Ensembles de nombres R Q’ Q Z N et langage

L’être humain crée les outils dont il a besoin. Mesurer, faire du commerce, partager, exécuter un travail de haute précision, tous ces objectifs nécessitent l’utilisation de différentes sortes de nombres. Les nombres ont donc évolué; au début, ils étaient assez simples mais avec les besoins de plus en plus complexes de l’homme, ils se sont développés et spécialisés. L’homme a donc créé différents ensembles ( différentes familles ) de nombres; chaque ensemble a ses propres caractéristiques et traduit des situations différentes. N : les nombres entiers naturels Z : les nombres entiers relatifs Q : les nombres rationnels Q’ : les nombres irrationnels R : les nombres réels

Avant de décrire les nombres et leurs ensembles, il faut savoir que ces différents nombres sont écrits avec des chiffres. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Il existe 10 chiffres : Ces chiffres représentent l’alphabet des nombres. Avec eux, on peut écrire les nombres. Ainsi 145 est un nombre, composé de 3 chiffres soit le 1, le 4 et le 5. 6 est aussi un nombre, composé d’un seul chiffre soit le 6.

∞ N : N les nombres entiers naturels. Ce sont, dans l’histoire, les premiers nombres à être utilisés. Les hommes de l’époque comptaient ce qu’ils possédaient. 3 enfants, 25 chèvres, 56 arbres, etc. Ces nombres servent à compter des objets entiers. 2 pommes 5 chaises 9 planètes 500 personnes 1 246 980 étoiles Ils sont tous des nombres entiers et positifs. Il débute à 0 et ne se termine jamais; après un nombre, il y en a toujours un de plus. N : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Ils s’étendent jusqu’à l’infini sans jamais l’atteindre. Remarque: Les hommes ont inventé un symbole pour décrire l’infini; ce symbole est le suivant : ∞

Sur une droite numérique, on ne peut représenter cet ensemble qu’avec des points. 1 2 3 4 5 6 … ∞ + N Ce dessin symbolise l’ensemble des entiers naturels. Tous les nombres entiers naturels se retrouvent à l’intérieur de ce cercle. Les nombres entiers négatifs, les fractions et les nombres décimaux ne font pas parti de cette famille.

Prenons un exemple: Un magasin de jouets vend des yoyos au prix de 10,00 $ chacun. On s’intéresse au revenu des ventes ($) en fonction du nombre de yoyos. Voici la règle et le graphique représentant cette situation. f(x) = 10x 1 2 3 4 10 20 30 40 Yoyos vendus Vente de yoyos Revenus ($) Ici, on représente des nombres entiers. On ne peut pas utiliser une courbe pleine. On doit donc tracer la courbe ainsi. Une courbe pleine ne serait pas significative. Elle signifierait que l’on peut vendre un demi-yoyo pour 5,00 $. Peu de personnes achèteraient un demi-yoyo même pour 5,00 $.

Z : Z les nombres entiers relatifs. Un jour, les hommes ont eu besoin de représenter de nouvelles situations: Exemples: la température: +20 0C et - 20 0C ne représentent pas le même degré de chaleur. les dettes: quand tu reçois un salaire de 100 $, tu possèdes + 100 $ mais si tu t’achètes un mp3 de 150 $, il te manque 50 $; tu es donc à - 50$. L’ensemble des entiers relatifs ne comporte que des nombres entiers ( pas de fractions ni de décimaux); il regroupe les nombres entiers naturels et les nombres entiers négatifs. La famille s’agrandit ! Z N Z : …, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Remarque: On note Z l’ensemble des entiers relatifs car c’est un allemand appelé Zahl qui en a parlé le premier.

∞ ∞ Ils permettent de construire une droite numérique à gauche du 0. 1 1 2 3 4 5 6 … ∞ + ∞ - - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 … Ils ne se terminent jamais s’en allant comme pour les nombres naturels vers l’infini mais l’infini négatif. Comme pour l’ensemble des nombres naturels, on ne peut représenter l’ensemble des entiers relatifs sur une droite numérique que par des points.

