Utilisation des fonctions « densité de circuit » Na pour le calcul direct de paramètres circuit.

L’utilisation des « densité de circuit » Na permet de relier les grandeurs « champ» aux grandeurs « circuit». Dans certains cas, il est possible d’utiliser cette notion pour calculer des paramètres « circuit » sans effectuer explicitement le calcul des champs, ce que nous n’avons pu faire jusqu’ici que dans des cas très simples (loi de Pouillet…).

Lien entre résistivité et résistance Si la relation entre E et J est linéaire, soit en référentiel propre (pour un observateur attaché au matériau) E = r J ou, plus généralement, Ei = Sj rij Jj la correspondance entre les grandeurs « champ » et les grandeurs « circuit » conduit à une relation linéaire entre e et j (donc entre u et i en quasistatique galvanique, c’est-à-dire en l’absence d’effet inductif ou capacitif) u = R i avec R =  r N2 dV ou, si anisotrope,

S’il y a plusieurs circuits repérés par des indices a, b … avec comme cas particulier la résistance propre Raa de chaque circuit. Note : pour être systématique, la résistance propre d’un circuit « a » devrait être notée Raa . L’habitude est cependant d’écrire Ra au lieu de Raa ! Voici quelques valeurs de r à 20°C Argent 15.5 10-9 Wm Cuivre 17.0 10-9 Wm Aluminium 27. 10-9 Wm Fer 89. 10-9 Wm

Attention ! Il faut utiliser des définitions cohérentes des Na et de la conductivité électrique : le modèle détaillé pour les deux ou le modèle macroscopique pour les deux. Exemple : résistance d’un faisceau de conducteurs de longueur L, de section S, de coefficient de remplissage a et comportant n spires. On obtient dans les deux cas la valeur fournie aussi par la loi de Pouillet. Modèle détaillé : Sfil = a S / n donc N = n/(aS) V = a L S donc Modèle macroscopique : N = n/S r = rcu / a

Note importante : la résistivité et donc la résistance dépendent de la température. Pour les métaux, la résistance est à peu près proportionnelle à la température absolue T , soit, si q est la température centigrade et R0 la résistance à une température de référence exprimée en °C , Ainsi, pour cuivre, on a aux températures usuelles On voit qu’un échauffement de 100°C a un effet important ! Si on écrit, en linéarisant autour d’une température le coefficient de température a dépend du choix de qref , ce n’est pas le même selon qu’on choisit la référence à 0°C ou à 20°C ! Les coefficients de température de R et r sont voisins, mais non identiques à cause de la dilatation. Qui me calculera la différence ?

L’idée de définir des « densités de circuit » est aussi utilisable pour le calcul des circuits magnétiques et thermiques. En utilisant Nth , on peut définir les résistances thermiques propres et mutuelles par la formule Avec n = 1/l = la résistivité thermique du milieu Nous allons décrire un exemple d’utilisation de cette formule !

Le « nœud » de ce circuit correspond à la répartition Soit une plaque d’épaisseur e et de dimension parallèle h telle que h >> e . On considère une dimension L dans la direction  au plan de la figure. On peut considérer le problème comme un problème à 1D. En nous inspirant des solutions exactes obtenues dans des cas particuliers (un seul côté non isolé thermiquement), prenons un modèle à deux éléments de circuit, à savoir Le « nœud » de ce circuit correspond à la répartition M = div N = 1/ (hLe) uniforme et d’intégrale unité.

On peut alors écrire les deux résistances propres et la résistance mutuelle. On a ainsi :

On obtient de la même façon et

On a donc le circuit thermique suivant (S est la densité de production de chaleur) : La température T représente la température moyenne dans le domaine de calcul ! La présence d’une résistance mutuelle peut être évitée en effectuant la transformation en un circuit étoilé.

On obtient En fait, dans le cas statique à 1 dimension, le schéma ci-dessus fournit la valeur exacte de la température moyenne.

Ce circuit s’étend facilement au cas d’un calcul à deux ou trois dimensions. A deux dimensions, considérons la même structure rectangulaire que précédemment mais en admettant une flux de chaleur vers le haut et vers le bas. La partie du modèle correspondant aux flux verticaux se calcule comme précédemment mais en permutant e et h .

