MODULE 9 La fonction TANGENTE Mathématiques SN MODULE 9 La fonction TANGENTE Réalisé par : Sébastien Lachance

Mathématiques SN - La fonction TANGENTE - Équations et graphiques f(x) = tan x (forme générale de BASE) f(x) = a tan [ b ( x – h ) ] + k (forme générale TRANSFORMÉE) x = ( h + ) + Pn où n   (Équation des ASYMPTOTES) P 2 Les paramètres a, b, h, k influencent l’ouverture (dilatation ou contraction), l’orientation du graphique ainsi que la position du sommet. a = - 2 Exemple : f(x) = - 2 tan [ 3 ( x – 1 ) ] + 4 b = 3 h = 1 a b h k k = 4

L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il est en RADIAN ! f(x) = tan x (forme générale de BASE) L’angle « x » n’est pas en DEGRÉ, il est en RADIAN ! x f(x) Attention avec votre calculatrice* ! *Appuyer sur « MODE » et « RADIAN »  4 1 5 3 8 2,41  2 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2  2  3 2 2 5 2 3 7 2  -  4 - 5 -1 - 3 8 -2,41 -  2 

Période f(x) = tan x 5 -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2  2  3 2 2 5 2 3 7 2 - 5 La fonction TANGENTE est une fonction CYCLIQUE. PÉRIODE : Longueur d’un CYCLE.  | b | P = Il n’y a pas d’AMPLITUDE associée à cette fonction (contrairement aux fonctions sinusoïdales.)

f(x) = tan x P 2 Les équations des asymptotes sont donc : Période Asymptote Asymptote f(x) = tan x P 2 P 2 x = h – x = h + 5 -P 2 P 2 (h, k) -7 2 -3 -5 2 -2 -3 2 - - 2  2  3 2 2 5 2 3 7 2 - 5 Les équations des asymptotes sont donc : x = ( h + ) + Pn où n   P 2

 (h, k) = (- /2 , 3)  | b |  | 1/4 | P = = = 4 1 2 Exemple : 4 Représenter graphiquement f(x) = - 2 tan [ ( x + ) ] + 3 . 1 4  2 (h, k) = (- /2 , 3)  | b |  | 1/4 | P = = = 4 Période = 4 Période = 4 - 2 + 2 5 Période = 4 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -  2 3 4 5 6 7 - 5

Mathématiques SN - La fonction TANGENTE- Résolutions d’équations Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) + 1  4

RAPPEL  1 -1 y x On sait que : P() = ( , ) cos  sin  tan  = sin  Donc :  tan  = y x

Mathématiques SN - La fonction TANGENTE- Résolutions d’équations Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) + 1  4 0 = - tan 2 (x – ) + 1  4 -1 = - tan 2 (x – )  4 1 = tan 2 (x – )  4 Quel est l’angle dont la valeur est « 1 » lorsqu’on effectue « y / x » ? tan-1(1) = 2 (x – )  4

y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )

           2     2 Exemple #1 : Trouver les zéros de f(x) = - tan 2 (x – ) + 1  4 0 = - tan 2 (x – ) + 1  4 -1 = - tan 2 (x – )  4 1 = tan 2 (x – )  4 Quel est l’angle dont la valeur est « 1 » lorsqu’on effectue « y / x » ? tan-1(1) = 2 (x – )  4  4 = 2 (x – )  4 5 4 = 2 (x – )  4 et Période  | b |  | 2 |  2 P = P = =  8 = x –  4 5 8 = x –  4 3 8 = x1 7 8 = x2 Réponse : x   + n  où n   3 8  2

  4 4  + 2 1 REMARQUE… y  x -1 1 P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 )  +  4  4 2 1

2 =  – 1 2 = 2 – 1 2 =  + 1 En RÉSUMÉ… Avec SIN : Avec COS : 2 =  – 1 Avec COS : 2 = 2 – 1 2 =  + 1 Avec TAN :

Quel est l’angle dont la valeur est « » lorsqu’on effectue « y / x » ? Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = -3 tan (x – ) + 3 1 2 0 = -3 tan (x – ) + 3 1 2 3 = tan (x – ) 1 2 Quel est l’angle dont la valeur est «   » lorsqu’on effectue « y / x » ? tan-1 ( ) = (x – ) 3 1 2 3

1 2 3 2 1 2 2 3 1 3 ÷ = x = 3 y  x -1 1 EXPLICATION : Il faut rationnaliser ! 1 -1 y x P( ) = ( , ) 2 3 P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) - P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) P( ) = ( , ) P( ) = ( 1 , 0 ) P( ) = ( 0 , 1 ) P( ) = ( - 1 , 0 ) P( ) = ( 0 , - 1 ) 6  4 7 5 4 3 2 11 P( ) = ( 1 , 0 ) 3

Quel est l’angle dont la valeur est « » lorsqu’on effectue « y / x » ? Exemple #2 : Trouver les zéros de f(x) = -3 tan (x – ) + 3 1 2 0 = -3 tan (x – ) + 3 1 2 3 = tan (x – ) 1 2 Quel est l’angle dont la valeur est «   » lorsqu’on effectue « y / x » ? 3 tan-1 ( ) = (x – ) 3 1 2  6 = (x – ) 1 2 7 6 = (x – ) 1 2 et 2 6 = x –  14 6 = x –  Période  | b |  | 1/2 | P = P = = 2 4 3 = x1 10 3 = x2 Réponse : x   + 2n  où n   4 3

Mathématiques SN - La fonction TANGENTE- Résolutions d’inéquations Exemple : Résoudre f(x) = - tan 2 (x + ) – 1 ≥ 1  8 5 y = 1 -3 2 - - 2  8  2  3 2 P = /2 - 5

Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! Exemple : Résoudre f(x) = - tan 2 (x + ) – 1 ≥ 1  8 1 ≤ - tan 2 (x + ) – 1  8 2 ≤ - tan 2 (x + )  8 -2 ≥ tan 2 (x + )  8 Quel est l’angle dont la valeur est « -2 » lorsqu’on effectue « y / x » ? Il ne fait pas partie des 16 coordonnées remarquables ! tan-1(-2) ≥ 2 (x + )  8 -1,1071 ≥ 2 (x + )  8  + -1,1071 ≥ 2 (x + )  8 et -0,55355 ≥ x +  8 2,0344 ≥ 2 (x + )  8 -0,94625 ≥ x1 1,01722 ≥ x +  8 0,6245 ≥ x2

     Période | b | | 2 | 2 P = P = = Réponse : 5 y = 1 -3 2 - - 2  8  2  3 2 -0,94625 - 5 Période  | b |  | 2 |  2 P = P = = Réponse : x  ] + n , -0,94625 + n ] où n   -3 8  2  2