Introduction à La Démarche Scientifique Composition du module 8 heures de Cours / TD 4 séances de Travaux Pratiques de 3 heures Sommaire du cours/td Sciences et Méthodes Outils Métrologie Exploitation Travaux Pratiques (Les rapports sont à rendre au début de la séance suivante) Pendule simple Calorimétrie Lois de Kirchhoff Oscilloscope Remerciements: Olivier Durand-Drouhin, René Moreau, Robert Bouzerar, Annick Razet. La Démarche Scientifique

Métrologie : Grandeur physique = Propriété observable qui caractérise un objet, un ensemble d’objets ou un état physique. Exemples: masse, longueur, température, … James C. Maxwell (1831-1879) « L’expression d’une grandeur est le produit de 2 facteurs dont l’un, qui est une grandeur de même nature prise comme référence, s’appelle unité, et dont l’autre, qui est le nombre de fois que l’unité est contenue dans la grandeur, s’appelle sa valeur numérique » Toute mesure est nécessairement entachée d'erreurs pour différentes raisons. Une mesure expérimentale n'a donc de valeur que si on lui associe une estimation de l'erreur (ex : « la poutre mesure 1 m de long à 5 mm près »).

Métrologie : Dimensions du SI La dimension d'une grandeur physique est son unité exprimée par rapport aux 7 unités de base du Système International.

Métrologie: l’incertitude d’un point de vue statistique (à partir d’un exemple) 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 Volts Nombre d’observations Un fabricant de voltmètres contrôle sa production en mesurant systématiquement la fem d’une pile étalon de 5.000 V avec chaque voltmètre fabriqué. La courbe donnant la densité de probabilité montre que : - 68% des résultats appartiennent à l’intervalle : (50.1) V - 95% des mesures donnent une valeur appartenant à l’intervalle (50.2) V Conventionnellement, c’est ce dernier intervalle qui sera pris comme domaine d’incertitude et précisé dans la notice d’utilisation des voltmètres commercialisés.

Métrologie: Loi Normale loi de probabilité  = écart type  = valeur moyenne 68% des valeurs se trouvent dans ± 95% des valeurs se trouvent dans ±2 x

Métrologie : Ecrire un résultat Incertitude absolue (>0) * soit la valeur exacte (inconnue) = G * écrire le résultat d’une mesure = (g ± Δg) unité - g est une estimation de G - Δg est l’incertitude sur la mesure de G, elle est telle que la probabilité: P{G  [g - Δg, g + Δg]} = 0,95 Intervalle de confiance niveau de confiance

Métrologie : quand estimer une incertitude ? Il existe 3 principales occasions d’estimer une incertitude: Incertitude sur une mesure à partir d’un appareil  x (incertitude sur l’intensité mesuré avec un ampèremètre) Incertitude sur le résultat d’un calcul f(x) où x a été mesuré: xx  f (incertitude sur la résistance R=u/i où u et i ont été mesurés et R calculé) Incertitude sur la pente a et l’ordonnée à l’origine b d’une droite y = ax + b à partir d’une collection de mesures où x varie  a, b (par exemple, on trace la tension u mesurée aux bornes d’une résistance R inconnue en fonction du courant i qui la traverse, u=Ri, la pente donne R et l’incertitude sur la pente donne R) Remarque: une situation plus générale et plus fréquente est celle où la variable de sortie y ne dépend pas linéairement de la variable contrôlée x. On fait alors un changement de variable afin d’obtenir une représentation linéaire ou, quand ce n’est pas possible on utilise des méthodes issues des statistiques et de l’analyse numérique. De nombreux logiciels scientifiques les mettent en œuvre de façon conviviale et automatique u i

Une mesure directe à l’aide d’un appareil (1/4) Bien comprendre comment fonctionne l’appareil 3 questions de base Est-ce le bon appareil ? Est-il bien calibré ? (problème du 0) La gamme de mesure est elle en accord avec ce que je vais mesurer ? ampèremètre voltmètre ohmmètre testeur de composant courant continu ou altenatif ? réglage du 0 tarage d’une balance

Une mesure directe à l’aide d’un appareil (2/4) Ordre de grandeur : avoir une idée sur une mesure avant de la faire C’est particulièrement important quand on doit choisir le calibre d’un appareil Exemple : ~10V dans ~1000 donne une intensité ~10 mA Si on a aucune idée des calibres, commencer par le plus grand (le moins risqué) et affiner ensuite.

