EPFL, LESO-PB, septembre Energétique du bâtiment Septembre - Décembre 2009 Caractéristiques thermiques dynamiques Nicolas Morel, LESO-PB/EPFL

EPFL, LESO-PB, septembre Equation de la chaleur n Considérer un cube élémentaire situé en un point (x,y,z), de taille ( x, y, z) de volume V = x· y· z n Flux de chaleur (équation de Fourier): x y z x y z q x (x+ x) q x (x)

EPFL, LESO-PB, septembre Equation de la chaleur Conservation de l'énergie dans le cube élémentaire: (q x (x+ x) - q x (x)) · y · z + (q y (y+ y) - q y (y)) · x · z + (q z (z+ z) - q z (z)) · x · y = - · c · V · d /dt n Remplacer: q x = - /x q y = - /y q z = - /z n Equation de la chaleur (sans source interne):

EPFL, LESO-PB, septembre Equation de la chaleur n Equation de la chaleur, avec une source interne additionnelle, de puissance Q(t,x,y,z) :

EPFL, LESO-PB, septembre Equation de la chaleur n Paramètres significatif pour les phénomènes de diffusion de la chaleur à travers un solide: Exemple: béton a = m 2 /s = m (période = 1 jour)

EPFL, LESO-PB, septembre Equation de la chaleur (cas particuliers) Cas stationnaire (équation de Poisson): 2 = 0 Cas unidimensionnel non stationnaire: d /dt = a · 2 /x 2 n Réponse à un saut unité, cas unidimensionnel non stationnaire: transformée de Laplace n Régime harmonique, cas unidimensionnel non stationnaire: solution de type (x,t) = c (x) · cos( ·t + )

EPFL, LESO-PB, septembre Milieu semi-infini, réponse indicielle n Milieu semi-infini (par exemple mur très épais) n Comment se propage une variation soudaine de température en x=0 dans le milieu, en fonction du temps t et de la distance x à la surface ? x x=0

EPFL, LESO-PB, septembre Milieu semi-infini, réponse indicielle n Hypothèses: pour t=0, l'ensemble du milieu est à une température =0 en t=0, on applique un saut de température de 0 à 0 au plan x=0

EPFL, LESO-PB, septembre Milieu semi-infini, réponse indicielle Transformée de Laplace solution: x = / 0 = 0.157

EPFL, LESO-PB, septembre Milieu semi-infini, réponse indicielle Représentation graphique de / 0 en fonction du temps, pour diverses valeurs du paramètre k = x/a ½ [s 1/2 ] : (les valeurs de k calculées en fonction de x sont données pour du béton, avec a = 0.75 · m 2 /s)

EPFL, LESO-PB, septembre Milieu semi-infini, réponse indicielle Même graphique mais à une échelle temporelle plus étendue

EPFL, LESO-PB, septembre Milieu semi-infini, réponse harmonique n Conditions aux limites: (0,t) = 0 ·cos( ·t) (,t) = 0 période considérée typiquement: T = 1 jour = s = 2 /T = [1/s] n Solution (en régime stationnaire):

EPFL, LESO-PB, septembre Milieu semi-infini, réponse harmonique Cas particulier x = (profondeur de pénétration): atténuation de l'amplitude: ( ) = 1/e · 0 = · 0 différence de phase: T/2 = 3.82 heures n Exemple: béton a= m 2 /s = (aT/ ) ½ = 14.4 cm

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Pour la couche #n, en toute profondeur x de cette couche (0 < x < e n = épaisseur de la couche): température [K ou °C]: (x,t) = 0 (x) + c · cos( t – (x)) flux de chaleur [W/m 2 ]:q(x,t) = q 0 (x) + q c · cos( t – q (x)) n Notation en nombres complexes:

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches Matrice de transfert thermique n Matrice de transfert thermique (matrice de Heindl) de l'élément n (on ne considère que la partie harmonique): n Interprétation: Z 11 = relation (amplitude et phase) entre les variations de température sur les deux faces de l'élément, en l'absence de variation du flux thermique "entrant" (q 1 =0) Z 21 = variation de flux thermique sur la face 2 ("sortie") résultant d'une variation de température sur la face 1 ("entrée"), en l'absence de variation du flux "entrant" (q 1 =0) [W/m 2 K] Z 12 = variation de température sur la face 2 résultant d'une variation du flux thermique sur la face 1, en l'absence de variation de température 1 [m 2 K/W] Z 22 = relation entre les variations de flux thermiques sur les deux faces de l'élément, en l'absence de variation de température 1

