EXERCICES D’ARITHMETIQUES RESOLUS M-A-MATHS

EXERCICE N°1 ENONCE: Montrer que si a et b sont deux entiers relatifs non divisible par 3 , est divisible par 3 CORRECTION: On utilise la congruence modulo 3. A n’est pas divisible par 3signifie que a n’est pas congru à 0 modulo 3 donc Et de même pour b : Or donc et par suite CONCLUSION: est divisible par 3

EXERCICE N°2 N°2 ENONCE : Déterminer deux entiers naturels connaissant leurs sommes 360 et leurs P.G.C.D 18 CORRECTION: Soient a et b deux entiers naturels tels que a+b=360 et pgcd(a,b)=18; Pgcd(a,b) = 18 signifie qu’il existe un couple d’entiers naturels (a’,b’) tel que a=18a’ et b=18b’ avec pgcd(a’,b’) = 1 Donc on aura a’+b’=20 et a’ et b’ sont premiers entres eux et par suite les couples (a’,b’) sont (1,19);(3,17) ; (7,13) ; (9,11) ; (19,1) ; (17,3) ; (13,7) ; (11,9) CONCLUSIONS: Les entiers a et b chercher sont : (18,18x19) ;(18x3,18x17) ; (18x7,18x13) ; (18x9,18x11) ; (19x18,18) ; (17x18,3x18) ; (13x18,7x18) ; (11x18,9x18) .

EXERCICE N°3 ENONCE: Déterminer deux entiers connaissant leur plus grand commun diviseur d=6 et leur plus petit commun multiple m=240 CORRECTION: On a d=6 donc il existe un couple d’entiers naturels (a’,b’) tel que a=6a’ et b=6b’ avec pgcd(a’,b’) = 1 et on a axb=md donc a’xb’=40 et par suite les couples (a’,b’) sont (1,40);(5,8) ; (40,1) ; (8,5) CONCLUSION: Les entiers a et b chercher sont les couples (a,b) suivants: (6,240) ;(30,48) ; (240,6) ; (48,30)

EXERCICE N°4 ENONCE: 1-Résoudre dans l’équation 3u-8v=6 2-En déduire l’ensembles des solutions dans Du système CORRECTION: 1-3u-8v=6 (1) et posons d =pgcd(3,8) On a d=1 donc l’ensemble des solutions de (1) n’est pas vide et on a 3(-6) -8(-3)=6 (2) donc le couple (-6,-3) est une solution particulière de (1) D’où en faisant la différence membre à membre entre (1) et (2) on obtient 3(u+6)=8(v+3)

EXERCICE N°4 (suite de la correction) Et on a 3/8(v+3) et d= 1 donc 3/v+3;d’où il existe k tel que v+3=3k et par suite u+6 = 8k CONCLUSION: Les solutions de (1) sont les couples (u,v) 2- ; D’où 3u+1=8v+7 ce qui signifie 3u-8v=6 En remplacant u ou v par sa valeur dans l’expression de x on obtient x=24k-17 ,

EXERCICE N°5 ENONCE: Soit n un entier premier différent de 2 .On considère les entiers naturels et et on désigne par d le pgcd (a,b) 1-a-Montrer que: b-Démontrer que d=n+1 ou d= 3(n+1) 2-a-Trouver une condition nécessaire et suffisante pour qu’on ait 70a-13b=8 b-Montrer alors que la seule valeurs possible de n est 7

EXERCICE N°5 (correction) n est un entier naturel premier différent de 1.posons d= pgcd (a,b) 1-a-on a : b-on a: d= pgcd( Or le pgcd(n+1,3)=1 ou pgcd(n+1,3)=3 Donc d=n+1 ou d=3(n+1)

CORRECTION EX5(suite) 2-si d=n+1 alors n+1/a et n+1/b donc n+1/8 et par suite n+1 d’où n=3 ou n=7 or 70x16-13x28 8 donc 3 ne convient pas ;d’autre part Donc 7 convient si d=3(n+1) alors 3(n+1)/a 3(n+1)/b donc 3(n+1)/8 ceci est impossible car pdcd(3,8)=1 ainsi la seule valeur de n est 7

EXERCICE N°6 Soit m dont la décomposition en facteurs premiers est :m= ENONCE Soit m dont la décomposition en facteurs premiers est :m= 1- Quel est le nombre N des diviseurs de m? - Quel est la somme S des diviseurs de m? - Trouver N et S pour que m=2800 -Trouver S pour m= 2- Deux entiers naturels sont dits aimables si chacun d’eux est la somme des diviseurs autres que lui-même de l’autre . Montrer que a=220 et b=284 sont aimables 3- Un entier naturel est dit parfait s’il est la somme de ses diviseurs autre que lui-même . Montrer que lorsque est premier l’entier A= est parfait. Donner quelques exemples de nombres parfaits

CORRECTION EX N°6 1- S=(1+a+………+ (1+b+…….+ (1+c+……+ N= (1+p)(1+q)(1+r) m=2800 = ; N=5.3.2 = 30 et S = (1+2+4+8+16)(1+5+25)(1+7) = 7688 m = donc S = 1+2+……+ = 2 – a=220 = . 5. 11 alors S=504 ; b = 284 = . 71 S’= 504 ; S-a = 284=b S’-b = 220 = a donc a et b sont aimables 3 – A = si est premier alors est la décomposition unique de A en facteurs premiers donc A est un entier parfait Exemples d’entiers parfaits : n = 2 , A = 2x3 =6 ; n = 3 ,A = 4x(9-1) = 32 n = 4 ; = 15 n’est pas premiers . n = 5 , = 31 premier donc A = 496 .Trouver d’autre entiers parfaits .Bonne chance