Une mesure directe à l’aide d’un appareil (3/4) g = r + d Dispersion = 2 (niveau de confiance à 95%) Les constructeurs précisent la « classe » des appareils qui est égale en pourcentage du calibre à l’incertitude de dispersion : Résolution = ½ graduation (ou digit) Ex : un double-décimètre gradué en mm donnera une incertitude de résolution égale à ½ mm. Aujourd’hui, le plus souvent l’incertitude totale est donnée par le constructeur sous la forme : g = { pourcentage de la valeur lue + n digits }. En l’absence de la notice de l’appareil, on prendra g = { ½ digit + 2% du calibre }. Ne pas oublier que dans tous les cas, le calcul d’incertitude est une estimation

Une mesure directe à l’aide d’un appareil (4/4) Juste = proche valeur vraie Fidèle = dispersion faible

le résultat d’un calcul (1/6): Dérivée partielle Relation entre dérivée et incertitude Soit x une grandeur physique mesurée et y une grandeur calculée à partir d’une formule dépendant de x. On a y = f(x). Soit le point M de coordonnées (x, y). Si x a été mesurée avec une incertitude x, alors on donne à y l’incertitude y = |f ’(x)| x Ex: On mesure le courant électrique i = (0.010 ± 0.002) A traversant une résistance étalon R=100 Ω. Quelle est la puissance P dissipée dans R ? P = Ui = Ri2  P = 100x10-4 = 0.01 W = 10 mW P = P(i)  P’(i) = 2Ri = 2x100x10-2 = 2 W.A-1 = 2 V P = P’ x i = 2 x 2.10-3 = 4 10-3 W Finalement: P = (0.010 ± 0.004) W

le résultat d’un calcul (2/6): Dérivée partielle Soit f=f(x) une fonction à une variable, sa dérivée au point (x) est rappelée ci-dessous par la relation (1). De manière similaire, soit maintenant g=g(x, y, z) une fonction à 3 variables indépendantes, on définit sa dérivée partielle par rapport à sa 2ième variable au point (x, y, z) par la relation (2) qu’on peut aussi noter g’y(x, y, z).

le résultat d’un calcul (3/6): Dérivée partielle Exemple : f(x, y, z) = x²yz3 - 2xz + 4xy² - 2xyz dérivée partielle de f par rapport à x (y et z constants) la fonction devient f(x) = ax² - bx + cx - dx avec a = yz3, b = 2z, c = 4y², d = 2yz on dérive f’(x) = 2ax – b + c - d = 2yz3x - 2z + 4y² - 2yz = 2yz3x - 2z + 4y² - 2yz dérivée partielle de f par rapport à y (x et z constants) f(y)=ay-b+cy²-dy avec a=x²z3, b=2xz, c=4y², d=2xz = a-0+2cy-d = x²z3 + 8xy - 2xz on dérive dérivée partielle de f par rapport à z = 3x²yz² - 2x - 2xy

le résultat d’un calcul (4/6): Dérivée partielle

le résultat d’un calcul (5/6): ISO= Organisation Internationale de Normalisation GUM= Guide pour l’Expression de l’incertitude de Mesure http://www.ukas.com/Library/downloads/publications/M3003.pdf http://www.bipm.org/fr/publications/guides/ Ancienne méthode (avant 1995): On envisageait le pire, l’incertitude était surévaluée : Nouvelle méthode (GUM 1995): On a un effet de compensation et on peut montrer que :

le résultat d’un calcul (6/6): Dérivée partielle Une mesure à partir d’autres mesures Soit f’Xi la dérivée partielle de f par rapport à la variable Xi, au point (X1, X2, ….Xn) On a:

Pente et ordonnée à l’origine d’une droite (1/2) a) Utiliser une calculatrice scientifique ou un PC muni d’un programme de régression et d’évaluation des incertitudes sur a et b: y = ax + b Un programme Matlab est disponible ici: http://www.u-picardie.fr/~dellis/Matlab_Licence/polyreg.m

