PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C

Approximation de fonctions (cas non-linéaire Approximation linéaire multivariée Méthode du moindre carré Approximation non-linéaire Exemple: Approximation d’indice boursier

Approximation linéaire multivariée Cherchons une droite d’approximation de la forme y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + .... + bp xp Posons Yi valeurs expérimentales faisant référence aux valeurs des variables xij, i1,N, j0,p, ou N est le nombre de points et p le nombre de variables Et yi une valeur calculée (approximation) par: où xij représente les valeurs des variables

Approximation linéaire multivariée Cherchons le polynôme d’approximation qui appro-xime le mieux les données expérimentales Définissons un terme d’erreur de la forme: ei = Yi - yi Le critère de moindre carré exige que: soit minimum (N est le nombre points de contrôle)

Approximation linéaire multivariée Cherchons les valeurs de bj qui minimise S

Approximation linéaire multivariée En divisant par -2 et en distribuant la  nous obtenons

Approximation linéaire multivariée  

Approximation non-linéaire Nous pouvons effectuer l’approximation de N points de contrôle (mesures) à l’aide de polynômes de de-gré n SI N = n + 1 => polynôme d’interpolation SI N > n + 1 => polynôme d ’approximation Les polynômes d’approximation prennent alors la forme: y = b0 + b1 x + b2 x2 + .... + bn xn

Approximation non-linéaire Cherchons le polynôme d’approximation qui appro-xime le mieux les données expérimentales Définissons un terme d’erreur de la forme: ei = Yi - yi Le critère de moindre carré exige que: soit minimum (N est le nombre points de contrôle)

Approximation non-linéaire Cherchons les valeurs de bj qui minimise S

Approximation non-linéaire Après simplifications

Approximation non-linéaire Sous forme matricielle nous avons:

Approximation non-linéaire Exemple avec N = 11 et n = 2, nous cherchons le polynôme d’approximation de la fonction bruitée y = 1 - x + 0.2 x2

Approximation non-linéaire

Approximation non-linéaire Nous avons sous forme matricielle

Approximation non-linéaire Après avoir résolu ce système d’équations nous obtenons comme solution: b0 = 0.998 b1 = -1.018 b2 = 0.225 Ce qui permet de déduire le polynôme d’approxima-tion: y = 0.998 - 1.018 x + 0.225 X2

Approximation non-linéaire Le degré du meilleur polynôme d’approximation peut être estiminé en évaluant le critère suivant: Nous cherchons alors le polynôme de degré n pour lequel 2 est minimal

Approximation non-linéaire Dans le cas de notre exemple

Exemple : Approximation d’indice boursier Approximation d’un ensemble de données portant sur les cotes boursières (XXM)

Exemple : Approximation d’indice boursier Résultats attendus (degré 1: cas linéaire)

Exemple : Approximation d’indice boursier Résultats attendus (degrés: 2, 3, 4, 5) 5 2 3 4