Q : Q les nombres rationnels. Comment faire pour représenter : la moitié d’une pomme, 3 centièmes de seconde, le quart d’une tarte, 5,75 $ Pour ce faire, nous avons besoin d’un nouvel ensemble; cet ensemble regroupe toutes les fractions et les nombres décimaux périodiques. Q : …, -6, …, -5,24, …, -1/2, …, 0, …, 3/4, …, 2, …, 7,238, … On utilise la lettre Q pour signifier un quotient. Il existe une définition formelle pour décrire cet ensemble: Un nombre rationnel est un nombre de la forme dans laquelle a et b sont des entiers et b ≠ 0. a b Voyons ce que cela veut dire.

Un nombre rationnel est un nombre de la forme dans laquelle a et b sont des entiers et b ≠ 0. 2 5 2 est un nombre entier a et b sont des nombres entiers: 5 est un nombre entier donc est une fraction donc un nombre rationnel. 2 5 3 4,5 3 est un nombre entier 4,5 n’est pas un nombre entier mais un nombre rationnel donc n’est pas une fraction, c’est un rapport. 3 4,5 b ≠ 0 : en mathématique, la division par 0 n’est pas définie. Exemple: Posons x = 5 et effectuons le produit croisé : 0 x = 5 Cette expression signifie quelle valeur doit-on donner à x, pour que multipliée par 0, l’expression soit égale à 5 ? ???????????????????????? Un dénominateur ne doit jamais être égal à zéro.

Voyons maintenant les implications de cette définition. Les nombres décimaux périodiques étant une autre forme d’écriture des fractions, ils font donc aussi parti de l’ensemble des rationnels. 1 2 = 0,5 7 4 = 1,75 -8 5 = - 1,6 1 3 = 0,333333... Les nombres périodiques sont ceux que l'on peut indéfiniment diviser et dont les décimales reproduisent périodiquement une même série de chiffres. Ainsi, si on effectue la division de , on obtient ceci: 1 3 1 3 Si on continuait la division, elle ne s’arrêterait jamais - 1 , 3 3 3 et le chiffre 3 se répéterait indéfiniment. - 9 3 est donc la période. 1 - 9 1 - 9 1

Certaines fractions ont une forme décimale comportant une période très longue. 2 7 Exemples: = 0, 285 714 285 714 285 7… 1 17 = 0, 058 823 529 411 764 705 882 352 941 176 47… Pour indiquer cette période, on place au-dessus de la période un trait. Ce trait indique que la période se répète indéfiniment. 2 7 = 0, 285 714 285 714 285 7… = 0, 285 714 1 17 = 0, 058 823 529 411 764 705 882 352 941 176 47… = 0, 058 823 529 411 764 7 1 3 = 0,333 333… = 0, 3 1 3 Attention: = 0, 3 et non = 0, 33 La période est 3 et non 33.

Les nombres entiers et les nombres décimaux sont considérés comme des nombres rationnels car, on pourrait dire qu’ils ont une période de 0. Exemples: 7 = 7, 0 - 125 = - 125, 0 34,8 = 34,8 0 Bien entendu, on ne l’écrit pas mais il faut s’en souvenir. Les entiers font parti de l’ensemble des rationnels parce qu’ils sont des fractions entières. 8 4 = 2 - 9 3 = - 3 Exemples: Q La famille s’agrandit encore ! Z N Sur la droite numérique, il y a de plus en plus de nombres.

∞ Sur la droite numérique, il y a de plus en plus de nombres. 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 … ∞ + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 - 1 2 La figure, ci-dessus, veut montrer qu’il y a beaucoup de nombres mais il y en a beaucoup plus que cela. Prenons comme exemple, les nombres que l’on pourrait placer entre 1 et 2. Agrandissons cette distance: 1,0 2,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 Plaçons les dixièmes:

1,1 1,0 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 Maintenant, agrandissons la distance entre 1,0 et 1,1 et plaçons les centièmes: 1,0 1,1 1,09 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 On pourrait faire la même démarche pour placer les millièmes, puis les dix-millièmes, etc. On pourrait répéter la même démarche jusqu’à l’infini; il y aurait toujours de la place pour des nombres dont la partie décimale est de plus en plus petite. Il existe donc une infinité de nombres entre deux nombres.