On obtient Ce circuit est utilisé pour calculer de façon approchée la température moyenne d’un enroulement dans une encoche rectangulaire. Il a été introduit par une autre méthode dans le livre Thomas A. Lipo, Introduction to AC machine design, Wisconsin Power Electronics Research Center, University of Wisconsin, 2004

Il est facile d’introduire dans ce circuit équivalent une capacité thermique pour pouvoir étudier les transitoires

La capacité thermique peut se calculer à partir de la densité « de nœud » : Ici aussi, il convient de définir cp et M de façon cohérente. D’un point de vue macroscopique, cp macr est une moyenne des cp des composants (cuivre, isolants) pondérée par la proportion de chacun. Dans l’exemple considéré, on a ainsi Cth = cp macr h L e

Exemples de valeurs de cp Cuivre 385 J/kg/K Fer 440 J/kg/K Aluminium 900 J/kg/K Pour passer de ces valeurs à une valeur volumique, il faut connaître la masse volumique du matériau, soit Cuivre 8960 kg/m3 Fer 7870 kg/m3 Aluminium 2698 kg/m3 Les valeurs ci-dessus sont tirées de http://www.matweb.be Elles sont sans doute relevées à 20°C.

Les modèles circuits ci-dessous permettent de calculer la température moyenne. Savoir s’il est possible de s’en servir pour calculer la température du point le plus chaud est un sujet de recherche. Si vous avez une idée …. à une dimension à deux dimensions à trois dimensions

Caractérisation générale des matériaux Rappel : les équations d ’évolution forment deux volets complètement disjoints. On a en électromagnétisme :

Ces équations d ’évolution sont les mêmes quel que soit le milieu (matériau ou vide) considéré. Donc, elles ne peuvent pas tenir compte des caractéristiques des matériaux. Les équations d ’évolution ne forment pas un système complet (il y a plus de degrés de liberté que d ’équations). Donc, il faut y ajouter des relations qui tiennent compte du milieu. Ces relations sont appelées « relations constitutives ».

Premières hypothèses sur les relations constitutives Fixées par la nature du matériau (principe de Copernic !) : cuivre, fer, air… du moins dans le repère propre du milieu (repère dans lequel le milieu est immobile et ses relations constitutives plus simples). En pratique, le repère propre est orthonormé. Ergodicité : un matériau peut revenir à son état originel. Faire plusieurs expériences successivement sur un même échantillon équivaut à faire plusieurs expériences simultanées sur plusieurs échantillons. Absence d ’action à distance ou différée : relations entre valeurs prises en chaque point de l ’espace-temps séparément.

Premières hypothèses sur les relations constitutives (suite) Séparation des relations électriques et magnétiques D’  E’ H’  B’ cas particulier : B’ = 0 et E’ = 0 dans les supraconducteurs (de type I) H’ = 0 dans les ferromagnétiques parfaits Autres relations nécessaires pour fixer J ’ En l’absence d ’effet Hall J’  E’ Dans un isolant, J ’ = 0

Parfois, on considère comme relations constitutives des relations qui proviennent du « régime de fonctionnement » considéré. Cas quasistatique électrique est remplacé par B = 0 car connaître la vraie valeur de B a peu d ’importance dans ce cas. Cas quasistatique magnétique est remplacé par D = 0 car connaître la vraie valeur de D a peu d ’importance dans ce cas. Cas quasistatique galvanique : combinaison des deux, donc D = 0 et B = 0

Formalisme général invariant Dans un référentiel « fixe »ou « du laboratoire », on aura D  E + v x B B  H - v x D J - r v  E + v x B

D  E + v x B B  H - v x D Les relations constitutives dépendent du référentiel choisi :en général, elles ne sont pas invariantes sous une transformation de Galilée. Il y a des exceptions intéressantes. Si nous définissons les « milieux quasistatiques électriques » par B = 0 , la propriété d ’être un milieu quasistatique électrique est invariante sous l ’effet des changements de référentiel galiléens (puisque B = B ’). On peut répéter la même chose pour les « milieux quasistatiques magnétiques » définis par D = 0. Et donc aussi pour les « milieux quasistatiques galvaniques ».

