Systèmes semi-linéaires Remarque: Tu devrais visionner les présentations: - Systèmes d’équations du premier degré à deux variables.ppt - Résoudre une équation du second degré.ppt avant de visionner celle-ci.

Lorsqu’un système est composé d’équations du premier degré ou de degré 0, y1 = 2x + 4 y1 = 2x + 4 x y 1 x y 1 y = 6 y2 = - x - 3 il est qualifié de système linéaire.

Lorsqu’un système est composé d’une équation du premier degré et d’une équation d’un degré supérieur, y1 = 2x + 4 y1 = 2x + 5 1 x y x y 1 y = - ( x + 1 )2 + 4 x2 + y2 = 16 il est qualifié de système semi-linéaire.

Résoudre un système d'équations, c’est déterminer les coordonnées des points pour lesquels les deux équations sont égales. Les méthodes de résolution d’un système semi-linéaire sont les mêmes que pour un système linéaire: - par un graphique; - par une table de valeurs; - par les méthodes algébriques. Voyons ce qu’il en est.

Soit résoudre le système semi-linéaire suivant: f(x) = ( x + 1 )2 – 2 g(x) = x + 1 Résolution par un graphique 1 2 3 -1 -2 -3 4 -4 Les points d'intersections des 2 courbes sont les couples-solutions du système. Couples-solutions: ( -2 , -1 ) , ( 1 , 2) La méthode graphique est intéressante car elle présente la solution d'un seul coup d'œil; cependant, elle est rarement précise.

x Soit résoudre le système semi-linéaire suivant: f(x) = ( x + 1 )2 – 2 g(x) = x + 1 Résolution par une table de valeurs … -2 -1 1 2 x g(x) = x + 1 f(x) = (x + 1)2 - 2 3 4 7 14 -3 On peut remarquer que lorsque x = -2 et 1, les valeurs de y sont les mêmes dans les deux équations. Couples-solutions: ( -2 , -1 ) , ( 1 , 2) Remarque: La table de valeurs est un procédé intéressant quand on possède une calculatrice à affichage graphique ( comme la TI-80 ). Pour des valeurs entières de x et de y, la recherche est assez simple; cependant, pour des valeurs fractionnaires ou décimales, la recherche peut devenir fastidieuse.

Soit résoudre le système semi-linéaire suivant: f(x) = ( x + 1 )2 – 2 g(x) = x + 1 Par méthodes algébriques 1 2 3 -1 -2 -3 4 -4 en utilisant ces égalités , on peut résoudre le système rapidement et précisément en procédant par équivalence algébrique. À ces points précis, les deux équations sont égales;

La méthode de comparaison Pour calculer f(x), on doit utiliser f(x) = (x + 1)2 - 2 équation avec 2 variables Pour calculer g(x) , on doit utiliser g(x) = x + 1 équation avec 2 variables Sachant qu’aux points d’intersections f(x) = g(x) alors (x + 1)2 – 2 = x + 1 On compare ainsi les deux équations. On se retrouve alors avec une équation dans laquelle, il n’y a qu’une seule variable. (x + 1)2 – 2 = x + 1 Remarque: La méthode de comparaison et la méthode de substitution sont les deux principales méthodes à utiliser dans ce genre de système.

Il faut alors développer l’équation; (x + 1)2 – 2 = x + 1 1 2 3 -1 -2 -3 4 -4 (x + 1) (x + 1) – 2 = x + 1 (x2 + x + x + 1) – 2 = x + 1 x2 + 2x + 1 – 2 = x + 1 x2 + 2x - 1 = x + 1 puis, la ramener à 0. x2 + x - 2 = 0 Cette nouvelle fonction, h(x) = x2 + x - 2 est équivalente au système à résoudre. Chercher les zéros de cette nouvelle fonction donnera les mêmes valeurs d’abscisses que les points d’intersection du système. Il s’agit donc d’un procédé équivalent.

h(x) = x2 + x - 2 Pour trouver les zéros de cette fonction, on peut soit : - factoriser le polynôme et utiliser la loi du produit nul; h(x) = x2 + x - 2 0 = x2 + x - 2 ( x + 2 ) ( x – 1) x1 = -2 x2 = 1 - utiliser la formule des zéros; h(x) = x2 + x - 2 a = 1 b = 1 c = - 2 - b + - b2 – 4ac 2a - 1 + - 12 – 4 X 1 X -2 2 X 1 = x1 = -2 x2 = 1

