Introduction à la programmation linéaire Inspiré de Cliff Ragsdale (Virginia Tech)

La programmation linéaire peut être définie comme étant une méthode qui permet d’allouer de façon optimale des ressources disponibles en quantités limitées à des activités compétitrices. Buongiorno

Caractéristiques de la PL Décisions (Variables décisionnelles) Qu’est-ce qu’on cherche à établir? Contraintes Viennent définir l’ensemble des solutions possibles. Objectif Maximisation - Minimisation

Forme générale d’un problème d’optimisation MAX (ou MIN): f0(X1, X2, …, Xn) Sujet à: f1(X1, X2, …, Xn) <= b1 : fk(X1, X2, …, Xn) >= bk fm(X1, X2, …, Xn) = bm Si toutes les fonctions sont linéaires, le problème en est un de programmation linéaire.

Forme générale d’un problème en programmation linéaire MAX (ou MIN): c1X1 + c2X2 + … + cnXn Sujet à: a11X1 + a12X2 + … + a1nXn <= b1 : ak1X1 + ak2X2 + … + aknXn <= bk am1X1 + am2X2 + … + amnXn = bm

Propriétés d’un modèle de programmation linéaire Linéarité Équations polynômiales de degré 1 Divisibilité & continuité Domaine des variables 

Propriétés d’un modèle de programmation linéaire (Suite) Séparabilité & additivité c1X1 + c2X2 + … + cnXn Fonction objectif unique Min coût, Max profit, … Données considérées certaines

Exemple Equipement inc. produit deux types de chargeuses: A et B A B Pompes 1 1 M-O 9 heures 6 heures Tuyaux 12 m 16 m Profit unitaire $350 $300 Il y a 200 pompes, 1566 heures en M-O, et 2880 mètres de tuyaux disponibles.

5 Étapes pour la formulation du problème LP Comprendre le problème. 2. Identifier les variables décisionnelles. X1 = nbre de chargeuses A produites X2 = nbre de chargeuses B produites 3. Définir la fonction objectif en une combinaison linéaire de variables décisionnelles. MAX: 350X1 + 300X2

5 Étapes pour la formulation du problème LP (Suite) 4. Définir les contraintes en une combinaison linéaire de variables décisionnelles. 1X1 + 1X2 <= 200 } pompes 9X1 + 6X2 <= 1566 } M.-O. 12X1 + 16X2 <= 2880 } tuyaux 5. Identifier limites supérieures ou inférieures sur les variables décisionnelles. X1 >= 0 X2 >= 0

Sommaire du modèle LP Equipement inc. MAX: 350X1 + 300X2 S.T.: 1X1 + 1X2 <= 200 9X1 + 6X2 <= 1566 12X1 + 16X2 <= 2880 X1 >= 0 X2 >= 0

Résoudre un problème PL: Une approche intuitive Idée: Chaque chargeuse A (X1) génère le profit unitaire le plus élevé (350$), faisons-en le plus possible! Combien en fabriquer? Posons X2 = 0 1ère contrainte : 1X1 <= 200 2è contrainte : 9X1 <=1566 ou X1 <=174 3è contrainte : 12X1 <= 2880 ou X1 <= 240

Résoudre un problème PL: Une approche intuitive (Suite) Si X2=0, la valeur maximale de X1 est 174 et le profit total est: (350$ * 174) + (300$ * 0) = 60 900$ C’est une solution possible mais est-elle optimale? Non!

Résolution problème PL: Une approche graphique Les contraintes d’un problème PL définissent la région de faisabilité. Le meilleur point dans la zone de faisabilité correspond à la solution optimale. Pour des problèmes à deux variables, il est facile de tracer la zone de faisabilité et de trouver la solution optimale.

Tracé de la première contrainte X2 250 (0, 200) 200 Contrainte des pompes X1 + X2 = 200 150 100 50 (200, 0) 50 100 150 200 250 X1

Tracé de la deuxième contrainte Contrainte de main-d’oeuvre (0, 261) 250 Contrainte de main-d’oeuvre 200 9X1 + 6X2 = 1566 150 100 50 (174, 0) 50 100 150 200 250 X1

Tracé de la troisième contrainte X2 250 (0, 180) 200 150 Contrainte des tuyaux 12X1 + 16X2 = 2880 100 Zone de faisabilité 50 (240, 0) 50 100 150 200 250 X1

Tracé d’une droite de la fonction objectif X2 Tracé d’une droite de la fonction objectif 250 200 (0, 116.67) Fonction objectif 150 350X1 + 300X2 = 35000 100 (100, 0) 50 50 100 150 200 250 X1

Un deuxième tracé de la fonction objectif 250 (0, 175) Fonction objectif 200 350X1 + 300X2 = 35000 Fonction objectif 150 350X1 + 300X2 = 52500 100 (150, 0) 50 50 100 150 200 250 X1

Tracé de la solution optimale X2 250 Fonction objectif 200 350X1 + 300X2 = 35000 150 Solution optimale 100 Fonction objectif 350X1 + 300X2 = 52500 50 50 100 150 200 250 X1

Calcul de la solution optimale La solution optimale se trouve à l’intersection des contraintes de pompes et de m-o. Où: X1 + X2 = 200 (1) 9X1 + 6X2 = 1566 (2) De (1) nous avons: X2 = 200 -X1 (3)

Calcul de la solution optimale (Suite) En substituant (3) pour X2 dans (2) nous avons: 9X1 + 6 (200 -X1) = 1566 ce qui fait X1 = 122 La solution optimale est : X1 = 122 X2 = 200-X1=78 Profit total = (350$*122) + (300$*78) = 66 100$

Situations spéciales avec problèmes PL Plusieurs anomalies peuvent survenir: Solutions optimales multiples Contraintes redondantes Problème non-contraint (“Unbounded Solutions”) Infaisable

Exemple de solutions optimales multiples 250 Tracé de la fonction objectif 450X1 + 300X2 = 78300 200 150 100 Solutions optimales équivalentes 50 50 100 150 200 250 X1

Example d’une contrainte redondante 250 Contrainte des tuyaux 200 Contrainte des pompes 150 Contrainte de la M-O 100 Zone de faisabilité 50 50 100 150 200 250 X1

Exemple d’une solution “unbounded” 1000 Fonction objectif X1 + X2 = 600 -X1 + 2X2 = 400 800 Fonction objectif X1 + X2 = 800 600 400 200 X1 + X2 = 400 200 400 600 800 1000 X1

Exemple d’infaisabilité 250 200 X1 + X2 = 200 Zone de faisabilité de la deuxième contrainte 150 100 Zone de faisabilité de la première contrainte 50 X1 + X2 = 150 50 100 150 200 250 X1