Q’ : Q’ ~ ℮ les nombres irrationnels De nouvelles réalités ont forcé l’homme à créer un nouvel ensemble de nombres. Lorsqu’on étudie les côtés d’un triangle, la circonférence d’un cercle ou encore en calculant des intérêts bancaires, nous devons travaillé avec des nombres particuliers. Ce sont les irrationnels. Q’ : 2 3 5 ~ ℮ 1 + , … Les nombres irrationnels forment un ensemble particulier. 1 Exemple: Voici un triangle rectangle de 1 unité de côté. L’hypoténuse de ce triangle se calcule avec la relation de Pythagore comme suit: a2 + b2 c = donc c = 12 + 12 c = 2

~ ~ Si on extrait la racine carrée de 2, on obtient le nombre suivant: ≈ 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7… Ce nombre est un nombre décimal non-périodique; la partie décimale est infinie et on ne retrouve aucune période. Le même problème se pose avec : ~ ~ ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 5… Pourtant ces nombres sont utiles dans beaucoup de situations. Les nombres irrationnels sont donc des nombres décimaux dont la partie décimale est infinie et non-périodique. Avec ces nombres, la droite numérique est pleine.

∞ Prenons l’exemple de la racine carrée de 2: 2 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7… ≈ Cette valeur devrait se positionner entre 1,41 et 1,42 2,1 ≈ et 1, 449 13… Cette valeur devrait se positionner entre 1,44 et 1,45 Ainsi, en calculant les racines des différents nombres, on obtient encore une infinité de nouveaux nombres, ce qui remplit la droite numérique. 1 2 3 4 5 6 … ∞ + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 - Attention: Ce ne sont pas tous les nombres avec des racines qui sont irrationnels. 4 = 2 donc un nombre entier.

R Tous ces ensembles de nombres forment la grande famille des nombres réels: R Q’ Q Z N est inclus dans l’ensemble des nombres entiers relatifs L’ensemble des nombres entiers naturels qui lui est inclus dans l’ensemble des nombres rationnels qui, à son tour est inclus dans l’ensemble des nombres réels. On pourrait aussi écrire ce même paragraphe à l’aide du langage mathématique. en mathématique, ce symbole signifie « est inclus dans ». donc N Z Q R L’ensemble des nombres irrationnels est à part mais il est inclus dans l’ensemble des nombres réels.

R Q’ Q Z N Un autre symbole mathématique nous permet de tout écrire. Ce symbole est celui qui sert à décrire l’union entre 2 ou plusieurs ensembles: donc R = Q Q’ Les mathématiciens ont inventé des codes mathématiques pour pouvoir décrire des phénomènes qui, en français, seraient trop longs à écrire. Apprendre ce langage est, au début, difficile mais essentiel si tu désires continuer ton cheminement en mathématique.

Il existe un dernier ensemble de nombre qui n’est pas étudié au secondaire. Il s’appelle l’ensemble des nombres complexes : Ces nombres ont des propriétés liées à la trigonométrie, et qui sont très utiles en Sciences Physiques pour l’étude des réseaux électriques, ainsi que pour les travaux concernant les courants alternatifs. Exemple: - 4 Dans l’ensemble des nombres réels, n’existe pas. - 4 En effet, on ne peut pas extraire la racine carrée d’un nombre négatif. En utilisant les lois sur les radicaux, les mathématiciens ont décomposé cette racine en deux. = - 4 - 1 X 4 = -1 4 X Ils ont symbolisé par i. - 1 Ainsi = 2 i - 4 Ils peuvent donc effectuer des calculs complexes.

Nombres et langage < > ≤ ≥ Voyons, maintenant, comment on peut décrire tous ces différents nombres. Il faut apprendre quelques symboles; ceux-ci nous permettent de décrire de très grandes quantités de nombres. Lorsqu’on parle des ensembles de nombres, x représente : « tous les nombres qui nous intéressent » < signifie : plus petit que … > signifie : plus grand que … ≤ signifie : plus petit ou égal à … ≥ signifie : plus grand ou égal à … signifie : union ( quand on veut réunir des ensembles )

< > ≤ ≥ < Remarques importantes sur les 4 symboles: En utilisant l’ensemble des entiers naturels ( N ), regardons des détails importants sur ces symboles. < la pointe signifie plus petit que l’ouverture signifie plus grand que ainsi x < 5 se lit x est plus petit que 5; et x > 5 se lit x est plus grand que 5.