J - r v  E + v x B N ’est pas invariante, même dans les cas quasistatiques autres que galvanique. Il faut bien distinguer E et E ’= E + v x B Compte tenu de cette relation, on peut décomposer la force électromotrice e =  N . (E + va x B) dV en deux termes e = e’ +  N . (va - v ) x B dV où e’ =  N . E’ dV est la force électromotrice intrinsèque (due aux propriétés du matériau, r ..) Le terme  N . (va - v ) x B dV est un terme de glissement (cfr. roue de Faraday…). On a vu en semaine 2 son analogue « circuit ».

Utilisation d ’un facteur d ’échelle Pour l ’instant, nous n ’avons pas imposé les relations constitutives, mais seulement leur forme. On suppose que ces relations ( exprimées dans un référentiel orthonormé) ne dépendent que de la nature du matériau. Cela suffit déjà pour comprendre ce qui peut arriver lorsque l ’on augmente toutes les dimensions d ’un dispositif dans un même rapport. Étant donné un régime de fonctionnement du dispositif initial qui vérifie toutes les équations, on a automatiquement un régime de fonctionnement du dispositif dilaté qui vérifie toutes les équations (il suffit de garder la même valeur des champs). Donc, pas besoin de refaire le calcul des champs une seconde fois !

Exercice : on dilate toutes les dimensions en gardant les mêmes valeurs du champ magnétique et des fréquences. Que deviennent J, i , y , u , wr , les pertes magnétiques et les pertes ohmiques. Sous quelle hypothèse le champ de température restera-t-il inchangé ? Attention ! L’exercice ci-dessus montre qu’il n’est ordinairement pas possible d’appliquer un facteur d’échelle qui maintient simultanément la valeur du champ magnétique et du champ de température.

Attention aux mauvais usages des changements d ’échelle ! Si un régime de fonctionnement est acceptable techniquement, il n ’est pas dit que le régime correspondant du dispositif dilaté est acceptable ! Exemple: si j’ai calculé les efforts subis par le squelette d’une souris normale, je peux en déduire la valeur de ces efforts pour une souris de la taille d’un éléphant MAIS une souris de la taille d ’un éléphant briserait ses pattes sous l ’effet de son propre poids, parce que le poids augmente comme le cube des dimensions alors que la section des os n ’augmente que comme le carré ! Le facteur d ’échelle permet donc de transposer une analyse complète (faite pour tous les régimes de fonctionnement) en une autre analyse complète, mais les contraintes doivent être réexaminées. Il existe un autre type de facteurs d’échelle que ceux examinés ici. Ils relient les dimensions et les caractéristiques d’une machine à sa puissance nominale. Ces facteurs, plus empiriques, ne sont jamais valables que pour une structure de machine et une technique particulière.

Milieux magnétiques généraux Note : on se place par la suite en référentiel propre ( «’ » omis) La relation B  H peut être très complexe. Souvent, on la définit de façon purement empirique. Comme toutes les évolutions possibles ne peuvent pas être étudiées, on se limite à un ensemble suffisamment caractéristique. Exemple : direction fixée, variation sinusoïdale de B dans le temps. On a alors des graphes comme celui ci-contre. Cycles toujours parcourus dans le sens antihorlogique !

Réduction de l ’information : Exemple : on souhaite des relations univoques pour le calcul. On ne garde que les sommets des cycles. Autres façons, autres graphes. Exemple : ne garder que les valeurs efficaces. Quoi qu’il en soit, ces graphes sont établis pour une forme d’onde imposée d’une des deux grandeurs (souvent B sinusoïdal).

Méthode des harmoniques temporels Dans le cas où l’on étudie les évolutions périodiques des champs, une méthode souvent utilisée est celle des harmoniques temporels : on décompose les champs en série de Fourier et on décrit chaque composante par un nombre complexe. Dans le cas linéaire, il n’y a pas de mélange entre les harmoniques. Le milieu est décrit par la donnée d’une valeur complexe de m pour chaque harmonique. La partie imaginaire des m correspond à des pertes.

Dans le cas général non linéaire, la méthode des harmoniques temporels reste en principe applicable, mais les valeurs des m dépendent de l’amplitude et de la phase de toutes les harmoniques ! Cela conduit à une situation inextricable, même si on ne considère qu’un petit nombre d’harmoniques. Certains chercheurs ont proposé de conserver les champs sous la forme d’harmoniques temporels, mais de modéliser les relations constitutives par une routine de calcul à l’intérieur de laquelle on repasse à des grandeurs fonctions du temps.

