Introduction à la programmation linéaire

Recherche opérationnelle Applications de la théorie des graphes problèmes d’ordonnancement Programmation linéaire

La démarche de la R.O. Identification du problème Collecte des informations Construction d'un modèle Obtention des solutions Interprétation et discussion

Skigliss : l’histoire d’une diversification Une entreprise de production de skis division 1 : noyaux bois division 2 : noyaux PU division 3 : moulage Diversification avec : le snowboard freestyle (produit 1) et le snowboard alpin (produit 2) Réorganisation de la production 40 minutes libérées dans la division 1 120 minutes libérées dans la division 2 180 minutes libérées dans la division 3

Skigliss : identification du problème Décider quelle quantité produire pour chaque modèle, de manière à maximiser le profit, tout en respectant les contraintes.

Skigliss : collecte des informations La production d’un modèle 1 utilise 2 minutes en division 2 et 2 minutes en division 3 . La production d’un modèle 2 utilise 1 minute en division 1 et 3 minutes en division 3. Le profit généré par la production d’un modèle 1 est égal à 40 € et pour un modèle 2 à 30 €.

Skigliss : modélisation Choix des variables de décision Soit x1 le nombre de modèles 1 produits en 1 jour Soit x2 le nombre de modèles 2 produits en 1 jour Détermination des contraintes Si la production d’un modèle 2 utilise 1 minute, la production de x2 unités utilise x2 minutes. Comme la disponibilité journalière est de 40 minutes, on doit avoir : x2 £ 40 2 x1 £ 120 2 x1 + 3 x2 £ 180

Skigliss : modélisation Objectif = Fonction économique on cherche à maximiser le profit, c’est à dire à maximiser : Z = 40 x1 + 30 x2

Le modèle : un programme linéaire MAX Z = 40 x1 + 30 x2 x2 £ 40 2 x1 £ 120 2 x1 + 3 x2 £ 180 x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

Résolution graphique x2 x2 = 40 x1 60 50 40 30 20 10 10 20 30 40 50 60 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Résolution graphique x2 2 x1 = 120 x2 = 40 x1 60 50 40 30 20 10 10 20 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Résolution graphique x2 2 x1 = 120 2 x1 + 3x2 = 180 x2 = 40 x1 60 50 30 20 10 x1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Résolution

Résolution graphique Ensemble des solutions réalisables x2 2 x1 = 120 60 2 x1 + 3x2 = 180 50 40 x2 = 40 Ensemble des solutions réalisables 30 solution optimale x1 = 60 x2 = 20 Z = 3 000 20 Droite d’iso-profit 10 x1 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Résolution avec Excel On appelle le solveur (Outils Solveur) On définit la cellule cible (ici : D10) On définit le sens de l’optimisation (ici : Max) On indique les cellules variables (ici B2 et C2) On ajoute les contraintes (elles peuvent être entrées sous forme vectorielle) On spécifie l’option : « Modèle supposé linéaire » Et enfin on clique sur le bouton Résoudre