< ≤ > ≥ signifie : plus petit que … ce qui exclut le nombre. 0, 1, 2, 3, Exemple: x < 4 signifie ≤ signifie : plus petit ou égal à … ce qui inclut le nombre. 0, 1, 2, 3, 4 Exemple: x ≤ 4 signifie > signifie : plus grand que … ce qui exclut le nombre. 7, 8, 9, 10, 11, … Exemple: x > 6 signifie ≥ signifie : plus grand ou égal à … ce qui inclut le nombre. 6, 7, 8, 9, 10, 11, … Exemple: x ≥ 6 signifie

Elles servent à énumérer les réponses. Prenons un exemple: Dans la famille des entiers naturels ( N ), représente x ≥ 5. 5, 6, 7, 8, 9, … La liste débute à 5 car x ≥ 5. On place des accolades. Les points veulent dire que la liste continue toujours. Elles servent à énumérer les réponses. Dans la famille des entiers naturels ( N ), représente x > 5. 6, 7, 8, 9, … Ici, la liste débute à 6 car x > 5.

≤ x < signifie : les nombres compris entre … Exemple : Dans la famille des entiers naturels, représente les nombres compris entre 3 inclus et 8 exclu. 3 ≤ x < 8 signifie : les nombres compris entre 3 inclus et 8 exclu. 3, 4, 5, 6, 7 C’est-à-dire :

Dans la famille des rationnels ( Q ), représente x ≤ 2. …, -6, …, -5,24, …, -1/2, …, 0, …, 3/4, …, 2 Comme la liste est très longue, on place de temps en temps des points pour indiquer qu’entre les nombres écrits, on en retrouve d’autres. Énumérer des listes de nombres peut devenir assez fastidieux, car plus les familles de nombres sont grandes et plus il y a de nombres. Avec la famille des réels ( R ), les mathématiciens ont trouvé des manières pour écrire une suite de nombres.

R : les nombres réels L’ensemble des nombres réels englobe tous les autres ensembles N, Z, Q, Q’ . Il est l’ensemble de nombres le plus utilisé en mathématique. Les mathématiciens ont donc trouvé des manières pour décrire les nombres réels: la droite numérique: ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 les intervalles: , , , ,

La droite numérique: On sait que l’ensemble des nombres réels remplit la droite numérique; on peut donc illustrer un ensemble particulier à l’aide de celle-ci. Exemple: On voudrait représenter tous les nombres réels compris entre 1 inclus et 6 inclus. ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 Ce trait plein symbolise tous les nombres réels entre 1 et 6.

∞ ∞ Voici quelques exemples: Représenter tous les nombres entre -2 inclus et 5 inclus. -2 ≤ x ≤ 5 ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 L’ensemble de nombres commence à -2 jusqu’à 5. Représenter tous les nombres entre -2 exclu et 5 inclus. -2 < x ≤ 5 2 exclu 5 inclus ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 Remarque: signifie que le nombre n’est pas compris. signifie que le nombre est compris. L’ensemble de nombres commence immédiatement à droite de -2 jusqu’à 5. Par exemple, de ≈ – 1,9999999999999999999999… jusqu’à 5.

∞ ∞ Représenter tous les nombres entre -2 exclu et 5 exclu. 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 L’ensemble de nombres commence immédiatement à droite de -2 et se termine juste à gauche de 5. Représenter tous les nombres entre -2 inclus et 5 exclu. -2 ≤ x < 5 ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 L’ensemble de nombres commence à -2 et se termine juste à gauche de 5.

∞ ∞ ∞ Sur la droite numérique, représente: Tous les nombres plus grands ou égaux à 1 soit x ≥ 1. ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 On prolonge le trait au-delà de la droite numérique pour indiquer que l’ensemble se dirige vers + . ∞ Tous les nombres plus petits que -2 soit x < -2. ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 Remarque: Sur la droite numérique, le déplacement se fait toujours de la gauche vers la droite.

∞ Les intervalles , Les intervalles sont représentés par des crochets: Ces symboles ne sont utilisés qu’avec les nombres réels ( R ). Ils représentent, comme le trait plein sur la droite numérique, tous les nombres en question. Exemple: ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 En intervalles, on écrit: 1 , 6 On place une virgule pour séparer les nombres. Soit tous les nombres réels plus grands ou égaux à 1 et plus petits ou égaux à 6; ou encore, tous les nombres entre 1 inclus et 6 inclus.

