Gestion de portefeuille 3-203-99 Albert Lee Chun La démonstration du modèle d’évaluation des actifs financiers Séances 6

Plan du cours Séances 1 et 2 : L’environnement institutionnel Séances 3, 4 et 5 Construction de portefeuilles Séances 6 et 7: Modèles d'évaluation des actifs financiers Séance 8: Efficience de marché Séance 9: Gestion active d'un portefeuille d'actions Séance 10: Gestion de portefeuilles obligataires Séance 11: Mesures de performances des portefeuilles 1 1 1 1

Plan du Cours Une preuve intéressante du MEDAF MEDAF avec Zéro-Bêta (hors du plan de cours) Faire quelques exemples Faire une révision pour l’examen intra

Une preuve intéressante du MEDAF

Ligne du marché des capitaux Le MEDAF dit : Pour tout actif i que nous choisissons, l’espérance de rendement est donnée par : Ligne du marché des capitaux M Actif i

Pourquoi le MEDAF fonctionne-t-il ? La ligne verte trace l’ensemble des portefeuilles P composé de l’actif i et du portefeuille de marché (M) Ligne du marché des capitaux Nous retrouvons la ligne verte en faisant varier la pondération (w) de l’actif i dans P M P Actif i

Pourquoi le MEDAF fonctionne-t-il ? Remarquez que w=1 correspond à l’actif i et que w=0 correspond au portefeuille de marché M Ligne du marché des capitaux w = 0 Avec w étant la pondération de l’actif i dans le portefeuille P M P Actif i w = 1

Pourquoi le MEDAF fonctionne-t-il ? Pour chaque w, nous pouvons calculer l’espérance de rendement et la variance du portefeuille P, Ligne du marché des capitaux Se rappelant toujours que w est la pondération de l’actif i dans le portefeuille P w = 0 M P Actif i w = 1

Pourquoi le MEDAF fonctionne-t-il ? Remarquez que la LMC (ligne orange) est tangente aux courbes bleue et verte au point M Ligne du marché des capitaux w = 0 M P Intuition: les lignes orange, bleue et verte se touchent toutes au même point M. Pourquoi ? Actif i w = 1

Pourquoi le MEDAF fonctionne-t-il ? La pente de la ligne verte à M est égale à la pente de la ligne bleue à M qui est égale à la pente de la LMC (ligne orange)!! Ligne du marché des capitaux w = 0 M Intuition: les lignes orange, bleue et verte se touchent toutes au même point M. Pourquoi ? Actif i

Pourquoi le MEDAF fonctionne-t-il ? La pente de la ligne verte à M est égale à la pente de la ligne bleue à M qui est égale à la pente de la LMC (ligne orange)!! Ligne du marché des capitaux w = 0 M L’équation de la pente de la LMC est : Actif i

Pourquoi le MEDAF fonctionne-t-il ? (pente = pente = pente) Ligne du marché des capitaux w = 0 M Logiquement la pente de ces trois lignes au point M est : Actif i

Pourquoi le MEDAF fonctionne-t-il ? Mathématiquement la pente de la ligne verte au point M est : Ligne du marché des capitaux w = 0 M Logiquement la pente de ces trois lignes au point M est : Actif i

Pourquoi le MEDAF fonctionne-t-il ? Nous pouvons aussi exprimer la pente de la ligne verte: Ligne du marché des capitaux La pente de la ligne verte doit être égale à la pente de la LMC au point M ! w = 0 M = Actif i

Preuve du MEDAF = Nous voulons trouver la pente de la ligne verte en dérivant ces équations à w=0, et en utilisant cette relation pour égaliser la pente (à w=0) à la pente de la LMC =

Preuve du MEDAF = w = 0 M Actif i La ligne verte DOIT être égale à la pente de la LMC

Prenons quelques dérivées : La dérivée de l’espérance de rendement par rapport à w

Prenons quelques dérivées : La dérivée de l’écart type par rapport à w Évaluer la dérivée à w = 0, ce qui représente le portefeuille de marché !

En égalisant les pentes = =

En égalisant les pentes Capital Market Line w = 0 M Actif i

Maintenant isolons E(Ri) Hourra! Nous venons de prouver le MEDAF!