Polarisation magnétique et magnétisation (définitions générales) Soit un milieu qui sert de référence et où la relation constitutive peut s ’écrire R0 (H , B ) = 0 On peut appliquer la même relation à n ’importe quel milieu R (H , B ) = 0 à condition de définir dans cet autre milieu une magnétisation M telle que R0 (H + M , B) = 0 soit équivalente à R (H , B ) = 0 . On peut aussi définir la polarisation magnétique J (rien à voir avec le courant !) telle que R0 (H , B - J ) = 0 soit équivalente à R (H , B ) = 0 .

Polarisation magnétique et magnétisation (cas particulier du vide pris comme référence) Dans le vide, on a B = µo H Donc, en prenant le vide comme référence, on a pour n ’importe quel matériau. M = B / µo - H et J = B - µo H Utilité : pour certaines méthodes de calcul de champ pour exprimer la relation constitutive

Exemple de modèle : M ou J supposés être fonction d ’un « champ local » Bloc combinaison linéaire de B et m0 H . C’est ainsi que, dans l’étude des matériaux paramagnétiques, on pose souvent, en plus de B = m0 H + J , Le partage 1/3 pour 2/3 ne convient cependant pas pour tous les matériaux magnétiques. Exercice : définissant la susceptibilité a d’un corps paramagnétique en supposant que J = a Bloc , comment m dépend-t-il de a ?

Comportement asymptotique Lorsque H tend vers l’infini, il en est de même de B . Donc, la notion de « champ Bsat » est illusoire ! Par contre, J tend vers une valeur Jsat caractéristique du matériau, et m tend vers m0 .

Milieux magnétiques linéaires La linéarité n ’est jamais acceptable dans les milieux magnétiques que pour des champs suffisamment faibles ! La perméabilité magnétique et la réluctivité sont des tenseurs. En composantes : Dans le cas d ’un milieu isotrope et en référentiel orthonormé, on peut considérer la perméabilité et son inverse comme des scalaires B = µ H et H = n B « harmoniques temporels » (phaseurs dans le jargon du calcul des champs)  les composantes de la perméabilité sont des nombres complexes. Refusé par des logiciels commerciaux. Pourquoi ? Pour ne pas perturber le client !

Milieux composites SI cas linéaire : Structures stratifiées (empilements de tôles magnétiques, succession de dents et d ’encoches, conducteurs plats…) SI cas linéaire :

S ’il y a des courants de Foucault dans le milieu 1, approche possible en harmoniques temporels, du moins dans la direction // . On remplace µ1 par le nombre complexe µ1 (th e ) / e où e = ( 1 + j ) a l / (2 d) j = racine de -1 al épaisseur des feuilles du milieu 1 (tôles) est la profondeur de peau. Donc µ// = a µ1 (th e )/e + (1-a) µ2

Faisceaux (bobinages…) Les formules de droite sont approchées (approximation cylindrique : la cellule d’homogénéisation est supposée cylindrique).

Remarque utile, surtout pour le calcul thermique On peut itérer ces équations si on a une structure formées de cylindres concentriques (conducteur rond, émail, résine d’imprégnation).

S ’il y a des courants de Foucault dans le milieu 1, approche possible en harmoniques temporels. Pour un champ perpendiculaire au faisceau, on remplace µ1 par le nombre complexe où e est donné par l’équation , d étant la profondeur de peau définie précédemment, et J0 , J1 et J2 des fonctions de Bessel.

La résistivité aussi change A cause de l’espace existant entre les conducteurs, le champ local n’est pas uniforme et les courants alternatifs ne se répartissent pas uniformément sur la section du conducteur. La résistance apparente du faisceau devient complexe (la résistance DC est à remplacer par une résistance AC plus grande et une inductance en série). On peut calculer la résistance en courant alternatif en calculant une résistivité macroscopique (complexe), qui vaut à l’approximation cylindrique et en utilisant la formule Cet effet est ordinairement plus faible qui celui qui affecte la perméabilité, et est ignoré par la plupart des auteurs (bien que déjà décrit par Maxwell au premier ordre, ce qui correspond à l’apparition d’une inductance supplémentaire).

Avertissement Les formules établies pour « l’effet de peau » dans le cas d’un conducteur seul entouré de vide ne sont absolument pas utilisables dans le cas d’un faisceau, contrairement à ce que beaucoup croient.