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Calcul de la matrice de transfert thermique dans le cas d'une couche homogène: Z 11 = Z 22 = cosh(y) cos(y) + j · sinh(y) sin(y) Z 12 = - /2 · [(sinh(y) cos(y) + cosh(y) sin(y) + j · (cosh(y) sin(y) - sinh(y) cos(y))] Z 21 = - · [(sinh(y) cos(y) - cosh(y) sin(y) + j · (sinh(y) cos(y) + cosh(y) sin(y))] avec: = (a · T / ) ½ = profondeur de pénétration [m] a = / ( c) = diffusivité thermique [m 2 /s] = conduction thermique [W/mK] = densité [kg/m 3 ] c = chaleur spécifique [J/kg] y = d/ (d = épaisseur de la couche [m])

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Calcul de la matrice de transfert thermique dans le cas dune lame d'air plane: on néglige la capacité thermique on inclut dans la résistance thermique R a (par m 2 de surface de la couche d'air) la conduction, la convection et le rayonnement la même équation peut être utilisée pour des matériaux légers tels que les isolants thermiques légers (cf exercice supplémentaire 3.4 !)

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Calcul de la matrice de transfert thermique dans le cas d'une paroi multicouches (transmission intérieur extérieur): Z = Z ae · Z n · Z n-1 ·... · Z 1 · Z ai avec: Z ai = matrice de Heindl de la couche d'air intérieure Z j = matrice de Heindl de la couche n o j (j=1: 1 ère couche depuis l'intérieur) Z ae = matrice de Heindl de la couche d'air extérieure

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Application: le modèle peut être utilisé pour les variations journalières de température, la température extérieure suivant approximativement une sinusoïde avec un maximum vers 15 ou 16 h et un minimum vers 3 ou 4 h du matin n Exemples: pour un mur entre intérieur et extérieur, la température intérieure peut être approximativement considérée comme constante, et le modèle peut être utilisé pour calculer les variations du flux de chaleur pour le même mur, mais avec une température intérieure approximée par une courbe sinusoïdale, le modèle permet de calculer l'amplitude de la variation de température intérieure due aux variations de température extérieure, en l'absence de chauffage ou de refroidissement

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Relation entre le vecteur des variations de flux et celui des variations de températures:

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Admittances thermiques Y 11 et Y 22 : Amplitude de variation du flux sur une face, résultant dune variation unitaire de la température sur cette face, lorsque la variation de température sur lautre face est nulle

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Coefficients de transmission thermique périodiques Y 12 et Y 21 : Amplitude de variation du flux sur une face, résultant dune variation unitaire de la température sur lautre face, lorsque la variation de température sur la première face est nulle

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches Capacités thermiques effectives en mode harmonique Capacité thermique au sens usuel: E = C · n Par analogie, la capacité thermique surfacique en mode harmonique est le rapport de lénergie stockée durant une demi-période à lamplitude de la variation de température n Les capacités thermiques surfaciques effectives, vues respectivement de lintérieur (côté 1) et de lextérieur (côté 2) sont données par les expressions suivantes:

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Exemple numérique: mur de façade comportant les couches suivantes (de l'intérieur vers l'extérieur): matériau [W/mK] [kg/m 3 ] c [J/kg K] épaisseur d [m] R [m 2 K/W] lame d'air intérieure béton polystyrène expansé crépi lame d'air extérieure

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Matrice de Heindl (intérieur extérieur, avec couches limites: |Z 11 | = [-] (phase 9.2 h) |Z 12 | = 20.3 [m 2 K/W] (phase 20.4 h) |Z 21 | = 89.2 [W/m 2 K] (phase 1.2 h) |Z 22 | = 14.9 [-] (phase 12.4 h) n Capacités dynamiques vues de lintérieur (indice 1) et de lextérieur (indice 2): C 1 = T/2 · |(Z 11 -1)/Z 12 | = 82.7 kJ/m 2 K C 2 = T/2 · |(Z 22 -1)/Z 12 | = 10.8 kJ/m 2 K n Comparaison avec la capacité interne statique: C 1, stat = 528 kJ/m 2 K (20 cm de béton) C 1 correspond à 3.1 cm de béton