∞ ∞ Les crochets peuvent être ouverts ou fermés , selon la situation à représenter. Exemples: ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 s’écrit en intervalles -2 , 5 . L’ensemble de nombres commence à -2 inclus jusqu’à 5 inclus. ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 s’écrit en intervalles -2 , 5 2 exclu 5 inclus L’ensemble de nombres commence immédiatement à droite de -2 jusqu’à 5 inclus.

∞ ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 s’écrit en intervalles 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 s’écrit en intervalles -2 , 5 L’ensemble de nombres commence immédiatement à droite de -2 et se termine juste à gauche de 5. ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 s’écrit en intervalles -2 , 5 L’ensemble de nombres commence à -2 et se termine juste à gauche de 5.

∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 s’écrit en intervalles 1 , + ∞ Remarque: Certains auteurs utilisent des crochets ouverts avec l’infini, d’autres n’en mettent pas. 1 , + ∞ 1 , + ∞ ou les deux manières sont bonnes; mais il ne faut jamais mettre des crochets fermés sur l’infini. 1 , + ∞ Cela voudrait dire que l’on a atteint l’infini ce qui est impossible.

Remarque: Comme sur la droite numérique, les nombres se suivent du plus petits vers le plus grand (de la gauche vers la droite), on doit respecter le même ordre avec les intervalles. ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 , -1 ∞ - -1 , ∞ - s’écrit en intervalles et non Attention: les symboles suivants ne signifient pas la même chose: , sont des crochets pour parler d’intervalles; sont des accolades pour énumérer une ou des réponses; ( , ) sont des parenthèses pour représenter un couple de coordonnées dans le plan cartésien.

On peut donc représenter un ensemble de nombres dans l’ensemble des nombres réels de quatre manières différentes. Exemple: En français: Tous les nombres compris entre -3 inclus et 3 exclu. Sur la droite numérique: ∞ - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 En intervalles: -3 , 3 -3 ≤ x < 3 En compréhension : Cette forme d’écriture est utilisée en algèbre. Remarque: Elle signifie: « Tous les nombres compris entre -3 inclus et 3 exclu. »

Exercice 1 En utilisant la droite numérique et l’écriture en intervalles, décris les phrases suivantes. Droite numérique En intervalles Tous les réels plus petits que 3: 1 2 3 4 - 1 , 3 ∞ - Tous les réels supérieurs à 100 inclus: 100 100 , ∞ + Tous les réels compris entre 5 inclus et 30 exclu: 5 30 5 , 30

∞ ∞ ∞ Droite numérique En intervalles Tous les nombres réels compris entre 5 exclu et 15 exclu 5 5 , 15 0 , ∞ + Tous les nombres réels positifs: ∞ - , 0 Tous les nombres négatifs sauf 0: ∞ - + , Tous les nombres réels: ou R

Exercice 2 Écris en intervalles les représentations numériques suivantes: Droite numérique En intervalles -4 -3 -2 -1 , -1 ∞ - -4 -3 -2 -1 1 2 -4 , 2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 1 , , -2 ∞ - + ce symbole sert à unir les deux ensembles de nombres.

∞ Droite numérique - 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4 5 6 … + - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 En intervalles : ] -4 , -2 [ ] 0 , 2 [ [ -6 , -4 ] [ 1 , 5 [ [ -5 , -3 [ [ 2 , 6 ]

∞ ∞ ∞ Droite numérique En intervalles -10 -10 , + 1 2 3 4 4 , , 1 - + -10 , ∞ + 1 2 3 4 4 , , 1 ∞ - + 0 , ∞ + - , 0

Droite numérique En intervalles y 1 6 5 4 3 2 -1 -2 -3 -4 -5 -4 , 5 Toujours les plus petites valeurs en premier. x Dans le plan cartésien, on associe la droite numérique horizontale aux valeurs de x et la droite numérique verticale aux valeurs de y ; donc tout ce que nous venons de voir concernant les différentes façons de représenter les nombres et leurs ensembles est vrai aussi pour y.

Cette présentation a illustré les différents ensembles de nombres et la manière de les décrire. Tous les symboles et les phrases énumérés(es) sont les premiers codages du langage mathématique. Bien entendu, ce langage est beaucoup plus vaste. Le langage mathématique est une langue de communication comme la langue française. Un nouveau langage est, au début, un peu difficile à apprendre mais il devient avec le temps comme un réflexe, si on fournit l’effort nécessaire.