Nous venons tout juste de démontrer que: Peu importe l’actif i que nous choisissons, l’espérance de rendement de cet actif est donnée par : M Et voilà! Nous venons de gagner un prix Nobel! Actif i

Modèle d’évaluation des actifs avec zéro-béta ( Pas dans le plan de cours: Mais, bien comprendre ce concept pourrait vous être utile pour différents problèmes à l’examen )

Dans un monde sans actif sans-risque: Dans ce monde sans actif sans-risque, est-il possible d’établir l’espérance de rendement d’un actif quelconque ? Efficient frontier s

MEDAF Zéro-Béta Fisher Black (1972) Il existe un portefeuille efficient qui n’est pas corrélé avec le portefeuille de marché et donc a un béta de zero.

Monde avec MEDAF Zéro-Béta Efficient frontier s Portefeuille Zéro-Béta

Ligne de marché des titres MEDAF Zéro-Béta Ligne de marché des titres

Exemple sur le MEDAF Devrait-t-elle acheter cet actif ? Supposons que nous avons ces deux actifs efficients risqués dans l’économie Eggbert: Actif E(r) Béta Egg 0.07 0.5 Bert 0.10 0.8 Sans connaître E(Rm) ou Rf. Et supposons que Karina pense à acheter cet actif: Actif E(r) Beta Karina 0.12 1.3 Devrait-t-elle acheter cet actif ?

Sous ou Sur évalué ? Sous-évalué Acheter ! Marché Bert Egg Surévalué Ligne du marché des capitaux Marché Bert Egg Surévalué Ne pas acheter ! (vendre) 28

Exemple MEDAF Nous savons que les deux actifs efficients ont : E(REgg) = rf + BEgg(E(Rm)- Rf) E(RBert) = rf + BBert(E(Rm)- Rf) Si Karina est un actif efficient, nous avons: E(RKarina) = rf + BKarina(E(Rm) - Rf) 29 12.29

Exemple MEDAF Premièrement, trouvez les espérance de rendement du marché et de l’actif sans risque en résolvant deux équations a deux inconnus : E(REgg) = (1- BEgg) Rf + BEgg E(Rm) E(RBert) = (1- BBert) Rf + BBert E(Rm) Un peu d’algèbre : (E(REgg) - (1- BEgg) Rf )/ BEgg = (E(RBert) - (1- BBert) Rf )/ BBert Rf = [BBert E(REgg) - BEgg E(RBert)]/ [BEgg(1-BBert ) + BBert (1- BEgg) ] E(Rm)= (E(REgg) - (1- BEgg) Rf )/ BEgg 30 12.30

Exemple MEDAF Actif E(r) Beta Egg 0.07 0.50 Bert 0.10 0.80 Karina 0.16 1.30 Rf = [BBert E(REgg) - BEgg E(RBert)]/[-BEgg(1-BBert ) + BBert (1- BEgg) ] = .02 E(Rm)= (E(REgg) - (1- BEgg) Rf )/ Begg = .12 E(RKarina) = rf + BKarina(E(Rm) - Rf) =.02 + 1.3*(.12 - .02) = .15 < .16 31

Ligne du marché des capitaux Sous ou Sur évalué ? Sous-évalué Acheter ! Karina 16% Ligne du marché des capitaux Marché 15% Bert Egg 32

Un autre exemple État de l’économie Probabilité Rendement Eggbert Dingo Taux sans risque Mauvais 0.20 0.04 0.07 0.03 Bon 0.45 0.10 Excellent 0.35 0.22 0.19 Esperance de rendement ? Variance Coefficient de corrélation avec le marché 0.712 0.842 Covariance avec le marché 0.0015

Exemple Si l’espérance de rendement du portefeuille de marché est de 9% A) Déterminez la covariance entre l’espérance de rendement de Dingo et l’espérance de rendement de le portefeuille de marché. B) Déterminez l’espérance de rendement de Dingo en utilisant le MEDAF. Recommanderiez-vous à un investisseur d’acheter des actions Dingo? Justifiez votre réponse.

Solution : E(re) = 13,00% E(rd) = 12,55% Var(re) = 0,004860 Var(rd) = 0,002365 Écart type(re) = 0,069714 Écart type(rd) = 0,048629 Écart type du marché = 0,030220 Variance du marché = 0,000913 Covariance de Dingo avec le marché = 0,001237 Beta de Dingo = 1,35 Espérance de rendement du marché= 9% Espérance de rendement de Dingo avec le MEDAF: E(rd) = Rf + BetaDingo (Rm - Rf) = 11,13% 12,55% > 11,13% - Achater!

Intra Concentrez-vous sur les exemples que je vous ai donnés à faire à la maison et ceux faits en cours. Comprenez non seulement les formules et leurs fonctionnements, mais aussi l’intuition derrière les formules. Les acétates sont plus importants que les lectures du livre. Concentrez-vous sur les acétates des séances 3 – 6