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches Mais si lon ne considère pas les couches limites, les résultats sont passablement différents: n Matrice de Heindl (intérieur extérieur, sans couches limites): |Z 11 | = [-] (phase 9.1 h) |Z 12 | = 5.82 [m 2 K/W] (phase 18.0 h) |Z 21 | = 89.2 [W/m 2 K] (phase 1.2 h) |Z 22 | = 4.34 [-] (phase 10.1 h) C 1 = T/2 · |(Z 11 -1)/Z 12 | = 285 kJ/m 2 K C 2 = T/2 · |(Z 22 -1)/Z 12 | = 12.4 kJ/m 2 K n Comparaison avec la capacité interne statique C 1,stat = 528 kJ/m 2 K (20 cm de béton) C 1 correspond à 10.8 cm de béton

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Les capacités dynamiques du mur considéré dans cet exemple sont très différentes vues de lintérieur (lourd) ou de lextérieur (léger) n Une structure avec une isolation intérieure (la capacité C 2, bien inférieure à C 1, devient alors la capacité dynamique intérieure) nest pas favorable au stockage de la chaleur, notamment des gains solaires passifs

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Approximations usuelles Si la première couche (du côté de la face considérée) a une épaisseur d > 2 ( = profondeur de pénétration), alors on peut considérer lapproximation dun milieu semi-infini Si la première couche (du côté de la face considérée) a une épaisseur d < /2 ( = profondeur de pénétration), alors on peut considérer lapproximation dune couche mince isotherme, pour autant que la couche suivante soit un isolant C eff = d · · c

EPFL, LESO-PB, septembre Modèle harmonique multicouches n Approximations usuelles (suite) Méthode de lépaisseur efficace: si lon considère une valeur standard de a = 0.7 · m 2 /s, lépaisseur efficace dune face dun composant est égale à la plus petite des valeurs suivantes: La moitié de lépaisseur totale du composant Lépaisseur des matériaux compris entre la face considérée et la première couche isolante, sans tenir compte des revêtements Une épaisseur efficace maximale fonction de la période des variations (1 heure 2 cm, 1 jour 10 cm, 1 semaine 25 cm)

EPFL, LESO-PB, septembre Exercices supplémentaires

EPFL, LESO-PB, septembre Exercice supplémentaire 3.3 Evaluer la profondeur efficace de stockage d d'un mur d'épaisseur très grande en béton (approximation d'un mur semi- infini) en cycle journalier. (Définition: la profondeur efficace de stockage d est l'épaisseur d'une couche de matériau de même capacité thermique mais de conductance thermique infinie, parfaitement isolée vers l'extérieur, qui permettrait de stocker/déstocker la même quantité de chaleur durant le cycle journalier). Hypothèses: négliger la couche d'air intérieur considérer une variation sinusoïdale de la température intérieure (imposée)

EPFL, LESO-PB, septembre Exercice supplémentaire 3.3: indications Comparer deux situations: (a)un mur semi-infini; (b)un mur d'épaisseur d avec un matériau de même densité et chaleur spécifique, mais avec une conduction thermique infinie; Calcul de l'énergie stockée durant ½ cycle dans les deux cas, et déduction de d (la profondeur efficace) par égalité entre les deux valeurs de l'énergie stockée.

EPFL, LESO-PB, septembre Exercice supplémentaire 3.4 A partir des équations de bilan thermique, calculer la matrice de Heindl d'une couche d'air immobile, dont la conduction équivalente peut être approximée par une résistance thermique R a, et dont on néglige la capacité thermique.

EPFL, LESO-PB, septembre Exercice supplémentaire 3.5 n Calculer la capacité thermique intérieure effective d'un mur formé des couches suivantes (de l'intérieur à l'extérieur): béton 16 cm ( = 1.8 W/mK, = 2400 kg/m 3, c p = 1000 J/kgK) laine de verre 8 cm ( = 0.04 W/mK, = 100 kg/m 3, c p = 1000 J/kgK) crépi 1 cm ( = 1 W/mK, = 2000 kg/m 3, c p = 1000 J/kgK) n Comparer avec un mur léger isolé par lintérieur, formé des couches suivantes (de lintérieur à lextérieur): bois 2 cm ( = 0.15 W/mK, = 500 kg/m 3, c p = 2500 J/kgK) laine de verre 8 cm ( = 0.04 W/mK, = 100 kg/m 3, c p = 1000 J/kgK) acier 5 mm ( = 58 W/mK, = 7850 kg/m 3, c p = 830 J/kgK) n Hypothèse: ne pas prendre en compte les couches limites n Comparer avec la capacité thermique du mur intérieur en régime quasi- constant, dans les deux cas n NE PAS FAIRE LES CALCULS A LA MAIN, MAIS UTILISER LE SCRIPT MATLAB/OCTAVE DISPONIBLE SOUS MOODLE !