Pente et ordonnée à l’origine d’une droite (2/2) b) Les points expérimentaux étant munis de leur rectangle d’incertitude, on trace les droites extrêmes en X comme ci-dessous … 2y 2x b+b … elles ont pour équation: y = (a+a) x + (b-b), et y = (a-a) x + (b+b) On en déduit a et b b b-b

Métrologie : Incertitude (résumé) 1/ Sur une mesure directe à l’aide d’un appareil (notice): y = r + d (r = ½ graduation, d = (classe/100) x calibre) 2/ Sur un calcul à partir d’autres mesures (formule): 3/ Sur la pente et l’ordonnée à l’origine d’une droite: - Régression linéaire, ou - Droites extrêmes

Exploitation : Chiffres significatifs Dans un nombre, les chiffres autres que zéro sont significatifs. Les zéros s’ils sont placés en tête du nombre ne sont pas significatifs. Exemples : 6,8 2 chiffres significatifs 6,80 3 chiffres significatifs 6800 4 chiffres significatifs 0,68 2 chiffres significatifs Les zéros avant le premier chiffre ne sont pas significatifs. Les zéros après le premier chiffre sont significatifs. Une définition stricte des chiffres significatifs: chiffres apparaissant dans la mantisse de la notation scientifique Y = A.BCDE… x 10n (A≠0 et nZ) Mantisse Exposant

Exploitation : Ecriture d’un résultat Régle #1: L’incertitude est écrite avec 2 chiffres significatifs (parfois avec 1 seul) Régle #2: On conserve pour Y les chiffres significatifs qui interviennent dans ΔY Rq: On peut aussi utiliser l’incertitude relative ΔY / Y Rq: Un résultat donné sans incertitude  ΔY= ½ unité du dernier chiffre Rq: On peut arrondir ΔY à un chiffre significatif quand cet arrondissement n’affecte pas « trop » ΔY. F = (2,56712 ± 0,01283) N  F = (2,567 ± 0,013) N m = (98,486 ± 1,573) g  m = (98,5 ± 1,6) g ou m = 98,5 g (1.6%) P = (342,05 ± 2,567) W  P = (342,0 ± 2,6) W n = 1,50944 ± 0,00039  n = 1,5094 ± 0,0004 L = 1.86 m  L = 1.860 ± 0,005 m m=11,6 kg = 11,6 103 g (3 chiffres significatifs) 11600 g (5 chiffres significatifs) ! V=2,75 m3 = 2,75 106 mL  2 750 000 L Arrondis: 0,1,2,3,4  valeur inférieure, exemple : 1.14 peut être arrondi à 1.1 5,6,7,8,9  valeur supérieure, exemple : 1.15 peut être arrondi à 1.2

Exploitation : Publier Chaque expérience donne lieu à un compte-rendu comportant : titre, introduction, procédure, tableau(x), graphe(s), et discussion. Le titre doit préciser le sujet présenté et la méthode générale utilisée. L’ introduction donne i) l'objectif de l'expérience; ii) un bref rappel des connaissances théoriques et/ou expérimentales liées au sujet étudié. Le modèle représenté par une ou des équations liant les variables observées est précisé ainsi que les limites de sa validité; iii) les moyens de tester le modèle; iv) une référence bibliographique où trouver la base théorique du modèle. La procédure donne i) le schéma du montage global. Il doit être clair et précis; ii) la méthode de mesure de chacune des variables, l'incertitude et les précautions éventuelles. Les tableaux doivent contenir i) une numérotation si il y a plusieurs tableaux; ii) un titre; iii) le tableau lui-même contenant a) les symboles des paramètres mesurés, b) les unités, c) les incertitudes, d) les valeurs Le(s) graphe(s) doivent être soigneusement réalisés et permettre d'en extraire des informations précises. Ils permettent aux lecteurs de visualiser le comportement du système de telle façon qu'ils puissent juger par eux mêmes de la validité des conclusions faites dans le dernier paragraphe.