Il faut maintenant déterminer les ordonnées des points d’intersections; pour ce faire, il faut utiliser une des deux équations de départ. x1 = - 2 x2 = 1 g(x) = x + 1 g(-2) = -2 + 1 = -1 g(1) = 1 + 1 = 2 f(x) = ( x + 1 )2 – 2 Validation: f(-2) = ( -2 + 1 )2 – 2 f(1) = ( 1 + 1 )2 – 2 f(-2) = ( - 1 )2 – 2 f(-2) = ( 2 )2 – 2 f(-2) = 1 – 2 = -1 f(-2) = 4 – 2 = 2 Couples-solutions: ( -2 , -1 ) , ( 1 , 2)

x x2 + y2 = 225 x2 + (-x + 21)2 = 225 x2 + x2 – 42x + 441 = 225 Problème x y 15 Sachant que la diagonale d’un rectangle mesure 15 cm et que son périmètre mesure 42 cm, détermine les dimensions de ce rectangle. 1) Déterminer les équations algébriques représentant le système. Périmètre: 2 ( L + l ) = 42 2 ( x + y ) = 42 2x + 2y = 42 Diagonale: x2 + y2 = 225 ( relation de Pythagore ) 2) Résoudre par la méthode de substitution: 2x + 2y = 42 2y = -2x + 42 y = -x + 21 x2 + y2 = 225 x2 + (-x + 21)2 = 225 x2 + x2 – 42x + 441 = 225 2x2 – 42x + 216 = 0

x1 = 9 x2 = 12 2x2 – 42x + 216 = 0 Résoudre avec la formule des zéros: a = 2 b = - 42 c = 216 - b + - b2 – 4ac 2a 42 + - 422 – 4 X 2 X 216 2 X 2 = x1 = 9 x2 = 12 si x = 12 si x = 9 y = -x + 21 9 = - 12 + 21 y = -x + 21 12 = - 9 + 21 et et 15 9 12 15 12 9

Problème Quelles sont les coordonnées des points d’intersection d’une droite passant par les points (5 , 6) et (8 , 12) et d’une parabole dont le sommet est (1, 4) et passant par le point (-2 , -5) ? 1) Déterminer les règles. y = 2x + b avec (8 , 12) x1 x2 - y1 y2 5 8 - 6 12 La droite: = = 2 12 = 2 X 8 + b - 4 = b y = 2x - 4 La parabole: en utilisant la forme canonique: y = a (x – h)2 + k h = 1 k = 4 x = -2 y = -5 -5 = a ( -2 – 1)2 + 4 -5 = a ( - 3)2 + 4 -5 = 9a + 4 -9 = 9a y = - (x – 1)2 + 4 -1 = a

2) Résoudre le système par la méthode de comparaison. y = 2x - 4 y = - (x – 1)2 + 4 x1 ≈ - 2,6 2x – 4 = - (x – 1)2 + 4 y = 2x - 4 2x – 4 = - (x – 1) (x – 1) + 4 y ≈ 2 X -2,6 – 4 ≈ - 9,2 2x – 4 = - (x2 - 2x + 1) + 4 x2 ≈ 2,6 2x – 4 = - x2 + 2x - 1 + 4 y = 2x - 4 2x – 4 = - x2 + 2x + 3 y ≈ 2 X 2,6 – 4 ≈ 1,2 0 = - x2 + 7 - x2 + 7 = 0 Réponse: (≈ -2,6 , ≈ - 9,2) , (≈ 2,6 , ≈ 1,2) - x2 = -7 x2 = 7 x = ± 7 x ≈ ± 2,6 x1 ≈ - 2,6 x2 ≈ 2,6

+ - x Remarque: Dans la formule des zéros à l’étape consistant à extraire la racine carrée de chaque membre ou - b + - b2 – 4ac 2a ( x + 1 )2 = 25 la quantité sous radical sert de discriminant. y + nombre positif, alors 2 points d’intersection; alors 1 point d’intersection; x - nombre négatif, alors aucun point d’intersection.