Lien entre résistivité et résistance Si la relation entre E et J est linéaire, soit en référentiel propre E = r J ou, plus généralement, Ei = Sj rij Jj la correspondance entre les grandeurs « champ » et les grandeurs « circuit » conduit à une relation linéaire entre e et j (donc entre u et i en quasistatique galvanique) u = R i avec R =  r N2 dV ou, si anisotrope, ou encore, plus généralement

Conséquences de l ’utilisation de paramètres complexes sur les paramètres circuit Les résistances et les inductances deviennent complexes. Exemple : au lieu d ’avoir, pour un transformateur, le schéma ci-contre (inductance couplée + résistance ohmique), on déduit du calcul des champs le circuit ci-dessous. A fréquence fixée, on revient au schéma classique par des transformations de circuit.

Note : le fait d’homogénéiser un milieu fait apparaître des effets de surface au bord des milieux homogénéisés (analogie avec la tension superficielle dans les liquides).

Réluctance de surface due à l’encochage On remplace l’ensemble dents-encoche par un volume plein, mais en ajoutant une réluctance de surface R0 .

Interprétation de la réluctance de surface On peut écrire la réluctance de surface sous la forme où Dg a la dimension d’une longueur. Intuitivement, l’effet de R0 est analogue à celui d’une couche d’air d’épaisseur Dg . C’est souvent sous cette forme que le phénomène est présenté.

Réluctance de surface due à l’encochage Que vaut la réluctance Ro où, ce qui revient au même, l’épaisseur Dg ? Cas général : Gibbs (utilise des fonctions spéciales) Deux cas limites : Entrefer très mince : Carter (1905) Entrefer très grand : Matagne (1991) Attention ! L’épaisseur des aimants terres-rares montés en surface est à compter dans g car la perméabilité magnétique de ces aimants est proche de celle du vide. Ligne de démarcation entre les deux méthodes et erreur le long de cette ligne

Méthode de Carter (entrefer petit)

Autre méthode (entrefer grand) On remarque que, dans ce cas, Dg ne dépend pas de g, alors que le rapport G/g en dépend.

Saturation magnétique Pour étudier la saturation, on suppose en général que la relation B-H ne dépend pas de la vitesse ( donc pas de la fréquence) avec laquelle les champs évoluent. On peut modéliser la saturation à l ’aide de caractéristiques univoques (pas d ’hystérésis). Alors, on distingue - les matériaux doux (a) - les matériaux durs (b) La distinction est claire au niveau du modèle …. pas forcément dans la réalité. Certains matériaux sont utilisés pour les deux rôles.

Perméabilité magnétique des milieux saturables On peut définir la perméabilité de plusieurs façons - perméabilité et réluctivité différentielle (incrémentale) µ = dB / dH et n = dH / dB plus généralement µij =  Bi /  Hj et nij =  Hi /  Bj - perméabilité et réluctivité totales (ambigu si non isotrope) Bien que limitées aux milieux isotropes, ces notions sont très utilisées en calcul des champs car on réduit la quantité de calculs nécessaire pour passer d’un champ à l’autre en tenant compte de sa direction si on caractérise le matériau par une fonction

Caractérisation des matériaux Matériaux doux : Jsat : polarisation magnétique à saturation µi (à l ’origine) µmax Exemple de caractéristique subjective : µ en un point situé « un peu avant l ’entrée en saturation »

Matériaux durs Hc est parfois désigné par HcB pour le distinguer de HcJ 1 T = 10000 gauss 1 A/m = 4 p 10-3 oersted 1 T x A/m = 1 J / m3 = 40 p gauss x oersted

Cas particulier des aimants terres-rares

Comparaison entre aimants

Hystérésis Le graphe ne décrit pas tout : B et H pas forcément parallèles. Le rapport entre Js et Br dépend de la structure cristalline.

Modélisation complète de l ’hystérésis : nombreuses variantes du modèle de Preisach F. Preisach, « Uber die magnetische Nachwirkung », Z. Phys., vol. 94, pp. 227-302, 1935 N. Janssens, thèse UCL, 1981

Note sur le passage à une fonction univoque Il peut y en avoir plusieurs pour le même matériau. Le choix dépend de ce que l ’on veut calculer. Les valeurs de Br et de Hc ne sont pas les mêmes selon que l’on considère la courbe de désaimantation ou la droite de recul !