Exploitation : Publier La discussion présente la comparaison modèle-système, elle est factuelle et ne doit en aucune façon engager le jugement personnel. Dans le cas où le modèle est validé, l'objectif(s) présenté(s) dans l'introduction est atteint(s). Dans le cas contraire, il faut préciser dans quelle mesure les résultats sont exploitables. Dans cette étape, l'expérimentateur peut introduire ses propres idées. L'interprétation peut être facile à identifier par exemple en utilisant les limites de validité du modèle déjà précisées dans l'introduction. L'expérimentateur peut émettre des hypothèses ayant une connexion logique avec l'écart observé. La discussion est importante dans la mesure où elle peut aboutir à un "raffinement " du modèle. Dans certains cas, nous pouvons échouer à donner une interprétation des écarts observés, il faut alors rester honnête en le reconnaissant et laisser aux lecteurs la possibilité d'amorcer une discussion dont pourra émerger de nouvelles idées.

Publier Les graphes: Exploitation : Un titre Symbole et unité sur chaque axe Resserrer les points au voisinage des singularités

Publier Les graphes: Exploitation : Le tracé d'une courbe ne doit pas masquer les points expérimentaux Les marques et les nombres sont régulièrement disposés

Publier Les graphes: Exploitation : Modèle y = a x2 + b  on pose u=x2, on représente y = au+b Modèle y = a sin(x)+b  on pose v=sin(x), on représente y = av+b Modèle y = a exp(x)+b  on pose w=exp(x), on représente y = aw+b Les changements de variables ne sont pas toujours possibles …

Exercice 1 Dimensionnez les coefficients A, B et C dans l’équation suivante (où [v] = m/s et [t]=s ): Exercice 1I Montrer qu’on a les relations simples ci-dessous :

Exercice III Exercice IV Supposons que l’on mesure une résistance R en mesurant la tension U à ses bornes quand elle est parcourue par le courant d’intensité i. Les mesures donnent U= 9.35 V et i=11.0 A. On estime que dans les conditions où elles ont été mesurées, U et i sont des variables aléatoires d’écart type U = 45 mV et i = 50 mA. Donner U, i, R et R (intervalle de confiance à 95%). Exercice IV On veut calculer la distance focale f d’une lentille par la relation : On trouve p1 = -20.cm et p2 = 30 cm et l’on sait que l’expérimentateur, avec le matériel dont il dispose, mesure en fait les distances à 1 cm prés. Cela signifie que p1 = p2 = 1 cm. Calculer f’ et f’.

Exercice V a) Déterminez approximativement l’incertitude relative de la mesure 8.7 m. b) Quel est le l’incertitude relative de la mesure (8.86 ± 0.17) s ? c) Calculez l’incertitude relative du volume d’une sphère dont le rayon est : r = 2.48 ± 0.03 m. d) Calculer l’aire et l’incertitude des rectangles de côtés R1 : 5.6 ± 0.1 cm et 15.3 ± 0.1 cm R2 : 5.6 ± 0.5 cm et 15.3 ± 0.5 cm

Exercice VI Exercice VII On mesure une longueur avec un pied à coulisse de résolution 0.01 mm. Une première mesure donne L1= 12.88 mm alors qu’une seconde mesure effectuée dans les mêmes conditions donne L2= 12.86 mm. Avec seulement ces 2 mesures, quel résultat et quelle incertitude « raisonnables » peuvent être donnés ? Exercice VII La résistance équivalente à 2 résistances R1 et R2 placées en parallèle est donnée par la relation bien connue :   Donner les dérivées partielles et .

Exercice VIII La mesure d’une tension est effectuée à l’aide d’un voltmètre dont une image est donnée ci-contre. Aprés consultation de la notice « constructeur », l’opérateur note qu’en mode voltmètre courant continu, l’incertitude est donnée par : ± 0,8 % valeur lue + 2 digits. Donner la valeur de la tension mesurée et son incertitude.

Exercice IX En étudiant la décharge d'un condensateur C dans une résistance R, on mesure la tension aux bornes de ce condensateur en fonction du temps écoulé après la fermeture du circuit. Les résultats sont consignés dans le tableau ci- contre : i V R C On suppose une relation de la forme V=V0 exp(-t/) avec V0 et  des constantes. Vérifier graphiquement cette hypothèse. Si elle est valide, déterminer la constante de temps  = RC et son incertitude. De même donner V0.