] (phase 18.0 h) |Z 21 | = 89.2 [W/m 2 K] (phase 1.19 h) |Z 22 | = 4.34 [-] (phase h) Méthode 1: ext = 0 C 1 = T/2 · |Z 11 |/|Z 12 | = 283 kJ/m 2 K q ext = 0 C 1 = T/2 · |Z 21 |/|Z 22 | = 283 kJ/m 2 K n Comparaison: capacité interne statique = 528 kJ/m 2 K C 1 correspond à 10.7 cm de béton

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Approximations usuelles Si la première couche (du côté de la face considérée) a une épaisseur d > 2 ( = profondeur de pénétration), alors on peut considérer lapproximation dun milieu semi-infini Si la première couche (du côté de la face considérée) a une épaisseur d < d/2 (d = profondeur de pénétration), alors on peut considérer lapproximation dune couche mince isotherme, pour autant que la couche suivante soit un isolant C eff = d · · c

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Approximations usuelles (suite) Méthode de lépaisseur efficace: si lon considère une valeur standard de a = 0.7 · m 2 /s, lépaisseur efficace dune face dun composant est égale à la plus petite des valeurs suivantes: La moitié de lépaisseur totale du composant Lépaisseur des matériaux compris entre la face considérée et la première couche isolante, sans tenir compte des revêtements Une épaisseur efficace maximale fonction de la période des variations (1 heure 2 cm, 1 jour 10 cm, 1 semaine 25 cm)

EPFL, LESO-PB, septembre Exercices supplémentaires

EPFL, LESO-PB, septembre Exercice supplémentaire 3.3 Evaluer la profondeur efficace de stockage d d'un mur d'épaisseur très grande en béton (approximation d'un mur semi- infini) par rapport à la capacité de stockage en cycle journalier. (Définition: la profondeur efficace de stockage d est l'épaisseur d'une couche de matériau de même capacité thermique mais de conductance thermique infinie, parfaitement isolée vers l'extérieur, qui permettrait de stocker/déstocker la même quantité de chaleur durant le cycle journalier). Hypothèses: négliger la couche d'air intérieur considérer une variation sinusoïdale de la température intérieure (imposée)

EPFL, LESO-PB, septembre Exercice supplémentaire 3.3: indications Comparer deux situations: (a)un mur semi-infini; (b)un mur d'épaisseur d avec un matériau de même densité et chaleur spécifique, mais avec une conduction thermique infinie; Calcul de l'énergie stockée durant ½ cycle dans les deux cas, et déduction de d (la profondeur efficace) par égalité entre les deux valeurs de l'énergie stockée.

EPFL, LESO-PB, septembre Exercice supplémentaire 3.4 A partir des équations de bilan thermique, calculer la matrice de Heindl d'une couche d'air immobile, dont la conduction équivalente peut être approximée par une résistance thermique R a, et dont on néglige la capacité thermique.

EPFL, LESO-PB, septembre Exercice supplémentaire 3.5 n Calculer la capacité thermique intérieur effective d'un mur formé des couches suivantes (de l'intérieur à l'extérieur): béton 16 cm ( = 1.8 W/mK, = 2400 kg/m 3, c p = 1000 J/kgK) laine de verre 8 cm ( = 0.04 W/mK) crépi 1 cm ( = 1 W/mK, = 2000 kg/m 3, c p = 1000 J/kgK) n On considère les conditions suivantes: variations journalières (période 24 heures) deux variantes température extérieure fixe température extérieure libre et flux de chaleur surface extérieure du mur – extérieur fixe n Comparer avec la capacité thermique du mur intérieur en régime quasi-constant